ovvero la”Matematica delle scelte possibili”
a cura di Fiorella Menconi
Liceo Scientifico G.Galilei
Parte prima: il C.C. come strategia di pensiero
Il "calcolo combinatorio" studia i modi di raggruppare e/o ordinare oggetti presi da un insieme assegnato, con
l'obiettivo di contare il numero dei possibili raggruppamenti od ordinamenti.
Esempio 1:
Quante possibili automobili possono essere immatricolate con le targhe attuali?
Modelliamo:
26×26 10×10×10 26×26
TOT = 264 × 103 = 456976×103 ovvero quasi 500 milioni di automobili!
ovvero
26 elementi raggruppati a 4 a 4
10 elementi raggruppati a 3 a 3
con i seguenti criteri
1. ripetizione degli elementi nello stesso raggruppamento
2. uguali elementi in ordine diverso raggruppamenti diversi
3. viene utilizzata una parte degli elementi ogni volta
Si indicano così:
'
264 = D26
, 4 = numero delle disposizioni con ripetizione di 26 elementi di classe 4
103 = D10' , 3 = numero delle disposizioni con ripetizione di 10 elementi di classe 3
Più in generale:
Dn' ,k = nk = numero delle disposizioni con ripetizione di n elementi di classe k. (k può essere maggiore o
uguale ad n oltre che minore)
Esempio 2:
Quanti anagrammi della parola AMORE possono essere scritti (anche senza senso)?
Modelliamo:
5 ×4 ×3 ×2 ×1
TOT = 5 ×4 ×3 ×2 ×1 = 120
Si indicano così:
ovvero
5 elementi raggruppati a 5 a 5
con i seguenti criteri
1. nessuna ripetizione degli elementi nello stesso raggruppamento
2. uguali elementi in ordine diverso raggruppamenti diversi
3. vengono utilizzati tutti gli elementi ogni volta
5 ×4 ×3 ×2 ×1 = 5! = P5 = numero delle permutazioni di 5 oggetti
5! = prodotto di 5 interi consecutivi a partire da 1
Più in generale:
n! = n(n-1)(n-2)…3⋅2⋅1
Pn = n! = numero delle permutazioni di n oggetti
Esempio 3:
Per andare da una città A ad una città B ci sono quattro strade diverse.
a) In quanti modi è possibile "fare un giro" da A fino a B e ritorno?
b) E se al ritorno non si vuole ripercorrere la stessa strada dell'andata?
Modelliamo:
Domanda a):
B
A B 4 strade
B A 4 strade
Il modello è quello
dell’esempio 1
TOT = 4 × 4 = D4' , 2 = 42
A
Domanda b):
Qui il modello è leggermente diverso dai precedenti
A B 4 strade
B A 3 strade
4 elementi raggruppati a 2 a 2
TOT = 4 × 3 = 12
con i seguenti criteri
1. nessuna ripetizione degli elementi nello stesso raggruppamento
2. uguali elementi in ordine diverso raggruppamenti diversi
3. viene utilizzata parte degli elementi ogni volta
Si indicano così:
4 × 3 = D4, 2 = numero delle disposizioni semplici (ovvero senza ripetizioni) di 4 elementi di classe 2
Più in generale:
Dn ,k = n(n-1)(n-2) …(n-k+1) = numero delle disposizioni semplici di n elementi di classe k.
In ogni caso, abbiamo utilizzato il seguente principio generale di calcolo combinatorio:
PRI-CIPIO DI MOLTIPLICAZIO-E
Se una scelta può essere fatta in r modi diversi, per ciascuno dei quali una seconda scelta può essere effettuata in s modi
diversi, e, per ciascuno dei modi in cui si sono compiute le prime due scelte, una terza scelta può essere effettuata in t
modi diversi ecc., allora la successione di tutte le scelte può essere compiuta in r·s·t ... modi diversi
Analiziamo ora altri esempi
Esempio 4:
Una compagnia di 5 ragazzi, Aldo (A), Bruno (B), Carlo (C), Dario (D) ed Ernesto (E) devono
passare una notte in una stanza in cui ci sono due letti.
