Filtri digitali
Introduzione
Programma del Corso







Basi di elaborazione numerica
Introduzione ai filtri digitali
Progetto di filtri analogici
Progetto di filtri digitali ricorsivi (IIR)
Progetto di filtri digitali non-ricorsivi (FIR)
Filtri Multirate
Filtri Non-Lineari ???
Testi Consigliati




Proakis - Manolakis
Introduction to digital Signal Processing
Macmillan Publishing Company
Rabiner - Gold
Theory and application of digital signal processing
Prentice_hall
Mitra
Digital Signal Processing
Mc Graw Hill
Oppenheim – Shafer
Digital Signal Processing
Prentice Hall
Sequenze di dati (nomenclatura)
Campione: x(n)
Sequenza: {x(n)}
Indice: n
Sequenze fondamentali:
 Impulso
 Gradino
u0 ( n)
….
u1 (n)
 Esponenziale complesso
x( n )  e j n
Ritardo
{h(n)}
hr (n)  h (n  m)
n: indice della seq.
m: ritardo
{h (n)}
r
n=0
Una qualunque sequenza puo’ essere pensata come una combinazione
lineare di tante sequenze impulsive opportunamente ritardate e pesate

{a(n)}   m a(m)  uo (n  m)

Sistemi LTI (Linearity)
LTI
x(n)
y(n)
Linearita’:
x1 (n)  y1 (n) and x2 (n)  y2 (n)
a  x1 (n)  b  x2 (n)  a  y1 (n)  b  y2 (n)
Sistemi LTI (Time Invariant)
LTI
x(n)
y(n)
Invarianza Temporale:
x ( n)  y ( n)
x(n  N )  y (n  N )
Convoluzione
LTI
xx(n)
u(n)
(n)
o
y(n)
h(n)
y(n)




x ( n )   m x ( m) u 0 ( n  m)  y ( n )   m x ( m) h ( n  m)
Con una semplice sostituzione degli indici (m = n - m)

y ( n )   m h ( m) x ( n  m)

Causalita`
Si definisce causale un sistema per cui
h(n)  0 per n  0
Ovvero il sitema non e’ “anticipativo”
Stabilita`
Un sistema e` stabile se, sollecitato con un ingresso “limitato”
risponde con un’uscita pur essa “limitata”.
Condizione necessaria e sufficiente per la stabilita’ e’:
 h(n)  
Espressioni per “y(n)”
Convoluzione

y ( n )   m h ( m) x ( n  m)

Differenze finite
M
N
0
1
y (n)   i bi x(n  i )   j a j y (n  j )
Vi sono 2 categorie di Filtri Lineari:
• FIR (Finite Impulse response)
in cui l’uscita dipende solo dall’ingresso
• IIR (Infinite Impulse Response)
in cui e’ presente una “retroazione”
Risposta in frequenza
Si solleciti un sistema lineare avente una risposta impulsiva “h(n)”
con un segnale di tipo:
x(n)  e( j n )
L’uscita risulta essere:
y ( n )   m h ( m ) e j ( n  m )
e
j n

m
 x ( n) H (e
h ( m)e
j
 j m
)
Ove “H(e j)” prende il nome di “riposta in frequenza”
Risposta in frequenza - Proprieta’:
H (e j )   n h(n)e j n



Funzione continua in 
Periodica di periodo 2p
Se h(n) è reale
 modulo
simmetrico e fase antisimmetrica
 “Re(H)” simmetrico ed “Im(H)” antisimmetrico
p
p
Risposta in frequenza - Proprieta’:
Essendo “H” periodica può essere sviluppata in serie

di Fourier:

j
 j n
 H (e )   h( n)e



p
h(n)  1 H (e j )e j n d
2p 

p

p
x ( n) 
1
2p
j n
j n
X
(
e
)
e
d
 j n
e
p
LTI
p
y (n) 
1
2p
j
e j njH
)j n
 n (e
p H (e
) X (e
)e j n d

Ovvero:
j
j
j
Y (e )  H (e ) X (e )
Sequenza temporale
Se si vuole mantenere il legame temporale con il segnale analogico
x(n)  x(nT )
X (e j T )   x(nT )e j nT
La risposta in frequenza risulta
periodica di periodo 2p/T


j T
 j nT
X
(
e
)

x
(
nT
)
e





p /T
j T
 x(nT )  T
)e j nT d
2p  X (e

p / T

X(t)
X(nT)
T
 X ( j)   x(t ) e  jt dt

 A


1
 x(t )  2p  X A ( j)e jt d


Legame spettro analogico - digitale

Un qualunque segnale continuo:
x(t ) 
1
2p

Campionato con periodo T:
x(nT ) 
1
2p
Suddividendo l’integrale:
x(nT ) 
1
2
Sostituendo: ’ =  - 2pm/T:
Semplificando:
x(nT ) 
x(nT ) 
X A ( j)e jt d



