Procedura per una
Quadratura del Cerchio
di Bruno Montanari
Roma 25 gennaio 2009
Passo 1
Si traccia una
circonferenza
con raggio a
piacere.
Passo 2
Si tracciano
le diagonali
a 45°.
Passo 3
Si tracciano
altre 4
circonferenze
(verdi - v.
disegno), con
centro nelle
intersezioni
delle diagonali
col la
circonferenza
iniziale, aventi
lo stesso
raggio di quest’
ultima.
Passo 4
Si tracciano
ancora 4
circonferenze
(azzurre), con
centro nelle
intersezioni dei
4 cerchi verdi
con le
diagonali,
aventi sempre
lo stesso raggio
della prima.
Passo 5
Si traccia il
quadrato che
inscrive le 4
circonferenze
verdi.
Passo 6
Si tracciano altre
4 circonferenze
(azzurre), con
centro nelle
intersezioni tra il
quadrato e gli
assi orizzontale e
verticale. Il loro
raggio è sempre
lo stesso di quello
delle
circonferenze
precedenti.
Passo 7
Si traccia il
quadrato (rosso)
che passa per i
punti in cui le
circonferenze
azzurre si
intersecano dalla
parte del centro
del disegno. L’area
di questo quadrato
approssima l’area
dei cerchi entro lo
0,67%.
Dimostrazione
L 0  2R cos 45  R 2
L1  R 
L2 
β
L2
β
α
L0
γ
L1
L0
2
R
L3
R



2 
2
L 0  L1  R 3, 5 
2
2
L 3  h cos  
α
h

 R 1 
R 
2
=
L1

2
L2
2
1
4
L1
2
L2
2

LQ
=
R
2
2
1  2 2  1 


L1
2

 3, 5  2
2 
2
3, 5 
2
LQ  2(2R  2L1  L 3 ) 
R
(2  3 2 ) 3, 5 
2  2 1 2 2
2 3, 5 
2
Conclusione
Ponendo R = 1, mentre l’area dei
cerchi (pari a π R2 ) vale esattamente
π, l’area del quadrato rosso risulta
LQ
essere pari a :
LQ x LQ = 3,1205932
Poiché π vale 3,1415927, il
procedimento ha fornito un risultato
approssimato dello 0,6684%.
Conclusione
Ingrandendo la grafica si può
evidenziare la differenza tra il quadrato
ottenuto dal procedimento (in rosso) con
quello teorico (verde), appena un poco
più grande, avente lato pari proprio a
