ENERGIA CINETICA • Si consideri la massa m, appoggiata su una superficie orizzontale liscia, sottoposta all’azione di una forza di intensità costante applicata parallelamente alla superficie di appoggio. All’istante iniziale (t = 0) la massa sia nel punto A con velocità iniziale vA ed al generico tempo t sia nel punto B con velocità vB. Scegliendo un asse di riferimento con origine nel punto A e verso concorde con la direzione del moto, la massa si muove di moto lineare uniformemente vario e l’accelerazione vale F a m vA N vB • Le equazioni del moto sono F 1 1F 2 x(t) v A t at 2 v A t t A B 2 2m P F v B v A at v A t m [email protected] 1 Ricavando il tempo dalla seconda equazione e sostituendolo nella prima si ottiene m 1m 2 x(t) v A v B v A v v A F 2F B Sviluppando il quadrato del binomio e moltiplicando ambo i membri per F si ottiene ricava la relazione 1 1 (1) Fx mv B2 mv 2A 2 2 Entrambi i membri hanno la dimensione di un’energia, infatti 1 2 2 2 2 2 : mv T L M T : Fx L M T 2 la relazione rappresenta il lavoro compiuto da una forza, la è detta “energia cinetica”. L’equazione (1) suggerisce uno stretto legame fra il lavoro compiuto da una forza agente su una massa e la variazione di energia cinetica. La relazione (1) nota come “teorema dell’energia cinetica”, [email protected] 2 il lavoro compiuto da una forza agente su una massa (che si muove dalla posizione iniziale A a quella finale B) è uguale alla variazione di energia cinetica, calcolata fra la posizione finale e quella iniziale 1 1 L AB mv B2 mv 2A 2 2 • L’unità di misura della energia cinetica nel Sistema Internazionale di Misura è il joule (J). Annotazione: le relazioni matematiche possono essere scritte secondo un preciso formalismo: ad esempio, quando si ha la variazione di una grandezza dal valore iniziale vi a quello finale vf, tale variazione si indica con la lettera greca Δ seguita dalla lettera che indica la grandezza trattata. Nel caso del teorema dell’energia cinetica 1 1 L AB mv B2 mv 2A T 2 2 [email protected] 3 In funzione del valore che la variazione di energia cinetica può assumere si ha T 0 T 0 T 0 v A vB : moto accelerato v A vB : moto decelerato v A vB : moto uniforme • Il teorema dell’energia cinetica ha valore assolutamente generale perché non vengono formulate ipotesi particolari sulla natura delle forze in gioco (forze conservative o forze non conservative). • Come esempio di applicazione del teorema dell’energia cinetica si consideri l’esercizio seguente: un corpo di massa m scivola su una superficie scabra orizzontale. Se la sua velocità diminuisse a causa della sola forza di attrito dinamico, determinare quale spazio percorrerebbe prima di fermarsi. La velocità iniziale del corpo abbia modulo v0, il coefficiente di attrito dinamico sia fd e scegliendo un asse di riferimento parallelo al piano e verso concorde con la direzione del moto, si ha il seguente diagramma di corpo libero [email protected] 4 N P mg N Fd f d N f dmg Fd A B P x v0 Applicando il teorema dell’energia cinetica si hanno i valori L AB Fd B A Fd ABcos180 f dmg x L AB TB TA 1 2 TB 0 TA mv 0 2 1 f d mg x 0 mv 02 2 e lo spazio percorso ha valore 1 v 02 x 2 fdg [email protected] 5 ─ la relazione è impossibile ricavarla con procedimento cinematico a causa della forza di attrito, ─ il lavoro compiuto è negativo in quando viene dissipata energia (scambio di energia dal sistema all’ambiente), ─ la forza di attrito dinamica è una forza non conservativa ed il suo lavoro dipende dalla lunghezza del tratto percorso. [email protected] 6