Trasformazioni geometriche
Trasformazione

È una corrispondenza tra punti del piano T : P  P

Noi ci occuperemo solo delle trasformazioni che sono
corrispondenze biunivoche

I punti trasformati della figura F formano una
nuova figura F’, detta figura trasformata F '  T F 

A seconda del tipo di corrispondenza, alcune
caratteristiche di F rimangono inalterate, altre no
Invariante

Si dice invariante ogni proprietà che rimane
inalterata a seguito di una trasformazione

Felix Klein (1849-1925)
matematico tedesco

descrive la geometria come lo studio delle proprietà
delle figure aventi carattere invariante rispetto ad un
particolare gruppo di trasformazioni

Quindi classificare i vari gruppi di trasformazioni
equivale a classificare le varie geometrie
Geometria euclidea

La geometria euclidea del piano, per
esempio, è lo studio delle proprietà delle
figure che si mantengono invarianti rispetto
ad un particolare gruppo di trasformazioni le
cosiddette trasformazioni rigide (movimento
rigido)
Isometrie




Iso (uguale) metria (distanza)
Dette anche congruenze (movimenti rigidi)
Def.: “una trasformazione che lascia invariata
la distanza è detta isometria”
Un caso particolare di isometria è la trasformazione
identica che associa ad ogni punto del piano sé
stesso
Isometrie

Simmetrie 
 O P   P '
 Centrale


 a P   P '
Assiale
Proprietà delle simmetrie: scheda di lavoro

Elementi uniti di una trasformazione

Traslazioni

Rotazioni

Simmetria centrale

La simmetria centrale di centro O è quella
trasformazione che associa ad ogni punto P del
piano un punto P’, tale che O sia il punto medio del
segmento PP’

E quindi:
O PP'
OP  OP'

Scheda di lavoro
Simmetria centrale

La simmetria centrale conserva



La distanza
L’allineamento (e l’ordinamento) dei punti
L’ampiezza degli angoli

La conservazione dell’allineamento e degli angoli è
una conseguenza della conservazione della
distanza, perciò valgono per qualsiasi isometria

Due rette che si corrispondono in una simmetria
centrale sono parallele
Simmetria centrale nel piano cartesiano

Simmetria rispetto
all’origine
 x'   x

 y'   y
Simmetria centrale nel piano cartesiano


Simmetria rispetto ad un punto M
M è il punto medio di AA’
 x '  2 xM  x

 y '  2 yM  y
Simmetria assiale (riflessione)

La simmetria assiale di asse a è quella
trasformazione che associa ad ogni punto P del
piano un punto P’, tale che a sia asse del
segmento PP’

E quindi:
a  PP'
PC  P' C

Scheda di lavoro
Simmetria assiale nel piano cartesiano

Simmetria rispetto
all’asse delle x
 x'  x

 y'   y
Simmetria assiale nel piano cartesiano

Simmetria rispetto
all’asse delle y
 x'   x

 y'  y
Simmetria assiale nel piano cartesiano


Simmetria rispetto a una
retta di equazione y=h
Da fare
 x'   x

 y'  y
Simmetria assiale nel piano cartesiano


Simmetria rispetto a una
retta di equazione x=k
Da fare
 x'   x

 y'  y
Simmetria assiale nel piano cartesiano

Simmetria rispetto alla
bisettrice I e III
quadrante
 x'  y

 y'  x
Simmetria assiale nel piano cartesiano

Simmetria rispetto alla
bisettrice II e IV
quadrante
 x'   y

 y'   x
Elementi uniti di una trasformazione

Un punto P è unito se il suo trasformato P’
coincide con P

In una simmetria centrale ci sono punti uniti?


centro di simmetria
In una simmetria assiale ci sono punti uniti?

punti dell’asse
Elementi uniti di una trasformazione

Una retta r è unita se la sua trasformata r’ coincide
con r

In una simmetria centrale ci sono rette unite?


In una simmetria assiale ci sono rette unite?



ogni retta passante per il centro di simmetria
asse di simmetria (caso particolare)
ogni retta perpendicolare all’asse
In generale una figura F è unita se la sua
trasformata F’ coincide con F (viene trasformata in
se stessa)
Elementi uniti di una trasformazione

Rispetto a quali simmetrie sono uniti:

Un angolo


Un segmento


centrale: punto medio; assiale: asse
Un parallelogramma


assiale: bisettrice
centrale: punto di incontro delle diagonali
Una circonferenza

centrale: centro; assiale: ogni diametro
Traslazione


La traslazione di vettore v è quella trasformazione
che associa ad ogni
 punto P del piano un punto P’,
tale che PP'  v

Scheda di lavoro

Composizione di due simmetrie centrali
Traslazione nel piano cartesiano


Da fare
Simmetria rispetto alla
bisettrice II e IV
quadrante
 x'   y

 y'   x