Lezione
Progetto di Strutture
Oscillatore semplice
Oscillazioni libere
struttura a un grado di libertà
Serbatoio pensile
M
K
Foto
M
K
Modello di
calcolo
Oscillazioni libere
struttura a un grado di libertà
Telaio monopiano
M
M
K
Disegno
schematico
Modello di
calcolo
Comportamento elastico
Oscillazioni libere
Telaio monopiano
F
A
M
Per deformare il telaio in questa posizione occorre applicare una forza F.
Questa é uguale ed opposta alla forza elastica che tende a riportare il
telaio alla posizione indeformata (forza di richiamo elastico).
Equilibrio statico
F k u
Oscillazioni libere
Telaio monopiano
-ku
A
M
Quando si lascia libero il telaio, agisce solo la forza di richiamo elastico,
che provoca un’accelerazione.
Equilibrio dinamico
m uk u 0
Oscillazioni libere
Telaio monopiano
Tornato nella posizione indeformata, la velocità è massima e
l’accelerazione nulla (come la forza di richiamo elastico).
Il telaio oscilla con un periodo ben preciso,
legato alla massa ed anche alla rigidezza del telaio
spostamento
T 2 
m
k
u
u
u0
5
T
10
t (s)
tempo
Oscillazioni libere con smorzamento
Telaio monopiano
In realtà il moto non continua così, a causa della dissipazione di energia
(smorzamento)
Equazione del moto
m uc uk u 0
spostamento
Lo smorzamento è legato alla variazione di spostamento (velocità)
u
u
u0
5
10
t (s)
tempo
x=0.05
Oscillazioni libere con smorzamento
Telaio monopiano
L’ampiezza del moto si riduce tanto più rapidamente quanto maggiore
è lo smorzamento.
Si indica col termine “smorzamento critico” quel valore per il quale il
sistema raggiunge lo stato di quiete senza oscillare. Lo smorzamento
viene di solito indicato come percentuale x dello smorzamento critico
spostamento
x
2
c
k m
u
u
u0
5
10
(s)
tempo
x=1
Smorzamento negli edifici
Dipende da:
 Elementi non strutturali (tramezzi, tompagni)
 Non linearità del materiale
•
Edifici in cemento armato, con tramezzi in muratura:
si può assumere un valore di smorzamento percentuale x = 0.05
•
Edifici in acciaio, con tramezzatura leggera:
é consigliabile usare un valore minore di x = 0.05
•
Edifici isolati alla base, con isolatori in gomma:
si può usare un valore maggiore di x = 0.05
Oscillazioni forzate
Telaio monopiano
p (t)
M
Equazione del moto
m u  c u  k u  p (t )
Nell’equazione del moto
compare un nuovo termine
(l’azione forzante)
Oscillazioni forzate
Telaio monopiano
p
p0
t (s)
Tp  T
x0
risonanza
Se, in assenza di smorzamento, il periodo della forzante coincide con
quello del sistema il moto di quest’ultima si amplifica indefinitamente
Oscillazioni forzate
Telaio monopiano
Forzante
p
p0
5
10
Tp= 0.75 s
t (s)
Risposta, senza smorzamento
u
u0
5
10
T = 1.0 s
t (s)
Tp  T
u
u0
5
10
t (s)
T = 0.5 s
Oscillazioni forzate
Telaio monopiano
Forzante
p
p0
5
10
Tp= 0.75 s
t (s)
Risposta, con smorzamento x=5%
u
u0
5
10
moto totale
componente stazionaria
u
T = 1.0 s
t (s)
Tp  T
u0
5
10
t (s)
T = 0.5 s
Oscillazioni forzate
Telaio monopiano
Il moto viene
amplificato o ridotto,
in funzione
del periodo proprio
e dello smorzamento
del sistema
5
x=0
u/ust
4
a) spostamento
3
2
x = 0.1
1
x=1
0
0
Tp = 0.75 s 1
2
T (s)
3
5
x=0
4
b) accelerazione
3
2
x = 0.1
1
x=1
0
0
Tp = 0.75 s 1
2
T (s)
3
Oscillazioni forzate
(moto del terreno)
M
ug
Equazione del moto:
m u  c u  k u  m ug
Cambia (formalmente)
il termine noto nell’equazione
del moto
Oscillazioni forzate
(moto del terreno - armonico)
u  ug
Forte
amplificazione
5
accelerazione
assoluta
u g ,o
4
3
2
x = 0.1
Riduzione
dell’accelerazione
1
0
0
Tp = 0.75 s
1
2
Stessa accelerazione
del terreno
3s
T
La pseudo-accelerazione
Equazione del moto
m u  c u  k u  m ug
Quando lo spostamento relativo u è massimo la sua derivata è nulla
u  umax

u  0
Si ha allora:
m u  k umax  m ug
k umax  m (u  ug )
2
k
2 
u  ug 
u max  
 u max
m
 T 
perché
T 2
m
k
La pseudo-accelerazione
2
2 
La quantità 
 u
 T 
é detta pseudo-accelerazione.