p  
1
2p




m

m
2 ( m 1) pT
2 ( m 1) p
 
p
1
2p
X A ( j)e jnT d
T
p
T
 pT

 
T
 pT

X A ( j)e jnT d
m
X A ( j ' j 2p m)e j 'nT e
j 2Tp mnT
T
X A ( j ' j 2p m)e j 'nT d '
T
Ma paragonando il risultato ottenuto con quanto si e’ visto per i segnali digitali, ovvero:
x(nT ) 
T
2p

p
T
 pT
X (e j T )e
j nT
d
Si perviene al legame tra le rappresentazioni spettrali del segnale originale e del suo campionato:

1
X (e j T )   m X A ( j  j 2p m)
T
T 
d '
Legame spettro analogico - digitale
Partendo da un segnale analogico
Con un certo spettro
X(t)
T
Definito un certo intervallo di campionamento T ed operando il
campionamento del segnale
Legame spettro analogico - digitale
Si ottiene un segnale digitale
Con un certo spettro digitale
X(t)
X(nT)
T
p/T
p/T
Lo spettro digitale (periodico) e’ ottenibile come sovrapposizione
di infinite repliche, opportunamente traslate, dello spettro analogico
Aliasing
Una modifica dell’intervallo T
Comporta una modifica nella
periodicità dello spettro
X(t)
X(nT)
T
p/T
p/T
ALIASING: Se si sceglie un periodo di campionamento troppo
elevato (in riferimento alla massima frequenza del segnale
analogico) si possono avere distorsioni dovute alla sovrapposizione
degli spettri
Aliasing
Una modifica dell’intervallo T
Comporta una modifica nella
periodicità dello spettro
X(t)
X(nT)
T
p/T p/T
ALIASING: Se si sceglie un periodo di campionamento troppo
elevato (in riferimento alla massima frequenza del segnale
analogico) si possono avere distorsioni dovute alla sovrapposizione
degli spettri
Teorema di Shannon
M
X(t)
X(nT)
T
p/T p/T
Per non avere aliasing l’intervallo di campionamento deve essere
scelto in base alla seguente regola:
p
T
 M
Ovvero:
Le componenti armoniche a frequenza
superiore DEVONO venir filtrate
T
1
2 fM
Interpretazione


Per campionare un segnale si deve usare una
frequenza di campionamento (fT) almeno doppia
della massima frequenza del segnale (fN)
(Nyquist)
In un segnale con una sola frequenza si devono
prendere almeno 2 campioni per periodo per
poter ricostruire il segnale
Trasformata “Z”
Data una certa sequenza “x(n)” di definisce:

X ( z )   n x ( n) z
n

x(n) 
1
2p j C1
X ( z ) z n1dz   Re s ( X ( z ) z n1 )
Proprietà:
Linearità:
x1 (n)  X1 ( z)
ax1 (n)  bx2 (n)  aX1 ( z)  bX 2 ( z)
Ritardo:
x1 (n)  X1 ( z)
x1 (n  no )  z  n0 X 1 ( z )
Convoluzione:
y ( n)  x ( n)  h( n)
Y ( z)  X ( z)H ( z)
Trasformata “Z” (proprietà)
Legame con la risposta in frequenza:

X (e )   n x ( n)e
j

X ( z )   n x ( n) z
 j n


Im
ej
Z-plane
r=1
Re
n
Applicazioni ai filtri lineari
Poiché un filtro digitale lineare
può essere rappresentato tramite
una equazione alle differenze
finite:
Sfruttando la trasformata Z:
Si perviene ad una
rappresentazione del filtro
secondo la trasf.Z come un
rapporto di due polinomi in Z.
H è la Z-trasf. della risposta
impulsiva h(n)
M
N
0
1
y (n)   i bi x(n  i )   j a j y (n  j )
M
N
Y ( z )   i bi X ( z ) z   j a jY ( z ) z i
i
0
1
N
M

i 
Y ( z )1   j a j z   X ( z ) i bi z i
1
0


M
H ( z) 
Y ( z)

X ( z)

b z i
i i
0
N
1   j a j z i
1
Filtri digitali lineari
M
N
0
1
y (n)   i bi x(n  i )   j a j y (n  j )
Differenze finite
x(n)

y (n)   i h(i ) x(n  i )

Convoluzione
Z-1
b0
Z-1
Z-1
b1
aN
bM-1
aN-1
Z-1
FIR: ai = 0
IIR : ai = 0  bi = hi
Z-1
bM
a1
Z-1
y(n)