In quanti modi è possibile scegliere i due ragazzi che dormiranno nei due letti?
Modellando osserviamo che si hanno
5 elementi raggruppati a 2 a 2
con i seguenti criteri
1. nessuna ripetizione degli elementi nello stesso raggruppamento
2. due raggruppamenti distinti contengono elementi diversi
Come contare i possibili raggruppamenti?
Il conteggio diretto può essere “controllato” solo per piccoli raggruppamenti …
La strategia di pensiero utile al “calcolo astratto” richiama un vecchio aneddoto, noto in letteratura
come il “principio del pastore”…….
Così si hanno
5× 4
raggruppamenti
2!
Si indicano così:
5 × 4 D5 , 2
=
= C 5, 2 = numero delle combinazioni semplici (ovvero senza ripetizioni) di
2!
2!
5 elementi di classe 2
Se i ragazzi sono 5 ed i letti 3?
Se i ragazzi sono 5 ed i letti 5?
Sei ragazzi sono 5 ed i letti 1?
Più in generale:
C n ,k =
D5 , 2
2!
=
n(n - 1)(n - 2) …(n - k + 1)
n!
=
= numero delle combinazioni semplici di
k!
k !( n − k )!
n elementi di classe k.
In ogni caso, abbiamo utilizzato il seguente principio generale di calcolo combinatorio:
PRI-CIPIO DI DIVISIO-E
Per calcolare k-ple non ordinate, calcoliamo prima le corrispondenti k-ple ordinate poi dividiamo per k!
Parte seconda - IL C.C. I- ASTRATTO E I- FORMULE
Le disposizioni
Supponiamo di avere n oggetti distinti
dell'alfabeto,...). Sia ora k un intero, k ≤ n.
(ad es: n palline numerate progressivamente da 1 a n, oppure n lettere
Le k-uple ORDINATE che si possono costruire utilizzando (senza ripetizione) k fra gli n oggetti dati sono anche dette
"le DISPOSIZIO-I degli n oggetti dati, presi a k a k" o anche "le disposizioni di classe k di quegli n oggetti".
Il numero di tali k-uple ordinate ( = il numero delle disposizioni di n oggetti, presi a k a k ), si indica con
e risulta, utilizzando il Principio di moltiplicazione.
Esempio 1: Con 10 oggetti distinti, quante quaterne ordinate posso costruire?
Risposta:
Esempio 2: Se ho 10 ragazzi, in quanti modi posso scegliere: un portiere, un arbitro e un raccattapalle?
Risposta:
Le combinazioni
Le k-uple NON ORDINATE che si possono costruire utilizzando (senza ripetizione) k fra n gli oggetti dati sono anche
dette
"le COMBI-AZIO-I degli n oggetti dati, presi a k a k" o anche
"le combinazioni di classe k, di quegli n oggetti".
Il numero di tali k-uple NON ORDINATE ( = il numero delle combinazioni di n oggetti, presi a k a k ) si indica con Cn,k
e risulta, utilizzando il Principio di divisione,
(Osservazione: l’ultimo passaggio è stato ottenuto moltiplicando sia sopra che sotto per (n-k)! ;
tale passaggio è possibile anche per k=n, perchè, per convenzione, si pone 0 ! =1)
Esempio 3: Con 10 oggetti distinti, quante quaterne non ordinate posso costruire?
Risposta:
l coefficienti binomiali
I numeri
vengono anche detti (per un motivo che chiariremo più avanti) “coefficienti binomiali”, e si suole indicarli col simbolo
specifico
si legge “coefficiente binomiale n su k” e si ha dunque
o anche
IDEA-GUIDA SUL COEFFICIE-TE BI-OMIALE:
Il coefficiente binomiale
risponde alla domanda:
"dati n oggetti, in quanti modi ne posso scegliere k?"
