Proporzionalità
Proporzionalità Diretta
Mafalda, per acquistare un rotolo di nastro colorato ha
speso 2 €. Quanto avrebbe speso per acquistare 2 rotoli
di nastro?
Risposta: 4 €
Proporzionalità Diretta
Mafalda, per acquistare un rotolo di nastro colorato ha
speso 2 €. Quanto avrebbe speso per acquistare 2 rotoli
di nastro?
Risposta: 4 €
E per acquistare 3 rotoli?
Risposta: 6 €
Proporzionalità Diretta
Numero di rotoli
(x)
Costo in €
(y)
1
2
2
4
3
6
4
8
Proporzionalità Diretta
Due grandezze variabili, dipendenti una dall’altra, si
dicono direttamente proporzionali se diventando una
doppia, tripla, …, la metà, un terzo, …, anche l’altra
diventa doppia, tripla, …, la metà, un terzo, … .
·2
·3
·4
Numero di Costo in €
rotoli (x)
(y)
1
2
2
4
3
6
4
8
·2
·3
·4
Proporzionalità Diretta
Osserva la tabella: qual è il rapporto tra un valore della
variabile dipendente e il corrispondente valore della
variabile indipendente?
Numero di
rotoli (x)
Costo in €
(y)
1
2
2
4
3
6
4
8
Rapporto
(y/x)
2
= 2
1
4
= 2
2
6
= 2
3
8
= 2
4
Proporzionalità Diretta
Se due grandezze variabili y ed x sono direttamente
proporzionali, il loro rapporto è costante (k).
Grandezze direttamente proporzionali :
y
= k
x
oppure
y = k ·x
Proporzionalità Diretta
In generale si indica con x la variabile indipendente
(n° di rotoli) e con y la variabile dipendente (costo) e
con k il loro rapporto costante.
La relazione sottostante prende il nome di
legge di proporzionalità diretta
y
= k
x
oppure
y = k ·x
Il valore k prende il nome di
coefficiente di proporzionalità diretta
Prova tu!
Proporzionalità Diretta
Calcola i km percorsi da un’automobile con velocità
costante considerando i dati noti iniziali:
In 1h 90 km
Tempo in
ore (x)
Distanza
in km (y)
In 3h 270 km
In 2h 180 km
x
1
2
3
5
y
90
180
270
450
Prova tu!
Proporzionalità Diretta
Tempo in ore (x)
Distanza in km (y)
x
y
1
2
3
5
90
180
270
450
Osservando la tabella si vede che le grandezze x ed y sono
direttamente proporzionali: raddoppiando, triplicando, …, il
tempo, anche la distanza raddoppia, triplica, … .
Il rapporto tra i valori corrispondenti è costante.
90 180 270 450
=
=
=
= 90
1
2
3
5
e quindi
y
= 90 oppure y = 90 ×x
x
Proporzionalità Diretta
Tempo in ore (x)
Distanza in km (y)
x
y
1
2
3
5
90
180
270
450
Volendo rappresentare i dati della
tabella su un piano cartesiano, come
si disporranno i punti
corrispondenti ad ogni coppia di
valori?
Proporzionalità Diretta
Tempo in ore (x)
Distanza in km (y)
x
y
1
2
3
5
90
180
270
450
La proporzionalità
diretta ha come
grafico una
semiretta passante
per l’origine!
Prova tu!
Proporzionalità Diretta
Quale dei seguenti grafici rappresenta la legge di
proporzionalità diretta?
Prova tu!
Proporzionalità Diretta
Osserva il grafico. Quali, tra le seguenti leggi di
proporzionalità diretta, è quella rappresentata dalla
retta?
Y = 3x
Y =
1
x
2
Y =x
1
Y = x
2
Proporzionalità Inversa
Marco decide di trascorrere le vacanze in barca, per
questo motivo si procura i viveri sufficienti per 12
giorni. Se a Marco si unisce sua moglie Lucia, per quanto
tempo saranno sufficienti i viveri imbarcati?
Risposta: 6 giorni
Proporzionalità Inversa
E se, all’ultimo momento, anche il loro figlio Luca si
imbarcasse con i genitori, per quanti giorni saranno
sufficienti i viveri imbarcati?
