Università degli Studi di Bergamo
Facoltà di Ingegneria
Metodi numerici per lo studio di
sistemi multicorpo
V. Lorenzi
Dipartimento di Progettazione e Tecnologie
Esempi di sistemi multibody
Cos’è un sistema multicorpo:
È un insieme di due o più corpi collegati tra loro in modo
che sia conservata la possibilità di moto relativo
F
M
Schema della presentazione
•Struttura, vincoli e gradi di libertà nei sistemi multibody
•Tipi di coordinate
•Classi di problemi
•Cenni sull’ integrazione tra FEM e multibody
Struttura di un sistema
multicorpo
Un sistema multicorpo può
essere a catena aperta
… o a catena chiusa
Giunti e gradi di libertà
I corpi sono collegati tra loro tramite giunti…
I gradi di libertà corrispondono al numero di coordinate
indipendenti che definiscono la posizione del sistema.
Formula di Gruebler:
dof=6*n_corpi-nv
Giunti e gradi di libertà
…si scambiano azioni tramite
elementi elastici, viscosi…
Alcuni vincoli legano tra loro solo
le velocità (o le variazioni delle
coordinate)
Vincoli anolonomi
La ruota ha 4 gdl: 2 gdl per il centro e due rotazioni.
Le 2 eq. di vincolo legano le velocità, ma non riducono i
gradi di libertà.
Tipi di coordinate
Per definire la posizione si puo’ usare un set di coordinate
indipendenti o un set esteso di coordinate dipendenti
legate da equazioni di vincolo
Un programma “general purpose” utilizza il medesimo set:
•coordinate relative
•coordinate cartesiane
•coordinate naturali
Un programma dedicato può utilizzare formulazioni miste
Coordinate relative
Vediamo un esempio di uso di coordinate relative per un
quadrilatero articolato
3 coordinate, 1 gdl, perciò 2 equazioni di vincolo
Coordinate cartesiane
Ed ora cartesiane..
9 coordinate, 1 gdl, perciò 8 equazioni di vincolo…
Coordinate relative in 3D
Molto usata la notazione di Denavit e Hartenberg, con
matrici omogenee 4x4
Matrici omogenee
 A( 1 ,.., n ) R ( 1 ,.., n )   I 0 
T( 1 ,.., n )  



0
1
0
1

 

A [3x3] definisce l’orientamento del corpo
R[3x1] la posizione dell’origine della terna
Si hanno a disposizione 9+3 equazioni tra loro dipendenti
Coordinate cartesiane in 3D
Nel caso 3D si usano le coordinate di un
punto e l’orientamento.
Per definire l’orientamento vengono usati gli
angoli di Eulero, di Cardano (3 parametri
indipendenti) o set di 4 coordinate
dipendenti (parametri di RodriguezHamilton, quaternioni, asse di rotazione
finita)
Le equazioni di vincolo sono in generale del tipo:
Φ(q, t )  0
o Φ(q,q,t)=0
Coordinate relative
Vantaggi :
•ridotto numero di coordinate
•adatte a catena aperte
•facilità nell’imporre moti relativi nei giunti
Svantaggi:
•la posizione di un elemento dipende da tutti quelli precedenti
•equazioni di vincolo e matrice di massa “piene”
•devono essere individuati anelli indipendenti
Coordinate cartesiane
Vantaggi:
•la posizione di ciascun corpo è determinata direttamente
•equazioni di vincolo e matrice di massa “sparse”
•uniformità nel trattare catene aperte o chiuse
Svantaggi:
•numero elevato (dipende dal problema)
•“difficoltà” nell’imporre moti relativi ai giunti
Classi di problemi
Analisi cinematica
Studio del movimento di un sistema multicorpo a prescindere
dalle forze agenti
Analisi dinamica
Studio del movimento di un sistema multicorpo in
relazione alle forze agenti
Sintesi cinematica e dinamica
Progetto di un sistema multicorpo che soddisfa “criteri”
cinematici o dinamici
Approccio numerico-simbolico
I programmi per l’analisi di sistemi multicorpo possono
formulare le equazioni in forma:
•Simbolica
Vantaggi: rapidità, possibilità di costruire applicazioni
stand- alone. Difficoltà nel gestire “eventi”
•Numerica
Vantaggi: generalità
Cinematica-Assemblaggio
Con n coordinate q e m equazioni di vincolo si possono
imporre n-m valori iniziali
Cinematica
Analisi di posizione e simulazione cinematica
Consente di esaminare il posizionamento del meccanismo,
individuare collisioni, determinare gli angoli di pressione etc.
Cinematica
Velocità: nota la velocità dei moventi determinare la velocità
del sistema:
Accelerazione: nota l’accelerazione dei moventi
determinare l’accelerazione del sistema
Sono problemi lineari nelle velocità e accelerazioni. Se il
sistema ha n coord q, m eq. di vincolo devono essere
assegnate n-m=f posizioni, velocità ed accelerazioni
Cinematica
Vincoli sovrabbondanti:
Nel piano il quadrilatero ha 3x3-4x2=1gdl
In 3D il quadrilatero ha 3x6-4x5=-2gdl !
Si eliminano i vincoli sovrabbondanti o si risolve il
problema nel senso dei minimi quadrati
Dinamica
Equazioni di moto: approccio Lagrangiano per un sistema
vincolato con coordinate dipendenti
n+m equazioni in
n+m incognite
L=T-V=Lagrangiana
T=Energia cinetica del sistema, V=energia potenziale,
Qex=carico generalizzato
=moltiplicatori di Lagrange reazioni vincolari
Equazioni di moto
q
x
y
m 0 0   x 
1
1
1
1
T  (mx 2  my 2 )  J G 2   x y    0 m 0   y   qT Mq
2
2
2
2
 0 0 J G   
x
0
V
V  mgy  mg  0 1 0  y  ; Q 
 mg 1 
q
 