Ricordiamo che stiamo sempre supponendo k≤n.
In particolare, si ha
Ricordando, poi, la convenzione 0 ! = 1, possiamo scrivere anche
Esempio 4:
1.
Ho un insieme di 7 oggetti distinti. In quanti modi posso sceglierne 3?
Risposta:
2.
Ho un insieme di 7 oggetti distinti. In quanti modi posso sceglierne 2?
Risposta:
1.
Ho un insieme di 7 oggetti distinti. In quanti modi posso sceglierne 1?
Risposta:
(ovviamente....)
3.
Ho un insieme di 7 oggetti distinti. In quanti modi posso sceglierne 6?
Risposta:
(anche questo risultato d’altronde è ben ovvio! Sceglierne 6 su 7 equivale a sceglierne 1 (fra quei 7)
da escludere; e ciò si può fare in 7 modi)
Esempio 5: Con i 90 numeri del lotto, quanti terni posso costruire?
Risposta:
Esempio 6: Con 5 numeri fissati, quanti terni posso costruire?
Risposta:
Proprietà dei coefficienti binomiali
La proprietà più notevole è la seguente:
L’identità in questione è facile da dimostrare col calcolo, comunque la sua verità è evidente anche col seguente
ragionamento:
è il numero di modi con cui è possibile, dati n oggetti, sceglierne k;
ma sceglierne k equivale a scegliere quegli n-k che si vogliono escludere;
e tale ultima scelta si può effettuare in
modi.
Un'altra proprietà importante è:
Vi ricordate il triangolo di Tartaglia-Pascal?
Nella figura 1 vedete il cosiddetto triangolo di Pascal. Precisiamo che questo nome è dovuto al fatto che è stato Pascal a
diffonderne la conoscenza attraverso l'opuscolo "Trattato sul triangolo geometrico"; esso però era già noto a Niccolò Fontana
da Brescia (1499?-1557), detto Tartaglia.
Le proprietà di questo triangolo sono molte e meravigliose e lo si può considerare una vera palestra di possibili esercitazioni
per il matematico apprendista. Come sarà chiaro nel seguito abbiamo già incontrato questo triangolo come automa cellulare
unidimensionale e come frattale nella forma di L-Sistema e di IFS.
Vediamo di comprendere il significato di quei numeri. Scriviamo (a+b)2 e (a+b)3.
(a+b)2 = 1 x a2 + 2 x ab + 1 x b2;
(a+b)3 = 1 x a3 + 3 x a2b + 3 x ab2 + 1 x b3.
Si osserva subito che i coefficienti 1 2 1 e 1 3 3 1 sono rispettivamente la terza e quarta riga del triangolo in figura 1.
In figura 2 si sono numerate le righe con indici (verdi) che partono da 0. Possiamo vedere che la riga di indice n contiene
esattamente i coefficienti dello sviluppo della potenza del binomio (a+b)n. Questo vale anche per 0 ed 1, infatti
(a+b)0 = 1 x 1;
(a+b)1 = 1 x a + 1 x b.
Indichiamo con C(n,k) il numero di posto k nella riga n-esima del triangolo (k varia da 0 a n). Per esempio la riga n.4
contiene i numeri C(4,0)=1, C(4,1)=4, C(4,2)=6, C(4,3)=4, C(4,4)=1.
Gli interi C(n,k) si chiamano coefficienti binomiali, perché appaiono nella formula della potenza del binomio;
infatti (a+b)n si scrive così:
I C(n,k) hanno anche un significato combinatorico: C(n,k) è il numero dei sottoinsiemi con k elementi che si possono
estrarre da un insieme S con n elementi. Per esempio, sia dato l'insieme S={1,2,3}. Vi sono allora 3 sottoinsiemi con 2
elementi: {1,2}, {1,3}, {2,3} (si noti che l'ordine non è importante, trattandosi semplicemente di insiemi), quindi C(3,2)=3.