Risposta: 4 giorni
Proporzionalità Inversa
n° partecipanti (x)
n° giorni (y)
1
12
2
6
3
4
Proporzionalità Inversa
Due grandezze variabili, dipendenti una dall’altra, si
dicono inversamente proporzionali se diventando una
doppia, tripla, …, la metà, la terza parte, …, l’altra
diventa la metà, la terza parte, … doppia, tripla, …,.
il doppio
il triplo
n°
partecipanti
(x)
1
2
3
n°
giorni
(y)
12
6
4
la metà
un terzo
Proporzionalità Inversa
Osserva la tabella: qual è il prodotto tra un valore della
variabile dipendente e il corrispondente valore della
variabile dipendente?
n°
partecipanti
(x)
1
2
3
n°
giorni
(y)
12
6
4
y·x
12 · 1 = 12
6 · 2 = 12
4 · 3 = 12
Proporzionalità Inversa
Se due grandezze variabili y ed x sono inversamente
proporzionali, il loro prodotto è costante (k).
Grandezze inversamente proporzionali :
y ·x = k
oppure
k
y =
x
Proporzionalità Inversa
In generale si indica con x la variabile indipendente
(n° di partecipanti) e con y la variabile dipendente
(n° giorni) e con k il loro prodotto costante.
La relazione sottostante prende il nome di
legge di proporzionalità inversa
y ·x = k
oppure
k
y =
x
Il valore k prende il nome di
coefficiente di proporzionalità inversa
Prova tu!
Proporzionalità Inversa
Osserva i seguenti rettangoli
Confronta le basi e le altezze dei
rettangoli A e B.
Cosa osservi?
Prova tu!
Proporzionalità Inversa
Osserva i seguenti rettangoli
Confronta le basi e le
altezze dei
rettangoli A e C.
Cosa osservi?
Prova tu!
Proporzionalità Inversa
Osserva i seguenti rettangoli
Confronta le basi e le
altezze dei
rettangoli A e D.
Cosa osservi?
Prova tu!
Proporzionalità Inversa
Le basi e le altezze dei rettangoli sono direttamente o
inversamente proporzionali?
Spiega
Cosa hanno in comune i rettangoli?
Prova tu!
Proporzionalità Inversa
base (cm)
x
1
2
3
6
altezza (cm) Y
6
3
2
1
I rettangoli hanno tutti area di 6 cm2
Prova tu!
Proporzionalità Inversa
base (cm)
x
1
2
3
6
altezza (cm) Y
6
3
2
1
Dall’esame dei dati della tabella risulta che base (x) e
altezza (y) sono inversamente proporzionali. Infatti,
raddoppiando, triplicando,… la misura della base, quella
della corrispondente altezza si dimezza, diventa la
terza parte, … .
Prova tu!
Proporzionalità Inversa
base (cm)
x
1
2
3
6
altezza (cm) Y
6
3
2
1
Il prodotto tra i due valori corrispondenti è costante.
La legge matematica che lega le due grandezze è:
x ·y = 6
6
da cui y =
x
Prova tu!
Proporzionalità Inversa
base (cm)
x
1
2
3
6
altezza (cm) Y
6
3
2
1
Rappresentiamo sul
piano cartesiano la
legge:
6
y =
x
Prova tu!
Proporzionalità Inversa
base (cm)
x
1
2
3
6
altezza (cm) Y
6
3
2
1
Rappresentiamo sul
piano cartesiano la
legge:
6
y =
x
Proporzionalità Inversa
Prova tu!
base (cm)
y =
x
1
2
3
6
altezza (cm) Y
6
3
2
1
6
x
Qualunque funzione
di proporzionalità
inversa ha come
grafico un ramo di
iperbole equilatera
Prova tu!
Proporzionalità Inversa
Quale dei seguenti grafici rappresenta la legge di
proporzionalità inversa?
Prova tu!
Proporzionalità Inversa
Quale, tra queste leggi è quella di proporzionalità
inversa
3
y =
x
12
y =
x
14
y =
x
Fine