Essa rappresenta l’accelerazione da applicare alla massa per
determinare la forza che applicata staticamente alla massa
produce lo spostamento elastico massimo indotto dal sisma.
La pseudo-accelerazione coincide con l’accelerazione assoluta
quando lo smorzamento è nullo.
Nella generalità degli altri casi i due parametri hanno valori
diversi, ma comunque molto prossimi tra loro.
Spostamenti massimi, pseudovelocità e pseudo-accelerazioni
La relazione
Sd = Sa / w2
consente di passare dai valori massimi dello spostamento a quelli
massimi della pseudo-accelerazione, e
la relazione
S d = Sv / w
consente di passare dai valori massimi dello spostamento a quelli
massimi della pseudo-velocità.
Oscillazioni forzate
(moto del terreno - accelerogramma)
M
ug
400
PGA
0
10
= 351 cm s -2
20
30
t (s)
Tolmezzo, Friuli, 1976
-400
ug
u (cm)
Risposta del sistema
ad un accelerogramma
T=0.25s
5.0
2.5
0.0
-2.5
-5.0
-7.5
10
20
30
umax= 1.79 cm
Se= (2π/T)2 u = 1139 cm s-2
t (s)
40
Oscillazioni forzate
(moto del terreno - accelerogramma)
M
ug
400
PGA
0
10
= 351 cm s -2
20
30
t (s)
Tolmezzo, Friuli, 1976
-400
ug
u (cm)
Cambiando il periodo
dell’oscillatore,
cambia la risposta
T=0.50s
5.0
2.5
0.0
-2.5
-5.0
-7.5
10
20
umax= 4.59 cm
30
t (s)
40
Se= 727 cm s-2
Oscillazioni forzate
(moto del terreno - accelerogramma)
M
ug
400
PGA
0
10
= 351 cm s -2
20
30
t (s)
Tolmezzo, Friuli, 1976
-400
ug
u (cm)
Cambiando il periodo
dell’oscillatore,
cambia la risposta
T=1.00s
5.0
2.5
0.0
-2.5
-5.0
-7.5
10
umax= 6.35 cm
20
30
t (s)
40
Se= 252 cm s-2
Oscillazioni forzate
(moto del terreno - accelerogramma)
Si può diagrammare,
per punti, il valore
dell’accelerazione
massima
Se
1200
cm s
-2
800
400
0
0
1
2
T
3s
Oscillazioni forzate
(moto del terreno - accelerogramma)
Si può diagrammare,
per punti, il valore
dell’accelerazione
massima
Se
1200
cm s
-2
1139 cm s-2
800
400
u (cm)
Se= 1139 cm s-2
5.0
0
0
2.5
0.25
0.0
-2.5
-5.0
10
20
30
T=0.25s
1
2
T
3s
Oscillazioni forzate
(moto del terreno - accelerogramma)
Si può diagrammare,
per punti, il valore
dell’accelerazione
massima
Se
1200
cm s
-2
1139 cm s-2
800
727 cm s-2
400
u (cm)
5.0
Se= 727 cm s-2
0
0 0.25
2.5
0.5
0.0
-2.5
-5.0
10
20
30
40
T=0.50s
1
2
T
3s
Oscillazioni forzate
(moto del terreno - accelerogramma)
Si può diagrammare,
per punti, il valore
dell’accelerazione
massima
Se
1200
cm s
-2
1139 cm s-2
800
727 cm s-2
400
252 cm s-2
u (cm)
5.0
Se= 252 cm s-2
0
0 0.25 0.5
2.5
0.0
-2.5
-5.0
10
20
30
40
T=1.00s
11
2
T
3s
Oscillazioni forzate
Si può diagrammare,
per punti, il valore
dell’accelerazione
massima
Se
1200
-2
cm s-2
800
1139 cm s-2
727 cm s-2
400
252 cm s-2
0
0 0.25 0.5
1
2
Il diagramma ottenuto unendo i vari punti viene detto
“spettro di risposta” (in termini di accelerazione)
T
3s
Oscillazioni forzate