Otteniamo subito C(n,n)=1 (c'è un solo sottoinsieme con n elementi di S, S stesso);
C(n,0)=1 (c'è un solo sottoinsieme di S con 0 elementi, quello vuoto);
C(n,1)=n (ci sono n sottoinsiemi di S contenenti esattamente 1 degli elementi di S);
C(n,n-1)=n (il numero di sottoinsiemi con n-1 elementi è uguale al numero di quelli con 1 solo elemento).
Se si estende l'ultima considerazione fatta otteniamo che in generale C(n,k) = C(n,n-k). Dunque il triangolo è simmetrico
rispetto alla bisettrice dell'angolo superiore.
Altre proprietà del triangolo di Tartaglia o equivalentemente dei coefficienti
binomiali
La somma dei termini di ogni riga è la successione delle potenze del 2. Si può anche dire che la somma dei termini
di ogni riga è il doppio della somma dei termini della riga precedente e che la somma dei termini di ogni riga,
diminuita di 1, è uguale alla somma dei termini di tutte le righe che lo precedono. Ad esempio, la somma dei
termini della sesta riga è 64, e la somma di tutti i termini delle righe precedenti è 64 - 1, com'è facile controllare.
Se si sommano i numeri in diagonale, nel modo indicato in figura, si ottiene la successione di
Fibonacci(che vedremo in una prossima lezione).
Ogni termine del triangolo è uguale alla somma di tutti i termini che lo precedono, nella colonna
alla sua sinistra.
La prima colonna del Triangolo di Tartaglia è composta dalla successione dei numeri naturali
n, la seconda dai numeri triangolari n(n+1)/2, la terza dai numeri tetraedrici n(n+1)(n+2)/2x3,
la quarta i numeri ipertetraedrici n(n+1)(n+2)(n+3)/2x3x4, cioè del tetraedro in quattro
dimensioni, la quinta del tetraedro in cinque dimensioni n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/2x3x4x5 e
così via.
Questo collegamento tra i numeri del triangolo e i numeri figurati di Pitagora (la sua celebre
aritmogeometria) è una proprietà che non abbiamo trovato in altri lavori sul triangolo e che
pensiamo, tranne smentite, che possa essere una nostra scoperta.
4elle potenze di 1001^n, come nelle potenze di 10001^n ,100001^n, … ritornano i numeri del
triangolo, separati dagli zeri.
Disposizioni con ripetizione
Si parla di "DISPOSIZIO-I CO- RIPETIZIO-E" quando uno stesso oggetto, nella k-upla ordinata, può essere
ripetuto più di una volta. In questo caso, non deve essere necessariamente k≤n.
Il numero delle disposizioni con ripetizione di n oggetti, presi a k a k, si indica col simbolo
è facile dimostrare, col Primo Principio Generale, che si ha
ed
Esempio 7: utilizzando, con possibilità di ripetizione, i 3 simboli A, B, C, quante stringhe di 5 lettere
posso comporre?(Per “stringa” si intende una “sequenza di caratteri”)
Risposta: D’3,5 = 35
Esempio 8: quante colonne è possibile teoricamente giocare nel gioco del totocalcio?
Risposta:
Volendo, è un problema di disposizioni con ripetizione.
Comunque, si ragiona meglio senza formule:
per il primo posto in alto nella colonna ho tre possibilità: 1, X, 2;
per il secondo posto ho ancora 3 possibilità... ecc...
Dunque: 313=1594323
Esempio 9: se si lanciano 10 monete (o anche: se si lancia una moneta 10 volte) quanti sono gli esiti possibili?
Risposta: 210=1024
Permutazioni
Le "PERMUTAZIO-I DI n OGGETTI" sono tutte le n-uple ordinate costruibili utilizzando, senza
ripetizione, quegli oggetti;
il numero delle permutazioni di n oggetti si indica col simbolo Pn e dal Primo Principio si ha subito:
IDEA-GUIDA
Permutazioni: modi in cui è possibile permutare
l'ordine di n oggetti
Esempio 10: date 5 persone, in quanti modi si possono mettere in coda davanti ad uno sportello?
