CORSO DI: TOPOGRAFIA & FOTOGRAMMETRIA
CAMPO
OPERATIVO
Corso di Topografia & Fotogrammetria
SISTEMA DI
RIFERIMENTO
Un sistema di riferimento è un insieme di regole e misure che ci permettono di
determinare in modo univoco la posizione di punti nello spazio; in particolare nello spazio
tridimensionale il generico sistema di riferimento è definito mediante 3 assi (X,Y,Z)
ortogonali. Per vincolare il S.R. è necessario definire:
1. la posizione dell’origine,
2. due angoli di direzioni per un asse e
3. un angolo di direzione per uno dei due assi rimanenti.
In totale è quindi necessario vincolare 6 gradi di libertà.
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Si definisce Sistema di riferimento convenzionale terrestre un sistema
di riferimento tridimensionale che sia caratterizzato da
1. origine nel centro di massa della Terra;
2. asse Z passante per il polo convenzionale terrestre
3. asse X definito dall’intersezione fra meridiano di Greenwich e
piano equatoriale terrestre;
4. asse Y tale da completare la terna destrorsa
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COORDINATE DI UN PUNTO
Dato un punto P si tracciano le sue
proiezioni ortogonali ai tre assi; data un
opportuna unità di misura lineare, definite
xP, yP e zP le lunghezze delle tre
proiezioni,
P è identificato dalla terna [xP, yP, zP].
FIG 1.2 Coordinate cartesiane di un punto
e componenti di base.
Il vettore (base) congiungente di punti P e
Q è definito dalla terna di valori
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Il concetto di superficie di riferimento
L'approccio utilizzato dalla Topografia classica per definire la posizione dei punti della Terra consiste
nell'istituire una superficie di riferimento descrivibile matematicamente, sulla quale i punti della superficie
fisica terrestre vengono idealmente proiettati. Questo approccio porta con sé la distinzione tra:
1. planimetria, ovvero determinazione delle posizioni delle proiezioni dei punti sulla superficie di
riferimento, e
2. altimetria, ovvero determinazione delle altezze dei punti rispetto alla superficie di riferimento.
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GEOIDE
In un Sistema di riferimento convenzionale terrestre le
coordinate cartesiane risultano in genere inadatte per la descrizione
di posizioni e traiettorie: è dunque preferibile definire una superficie
descritta da pochi parametri che ben approssimi la forma della Terra
(superficie di riferimento), rispetto alla quale sia definibile ed
utilizzabile in pratica un sistema di coordinate.
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L’altimetria: il geoide e la quota ortometrica
Il geoide è una superficie equipotenziale del campo gravitazionale terrestre;
in particolare coincide con quella superficie che assumerebbero gli oceani se
potessero prolungarsi sotto le terre emerse, se fossero in stato stazionario e su
di essi agisse unicamente la forza gravitazionale terrestre.
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Il geoide viene utilizzato
come superficie di
riferimento per
l'altimetria: si definisce
quota ortometrica
o quota sul livello medio
del mare di un punto
la distanza tra il punto stesso
e la superficie del geoide,
misurata lungo la linea della
verticale per il punto
(indicata con H)
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Ai fini dell'utilizzo pratico, il geoide viene espresso mediante i suoi scostamenti rispetto a un
ellissoide di rotazione che ne approssima la forma. Tali scostamenti, misurati verticalmente,
vengono detti ondulazioni geoidiche. Poiché la distribuzione di densità all’interno della massa
terrestre non è nota, non è possibile disporre di una equazione del geoide in forma semplice e
chiusa. Ai fini pratici, la superficie geoidica viene ottenuta tramite opportuni modelli ricavati
essenzialmente da misure gravimetriche. Esistono diversi modelli di geoide, il cui calcolo viene
via via affinato ed aggiornato nel corso del tempo: modelli globali (ad es. il modello OSU 91)
validi per tutto il mondo, e modelli locali validi in un ambito più o meno ristretto (ad es., in
Italia, i modelli ITALGEO 90 e ITALGEO 95; in Europa, il recente EGM 96).
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La planimetria: l'ellissoide terrestre
e le coordinate ellissoidiche o geografiche
Ai fini del rilevamento planimetrico, il geoide può essere sostituito, con sufficiente
approssimazione, da un ellissoide di rotazione di forma e dimensioni opportune, detto
Ellissoide terrestre: infatti il massimo scostamento fra geoide e l’ellissoide che meglio lo
interpola è di circa 100 metri (± 50 m.).
Definiamo ellissoide
di rotazione con
centro nell’origine
del SR il luogo dei
punti X,Y,Z che
soddisfano
l’equazione a lato:
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Parametri:
a è il semiasse maggiore o equatoriale,
b è il semiasse minore o polare.
s è lo schiacciamento
e eccentricità
A seconda dei valori dei semiassi a e b, l'ellissoide assume forme diverse: in
funzione dei semiassi vengono
definiti i seguenti parametri di forma, adimensionali:
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L'ellissoide di Bessel è stato utilizzato in Italia per la cartografia IGM ante
1940, ed è tuttora la superficie di riferimento per la maggior parte della cartografia
catastale; l'ellissoide di Hayford, detto anche ellissoide internazionale, è
utilizzato in Italia per la quasi totalità della cartografia prodotta dal 1940 in poi
(IGM, Regioni, nuova cartografia del Catasto). L'ellissoide WGS-84 viene
impiegato internazionalmente nel metodo di posizionamento GPS. Definito un
sistema di riferimento e l’ellissoide associato è possibile definire le
coordinate geografiche o ellissoidiche φ (latitudine), λ (longitudine) e h
(altezza ellissoidica):
1.latitudine φ angolo compreso tra la normale all'ellissoide condotta per P e il
piano equatoriale XY;
2. longitudine λ angolo compreso tra il piano meridiano passante per P ed un piano
meridiano assunto come origine (meridiano fondamentale, coincide con il
meridiano di Greeenwich)
3. altezza ellissoidica h: distanza lungo la normale all’ellissoide fra P e l’ellissoide
stesso.
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Distanza tra due punti sullo stesso meridiano:
Note la latitudine di A φA e B φB,
Si calcola l’angolo:
2
ie
ica
fis
Quindi si calcolano:
  2  1
fic
er
m 
2  
p
Su
si calcola φm
ellis
soid
e
N
 r 
  * 
180
B
a
B'
(1  e sen  m )
2
Nb
2
A' B'  R * 
r
Na