Spettro di risposta (accelerazione)
L’andamento
dell’accelerazione
massima
dipende dal periodo
proprio del sistema
Forte
amplificazione
Se
1200
cm s
-2
800
Riduzione
dell’accelerazione
400
0
0
1
Stessa
accelerazione
del terreno
2
T
3s
Oscillazioni forzate
Spettro di risposta (accelerazione)
Al variare dello
smorzamento
si ottengono
diverse curve
Se
x = 2%
1200
cm s
-2
x = 5%
800
400
x = 10%
0
0
1
2
T
3s
Oscillazioni forzate
Spettro di risposta (accelerazione)
Allo stesso modo si
può diagrammare lo
spostamento relativo
massimo in funzione
del periodo
SDe
x = 2%
7.5
cm
x = 5%
5.0
x = 10%
2.5
0
0
1
2
T
Il diagramma così ottenuto viene detto “spettro di risposta”
(in termini di spostamento)
3s
A cosa servono gli spettri?
m = 4000 t
Conoscendo
massa e rigidezza
possiamo
determinare il
periodo proprio
k = 630 kN/mm
T 2
Foto
Modello
di calcolo
m

k
 2  3.14 
 0.5 s
4000  10 3

6
630  10
A cosa servono gli spettri?
Se
1200
m = 4000 t
cm s
-2
k = 630 kN/mm
800
Foto
727 cm s-2
Spettro
di risposta
in termini di
accelerazione
Modello di
calcolo
400
T  0.5 s
0
0
0.5
1
Noto il periodo proprio, possiamo leggere
dallo spettro l’accelerazione assoluta massima
2
T
3s
amax  7.27 m s -2  0.74 g
A cosa servono gli spettri?
SDe
7.5
m = 4000 t
cm
k = 630 kN/mm
5.0
Foto
4.58 cm
Modello di
calcolo
2.5
Spettro
di risposta
in termini di
spostamento
T  0.5 s
0
0
0.5
1
2
T
3s
Noto il periodo proprio, possiamo leggere
dallo spettro l’accelerazione assoluta massima
amax  7.27 m s -2  0.74 g
o lo spostamento relativo massimo
umax  4.58 cm
A cosa servono gli spettri?
m = 4000 t
k = 630 kN/mm
Foto
Ma dall’accelerazione
possiamo ricavare anche la
massima forza d’inerzia
Modello di
calcolo
T  0.5 s
Fmax  m amax  4000  7.27  2900 kN
e quindi le massime
sollecitazioni nella struttura
Noto il periodo proprio, possiamo leggere
dallo spettro l’accelerazione assoluta massima
amax  7.27 m s -2  0.74 g
o lo spostamento relativo massimo
umax  4.58 cm
Spettri di risposta
L’analisi di oscillatori
semplici può essere
ripetuta per diversi
accelerogrammi
(con un assegnato
smorzamento)
a/g
1
0.5
0
0
1
2
T
Si può quindi definire una curva che inviluppa tutti gli spettri
di risposta, o che viene superata solo occasionalmente
3s
Spettri di risposta
a/g
1
a/g
1
0.5
0
0
1
2
T
In zone differenti
e su terreni
differenti
si otterranno
risultati diversi
3s
0.5
0
0
1
2
T
3s
Si può quindi definire una curva che inviluppa tutti gli spettri
di risposta, o che viene superata solo occasionalmente
Spettri di risposta
a/g
a/g
1
1
0.5
0.5
0
0
0
1
2
T
In zone differenti
e su terreni
differenti
si otterranno
risultati diversi
3s
0
1
2
T
3s
La normativa fornisce quindi spettri di
risposta differenziati in funzione delle
caratteristiche del suolo e della zona in
cui è ubicata la struttura
FINE