Risposta:
P5=5!=120
Permutazioni di n oggetti non tutti diversi; permutazioni cicliche
Possiamo pure pensare alle "PERMUTAZIO-I DI n OGGETTI -O- TUTTI DIVERSI".
Presi n oggetti, dei quali m<n uguali fra loro, e gli altri tutti diversi l’uno dall’altro e dai precedenti, quante n-uple
ordinate distinguibili potremo costruire utilizzando quegli n oggetti?
Il numero di tali n-uple si indica con
ed è abbastanza facile dimostrare che si ha
Per la dimostrazione, è sufficiente utilizzare un artificio che ci è ormai consueto: quegli m oggetti che sono identici,
pensiamoli inizialmente distinti, poi considereremo "come se fosse una sola n-upla" tutto quel gruppo di n-uple che, per
effetto della indistinguibilità fra gli m oggetti, appaiono identiche; ma il numero di tali n-uple è, evidentemente, m! (m
fattoriale), perchè coincide col numero di modi in cui è possibile permutare l'ordine di quegli m oggetti).
GENERALIZZAZIONE.
Siano dati n oggetti, dei quali m uguali fra loro, r uguali fra loro, s uguali fra loro ... (m+r+s+... = n).
Quante n-uple ordinate distinguibili potremo costruire?
Il numero di tali n-uple si indica col simbolo
che
e si potrà dimostrare, riadattando la tecnica vista appena sopra,
Esempio 11:
se abbiamo 3 palline bianche identiche fra loro, 6 palline rosse identiche fra loro e 5 palline verdi tutte identiche fra
loro,
quante sequenze distinguibili potremo costruire con questi 3+6+5=14 oggetti?
Risposta:
Si può pure parlare di "PERMUTAZIO-I CICLICHE DI n OGGETTI". Una "permutazione ciclica di n oggetti"
è "uno dei modi in cui tali oggetti possono essere disposti intorno ad un tavolo circolare, come se fossero giocatori di
carte".
E' evidente che la situazione
a
d
b
c
coincide, in questo contesto, con ciascuna delle seguenti:
a
d
c
b
b
c
a
c
d
b
d
d
c
a
a
b
per cui
il numero P’n delle permutazioni cicliche di n oggetti è uguale al numero delle permutazioni di n oggetti, diviso per n:
Esempio 12: in quanti modi si possono disporre 5 giocatori di carte intorno a un tavolo?
Risposta: 4! = 24
Cap. 3 - IL C.C. APPLICATO AL LOTTO E AL SUPERE-ALOTTO
3.1 Il gioco del lotto nel Calcolo delle Probabilità
Qual è la probabilità di azzeccare l' "estratto semplice"?
Io gioco un numero, ad esempio il 44, e "spero che esca".
I casi possibili sono le cinquine non ordinate costruibili coi 90 numeri 1, 2, ... 90, cioè
quante le cinquine che contengono il 44.
e i casi favorevoli sono tanti
Ma queste sono tante quante le quaterne costruibili utilizzando gli 89 numeri rimanenti, cioè
La probabilità richiesta è pertanto
Qual è la probabilità di azzeccare l' "ambo" ?
Io gioco 2 numeri, ad esempio il 44 e il 55, e "spero che escano".
I casi possibili sono le cinquine non ordinate costruibili coi 90 numeri 1, 2, ... 90, cioè
quante le cinquine che contengono il 44 e il 55.
e i casi favorevoli sono tanti
Esse sono tante quante le terne costruibili utilizzando gli 88 numeri rimanenti, cioè
La probabilità richiesta è pertanto
Qual è la probabilità di azzeccare il "terno" ?
(attenzione a non fare confusione con l'Esempio 5 del Cap. 2)
Io gioco 3 numeri, ad esempio il 44, il 55 e il 66, e "spero che escano".