0
Equazioni di moto
l2
l1
 M1
 0

0   q1 
T

Φ
q
M 2  q 2 
 1   Q1 
    Q 
 2  2
y
1x1  0 y1  L1 / 2 cos 1  1x2  0 y2  L2 / 2 cos 2  0
Φ(q)  0  
 0 x1  1 y1  L1 / 2sin 1  0 x1  1 y2  L2 / 2sin 2  0
1 0  L1 / 2sin 1
Φq  
0 1 L1 / 2 cos 1
x
1 0
L2 / 2sin  2 
0 1  L2 / 2 cos 2 
Ad es. la prima equazione risulta semplicemente:
m1 x1  1  0
Equazioni di moto
In generale le equazioni di moto sono nella forma:
M (q)q  Φq (q, q, t )T λ  F (q, q, t )
Φ(q, q, t )  0 o Φq q  Φq q - Φt
Dinamica diretta:
noti i carichi le equazioni forniscono i valori di
accelerazione e i moltiplicatori di Lagrange.
q=u

cioè y  g(y, t )

u = G (q, u, t )
Note le condizioni iniziali si integra (ad es. con Eulero...)
y n 1  y n  g(y n , tn )t
Equazioni di moto
M (q)q  Φq (q, q, t )T λ  F(q, q, t )
Φ(q, q, t )  0 o Φq q  Φq - Φt
Dinamica inversa
noto il movimento le equazioni
forniscono i valori delle reazioni
vincolari e le “coppie”ai giunti.
I carichi possono poi essere
utilizzati per il dimensionamento o la verifica dei membri
Equazioni di moto
La … posizione di equilibrio statico si trova risolvendo il sistema
nonlineare in q e , ottenuto ponendo q’ e q”=0
T

Φq (q, t ) λ  F (q, t )

Φ(q, t )  0


Le equazioni di moto possono essere poi
linearizzate attorno alla posizione di
equilibrio. Il sistema linearizzato fornisce
le frequenze proprie, i modi di vibrare del
sistema.
Ne risulta anche un “blocco” lineare che
può essere utilizzato nella sintesi di un
controllore o nell’analisi di stabilità.
Sintesi
Mecc. generatore di funzione Mecc. generatore di traiettorie
Equazioni di vincolo
Relazioni funzionali
Elementi flessibili
Elementi flessibili vengono modellati a EF
Gli spostamenti u dei nodi, dovuti alla flessibilità,
vengono definiti tramite un set ridotto di coordinate qf e di
“modi”, ottenuti dai modi “statici” e da una analisi modale
u=Nqf
Elementi flessibili
u0+uf
r
R
r  R  A(u 0  uf )
r  R  Auf  Auf
1
T
2

m p r pT r p
… e con approccio Lagrangiano si ottengono le equazioni di moto…
Elementi flessibili
FEM
MBS
Stress
Conclusioni
I modelli, per quanto raffinati, rimangono sempre tali:
deve essere sempre verificata la corrispondenza tra
modello e realtà.
Fattori trascurati nel modello possono essere invece
importanti.
Bisogna mantenere il senso fisico del fenomeno.
La parte sperimentale di verifica dei risultati non va
trascurata.