I modelli dei rendimenti di equilibrio
Corso di Economia delle Scelte Finanziarie e
di Portafoglio (prof. G. Ferri): Lezione 3
1
In questa lezione
Rimuoviamo alcune ipotesi restrittive fatte nella
derivazione del CAPM a un periodo;
Usiamo il criterio M-V per derivare la domanda di
attività rischiose;
Vediamo come si può usare il CAPM per costruire
indicatori di performance;
Confrontiamo i rendimenti di equilibrio derivati dal
CAPM con quelli derivati dall’Arbitrage Pricing
Theory (APT)
2
Estensioni del CAPM - 1
Lo Zero-Beta CAPM: nessuna attività sicura
Se non è consentito prendere/dare a prestito al tasso privo di
rischio, si può mostrare che il mix di portafoglio scelto
non è più lo stesso per ogni investitore, ma varia in base
alle preferenze:
1. investitore raggiunge l’ottimo combinando portafoglio
efficiente (M) con corrispondente portafoglio zero-beta
(Z, cfr. figura);
2. è zero-beta un portafoglio con attività rischiose in
proporzioni xi tali che ERz =  xi ERi e vale che:
(i) non è correlato col portafoglio rischioso M;
(ii) è il portafoglio con varianza minima tra quelli che
soddisfano (i).
3
Estensioni del CAPM - 2
3. non vi è un’unica combinazione dei portafogli M e Z,
anche se i rendimenti di equilibrio sono comunque una
funzione lineare di ERm ed ERz che soddisfa:
ERi = ERz + (ERm – ERz) βi
è ovvio, per βi=0 → ERi = ERz (portafoglio zero-beta)
Vale ancora il principio della separazione tra le due scelte
dell’investitore. Egli:
(i) sceglie il portafoglio efficiente M e quello inefficiente Z
(ogni portafoglio sulla linea ERz - Z è inefficiente);
(ii) combina M e Z in base alle sue preferenze.
4
Estensioni del CAPM - 3
Non si può stare sulla linea (analoga alla LMC) perché non si può prendere/dare a prestito: i
portafogli M 1 e M 2 sono comunque efficienti (sono sulla frontiera efficiente)
ER i
M

ER m
 M1
I1
Vende allo scoperto il portafoglio Z e usa il
ricavato + il proprio capitale per acquistare M e,
così, raggiunge M1
I2
M2
ER z
Miscela i portafogli Z e
M e, così, raggiunge M2
Z

σm
σi
5
Estensioni del CAPM - 4
Diversi tassi creditori e debitori
Riammettendo crediti e debiti, assumiamo che rB > rL (tasso
debitore > tasso creditore = tasso privo di rischio),
allora si può mostrare che il mix di portafoglio scelto
differisce tra tipi di investitori (cfr. figura):
1. creditore sceglie nel tratto rL – L (L–L’ irraggiungibile);
2. debitore sceglie nel tratto B – C (rB–B irraggiungibile);
3. se né creditore né debitore sceglie nel tratto LMB
Per 3 vale portafoglio zero-beta: ERi = ERz + (ERm – ERz) βi
Per 1 vale ERq = rL + (ERm – rL) βqL ove βqL = σqL/σ2L
Per 2 vale ERk = rB + (ERm – rB) βkB
6
Estensioni del CAPM - 5
L'
ER i
C


B
debitore
M
rB
né creditore
né debitore

L
creditore
ER z
rL
σm
σi
7
Estensioni del CAPM - 6
Altre estensioni
•
•
•
•
Presenza di attività rischiose illiquide (cioè che non
possono essere facilmente vendute sul mercato) → è
difficile modificare il CAPM per tenerne conto;
Presenza di tasse e costi di transazione → il CAPM può
esser agevolmente modificato per tenerne conto;
Aspettative eterogenee su rendimenti attesi, varianze e
covarianze (violazione ipotesi di aspettative razionali)
→ su può modificare il CAPM per tenerne conto solo
con ipotesi molto restrittive sulla funzione di utilità;
Inflazione (investitore si cura dei rendimenti reali) → il
CAPM può esser agevolmente modificato per tenerne
conto.
8
Modello domanda attività MV - 1
Usiamo il modello MV (sviluppato da Tobin) per derivare le
domande di attività. Assumiamo che investitore
massimizzi una funzione di utilità del tipo:
U = U(μN, σ2N) con U1 >0, U2 <0, U11, U22 <0,
che assume la forma particolare: μN – (c/2)σ2N
ove c coglie il grado di avversione al rischio. Se ci sono una
attività priva di rischio (con rendimento r) e una sola
attività rischiosa (con rendimento effettivo R, atteso μR
e varianza σ2R) siamo in situazione analoga derivazione
della linea di trasformazione e si trova che la quota
detenuta nell’attività rischiosa è: x*i = (μR – r)/(cσ2R)
ovvero la domanda dell’attività rischiosa cresce nel
rendimento in eccesso e cala nella rischiosità
9
Modello domanda attività MV - 2
μN
μR(2)>μR(1)
E
I2

I1
μR(1)
D
B

r
A
σR
σR
10
Uso CAPM per indici di performance - 1
Nel mondo del CAPM tutti i rendimenti aggiustati per il
rischio seguono: (ERi – r)/βi = (ERj – r)/βj = …
Ma nella realtà di breve periodo può non valere l’equilibrio
e, perciò, possono esserci opportunità di profitto. Come
valutare performance effettiva investimento? Indicatori
di Sharpe (S), di Treynor (T) e di Jensen (J):
Si = (ERi – r)/σi
Ti = (ERi – r)/βi
[EtRi,t+1 – rt] = Ji + [EtRmt+1 – rt]
Si appropriato se investitore detiene fondo comune + attività
sicura; Ti e Ji se detiene fondo comune + altre attività
rischiose. Si può mostrare che i tre indicatori sono
correlati tra di loro e discendono da CAPM
11
Arbitrage Pricing Theory APT - 1
Per APT il rendimento di un’azione può essere scomposto
in una parte attesa e una inattesa: Rit = Reit + uit
e uit si scompone in rischio sistematico (di mercato, es.
macro: π, PIL, r) e rischio specifico (idiosincratico):
uit = mt + εit ove si assume che cov(m,ε)=0
Come nel CAPM, il rischio sistematico non è diversificabile
mentre quello specifico lo è con portafoglio ampio.
L’APT può essere espresso da: (1) Rit = ai + kj=1bijFjt + εit
(2) ERit = λ0 + kj=1bijλj ove gli Fjt sono fattori sistematici,
i bij sono dei fattori beta di ponderazione, λj è il
rendimento in eccesso atteso richiesto per la sensibilità
delle azioni al fattore i; λ0 = rt oppure ERZ.
12
Arbitrage Pricing Theory APT - 2
L’APT può essere stimato empiricamente attraverso
l’analisi dei fattori in modo da determinare i valori dei
parametri espressi in (1) e (2). In effetti l’APT è anche
noto come modello multifattoriale.
Che relazione c’è tra il CAPM e l’APT? Si può mostrare
che il CAPM è coerente con un APT multifattoriale. Si
consideri un APT con 2 fattori: (1’) Ri =ai + bi1F1+bi2F2
(2’) ERi = r + bi1λ1+bi2λ2
ora ricordiamo che λj è il
rendimento in eccesso; quindi se vale il CAPM:
λ1= β1(ERm – r); λ2= β2(ERm – r) ove βi=σim/σ2m sono i β
derivati dal CAPM. Sostituendo in (1’) e (2’) si ha:
ERi = r + β*i (ERm – r)
13