I casi possibili sono le cinquine non ordinate costruibili coi 90 numeri 1, 2, ... 90, cioè
quante le cinquine che contengono il 44, il 55 e il 66.
Esse sono tante quante le coppie costruibili utilizzando gli 87 numeri rimanenti, cioè
La probabilità richiesta è pertanto
Qual è la probabilità di azzeccare la "quaterna"?
Io gioco 4 numeri, ad esempio il 44, il 55, il 66 e il 77, e "spero che escano".
e i casi favorevoli sono tanti
I casi possibili sono le cinquine non ordinate costruibili coi 90 numeri 1, 2, ... 90, cioè
quante le cinquine che contengono il 44, il 55, il 66 e il 77.
Esse sono tante quanti i numeri rimanenti, ossia sono 86.
La probabilità richiesta è pertanto
e i casi favorevoli sono tanti
Qual è la probabilità di azzeccare la "cinquina"?
Io gioco 5 numeri, ad esempio il 44, il 55, il 66, il 77 e l'88, e "spero che escano".
I casi possibili sono le cinquine non ordinate costruibili coi 90 numeri 1, 2, ... 90, cioè
Si ha 1 solo caso favorevole. La probabilità richiesta è pertanto
Notare come il lotto sia un gioco "iniquo": a fronte delle probabilità sopra calcolate, lo Stato restituisce soltanto:
per l' "estratto semplice": 11,232 volte la cifra giocata;
per l'ambo, 250 volte,
per il terno 4250 volte,
per la quaterna 80000 volte,
per la cinquina 1000000 di volte.
Quando gioco la combinazione:
ho una probabilità di vincere di
Estratto semplice
Ambo
Terno
Quaterna
Cinquina
1/18
2/801 (circa 1/400)
1/11.748
1/511.038
1/43.949.268
Ma, in caso di vincita, mi viene pagata
soltanto una cifra uguale alla posta
giocata moltiplicata per
11,232
250
4250
80.000
1.000.000
Lotto = gioco iniquo!
Ha senso giocare solo se si giocano piccole somme di denaro su combinazioni difficili, con la quasi certezza di perdere ma
con la remota speranza di vincere grosse cifre.
L’emozione di un sogno milionario giustifica una piccola cifra giocata, e quasi certamente persa.
3.2 - Il gioco del Superenalotto nel Calcolo delle Probabilità
Qual è la probabilità di fare "6" Al Superenalotto?
Io gioco una sestina, ad esempio 10, 20, 30, 40, 50, 60, e "spero che esca". I casi possibili sono le sestine non ordinate
costruibili coi 90 numeri 1, 2, ... 90, cioè
e si ha 1 solo caso favorevole. La probabilità richiesta è pertanto
Qual è la probabilità di fare "5"?
Io gioco una sestina, ad esempio 10, 20, 30, 40, 50, 60, e "spero che la nella sestina vincente ci siano 5 fra i miei numeri".
I casi possibili sono le sestine non ordinate costruibili coi 90 numeri 1, 2, ... 90, cioè
mentre i casi favorevoli sono tanti quante le sestine costruibili utilizzando
5 fra i miei 6 numeri, insieme con 1 degli 84 numeri che non ho giocato.
Esse sono 6 · 84 (6 = numero dei modi in cui, fra i miei 6 numeri, posso sceglierne 5). La probabilità richiesta è pertanto
Per la precisione, la probabilità da noi appena calcolata non tiene conto del famoso “settimo numero estratto”, quello che può
permettere, a chi abbia fatto “5”, di totalizzare eventualmente il cosiddetto “5+1”.
Il numero da noi determinato rappresenta perciò la probabilità di fare “5 oppure 5+1”, e la probabilità di fare “cinque-ebasta” andrà ricalcolata sottraendo, da tale numero, la piccolissima probabilità di fare “5+1” (di cui ci occuperemo alla fine
di questo capitolo).
Qual è la probabilità di fare "4"?