a(1  e 2 )
A
(1  e 2 sen 2 m )3
 
R  N
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Dist  R *  r
ale
A
sfera loc
B
A'
Piano equatoriale
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CALCOLO DISTANZA TRA DUE PUNTI
SULLO STESSO MERIDIANO
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Distanza tra due punti sullo stesso parallelo:
Z
Z
N
ellissoide
N
r
r
P'
a
N
P
(1  e sen  m )
2
P
2
(1)
φ
φ
Y
λ
Piano equatoriale
O
OP'=N
OP=N
Y
r  N * cos 
(2)
X
  B  A
r 
  * 
180
(3)
(4)
Y
λB
λA
r
B
AB  r * r
(5)
A
X
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CALCOLO DISTANZA TRA DUE PUNTI
SULLO STESSO PARALLELO
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Dato un SR ed i parametri dell’ellissoide
associato la relazione fra coordinate
cartesiane ed ellissoidiche di P è data da
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Il sistema di riferimento WGS-84
ed il sistema di riferimento nazionale Roma 40
Il sistema di riferimento WGS-84, utilizzato nel posizionamento mediante GPS, è una
realizzazione di CTRF, definita mediante osservazioni sui satelliti. Al sistema è associato
l’ellissoide di riferimento WGS-84. Il sistema di riferimento nazionale italiano Roma 40 è
viceversa definito da un ellissoide internazionale (Hayford) orientato a Roma M.Mario con dati
astronomici del 1940. Per convertire le coordinate di un punto P da un sistema all’altro è dunque
necessario ricorrere agli algoritmi di trasformazione di sistema di riferimento (Datum).
Il più noto e utilizzato fra essi (trasformazione di HELMERT) è un caso particolare di
trasformazione affine consistente in una rototraslazione nello spazio, con un fattore di scala. La
forma della trasformazione di Helmert è la seguente:
XWGS84 = X0 + (1 + k) R XROMA40
ove k è il fattore di scala: serve per tener conto di eventuali distorsioni nelle misure che
realizzano i due sistemi; X0 è un vettore comprendente i tre parametri di traslazione X0, Y0, Z0:
mentre R è la matrice di rotazione, definita in
funzione di tre parametri di rotazione εx, εy, εz
(rotazioni attorno ai tre assi); per piccoli angoli
di rotazione essa è data dalla
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CAMPO GEODETICO
Si definisce sfera locale nel punto P
dell’ellissoide, la sfera tangente in P
all’ellissoide e avente il raggio R uguale
R  N 
alla media geometrica di ρ ed N
a (1  e 2 )
1  e 2 sen 2
Il Campo geodetico di
Weingarten è quella zona di
terreno attorno a P di raggio 100
Km., in cui si può sostituire la
Superficie fisica
sfera locale alla superficie
ellissoidica di riferimento
oid
εd<1/1.000.000
a  110 *1"
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ss
elli
e
sfe
ra
loc
ale
Campo geodetico di Weingarten (o sfera locale)
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TEOREMA DI LEGENDRE
Se distanze< 150 Km (in campo geodetico)
B'
B
β’
β
γ’ C'
α’
A'
γ
AB=A’B’
BC=B’C’
AC=A’C’
α
A
C
α’=α±ε
β’=β±ε
γ’=γ±ε
ε=S/R2
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Per rilievi planimetrici
estensione per un raggio
di 15 Km intorno a P:
CAMPO TOPOGRAFICO
Si definisce Campo Topografico
εd<1/250.000
quella zona di terreno che circonda P,
nel quale si può sostituire alla sfera
locale un piano orizzontale tangente
nel punto stesso.
Superficie fisica
Per rilievi altimetrici di
estensione per un raggio di
100 m intorno a P:
 1mm

Campo
Topografi
co
Piano orizzontale
e
sfe
oid
ss
elli
Per rilievi altimetrici
estensione per un raggio
di 350 m intorno a P:
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 1cm

ra
loc
ale
Campo Topografico o piano topografico
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