Io gioco una sestina, ad esempio 10, 20, 30, 40, 50, 60, e "spero che la nella sestina vincente ci siano 4 fra i miei numeri".
I casi possibili sono le sestine non ordinate costruibili coi 90 numeri 1, 2, ... 90, cioè
le sestine costruibili utilizzando
i casi favorevoli sono tanti quante
 6   84 
  ⋅  
4 fra i miei 6 numeri, insieme con 2 degli 84 numeri rimanenti. Esse sono  4   2  .
Infatti
è il numero dei modi in cui, fra i miei 6 numeri, posso sceglierne 4;
numeri che non ho giocato, posso sceglierne 2.
è il numero dei modi in cui, fra gli 84
La probabilità richiesta è pertanto
Qual è la probabilità di fare "3"?
Io gioco una sestina, ad esempio 10, 20, 30, 40, 50, 60, e "spero che la nella sestina vincente ci siano 3 fra i miei numeri".
I casi possibili sono le sestine non ordinate costruibili coi 90 numeri 1, 2, ... 90, cioè
le sestine costruibili utilizzando
3 fra i miei 6 numeri, insieme con 3 degli 84 numeri che non ho giocato.
Esse sono
Infatti
i casi favorevoli sono tanti quante
è il numero dei modi in cui, fra i miei 6 numeri, posso sceglierne 3;
è il numero dei modi in cui, fra gli 84 numeri che non ho giocato, posso sceglierne 3).
La probabilità richiesta è pertanto
Andiamo ora a valutare la probabilità di azzeccare il “5+1”.
Bene! Il numero dei casi possibili è sempre
Quanti sono invece i casi favorevoli?
Dunque, ripensiamo a quanto avviene la sera dell’estrazione.
Viene estratta la sestina vincente. Viene poi estratto il numero “jolly”: supponiamo che sia il 58 (il mio anno di nascita è il
1958, ebbene sì). Osserviamo che il numero “jolly” è a tutti gli effetti un settimo numero estratto, quindi è diverso da tutti i
numeri della sestina vincente.
I casi favorevoli sono rappresentati da tutte quelle sestine costruibili utilizzando il 58, associato con 5 fra i 6 numeri della
sestina vincente.
Ma di sestine siffatte io ne posso costruire, evidentemente, 6 (per scrivere tali sestine, mi basta prendere
la sestina vincente e sostituire il primo, oppure il secondo, … , oppure il sesto elemento, col numero
58).
ossia esattamente 6 volte la probabilità di azzeccare il
Perciò la probabilità di azzeccare il “5+1” è
“6”. Diciamo quindi meno di 1 su cento milioni.
Come si è visto, la struttura combinatorio-probabilistica del Superenalotto è completamente diversa da
quella del Lotto.
Ad esempio, un “tre” al Superenalotto non ha assolutamente nulla a che fare con un “terno al Lotto”: si
tratta di situazioni del tutto diverse.
In quanto all’equità o iniquità del Superenalotto, la valutazione è un po’ più elaborata rispetto a quella
fatta per il Lotto, in quanto il premio in caso di vincita non si ottiene, come nel caso del Lotto,
moltiplicando la cifra impegnata per un dato fattore (dipendente dal tipo di combinazione giocata), ma
invece il frutto della ripartizione di un “monte-premi” variabile di settimana in settimana; fra i vari
giocatori che hanno azzeccato le varie combinazioni.
Lo studente, a questo punto, potrà facilmente approfondire la questione pervenendo alla stessa
conclusione precedente:
Ha senso giocare solo se si giocano piccolissime cifre, con la quasi certezza di perdere ma con la remota speranza di vincere
miliardi.
Lo “sfizio” di avere in tasca 1 possibilità su 622 milioni di aggiudicarsi il jack-pot miliardario può valere (forse) l’euro della
giocata. Ma chi gioca centinaia di euro al Superenalotto, così come al Lotto, incrementa soltanto le entrate di quella
che è stata chiamata, con tutte le ragioni, la “tassa sugli imbecilli”.