Teoria della relatività-2
7 gennaio 2015
Conseguenze cinematiche delle TdL
Dilatazione del tempo, muoni atmosferici
Contrazione delle lunghezze
Sfasamento degli orologi
Grandezze proprie
Relativita` della simultaneita` (approccio quantitativo)
Conseguenze cinematiche
• Dilatazione del tempo: supponiamo che un orologio a
riposo nel sistema S’ in un punto di coordinata x’
misuri un intervallo di tempo T '  t 't '
2
1
• Per trovare il corrispondente intervallo di tempo T in
S, applichiamo l’eq. di trasformazione del tempo,
ricordando che x’2 = x’1

v 
t 2   t 2 ' 2 x'
 c 

v 
t1   t1 ' 2 x'
 c 
• Sottraendo membro a membro
T  t 2  t1   t 2 ' t1'  T'


2
Dilatazione del tempo

• Quindi T  T '  T ' si ha cioè una dilatazione del tempo
• Questo significa che se misuriamo il tempo caratteristico di un
sistema fisico (o biologico) che non sia in quiete nel nostro
sistema di riferimento inerziale (SRI), la misura produce un
valore maggiore di quella effettuata nel SRI in cui il sistema
fisico (o biologico) e` in quiete
• Ovvero il ritmo del nostro orologio e` maggiore di quello
dell’orologio nel sistema in moto, fatto che si esprime dicendo
che l’orologio in moto ritarda
• A differenza degli orologi di uno stesso SRI, che hanno lo
stesso ritmo, orologi in diversi SRI in moto relativo hanno ritmi
diversi
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Dilatazione del tempo
• Consideriamo un orologio in quiete in S’,
il cui ritmo e` dato dal tempo di andata e
ritorno T’ tra due specchi paralleli
distanti h’
2h'
T '
y’
h’
S’
x’
c
• Nel sistema S, rispetto a cui S’ e gli specchi si muovono con velocita`
v, i due specchi distano h=h’ e il cammino ottico del raggio luminoso
e`
2l  2 h 2  Dx 2
• ove Dx e` lo spazio percorso dagli specchi nel tempo in cui il raggio
percorre l
v
S
l
h
Dx
4
Dilatazione del tempo
v
• Valgono le relazioni
T
l c
2
• Risolvendo per h
S
T
Dx  v
2
l
h
Dx
2
T
Tc
v
Tc
2
2
2
2
h  l  Dx 
c v 
1 2 
2
2
c
2
• e quindi T , il ritmo dell’orologio misurato nel sistema S, risulta T 
• Ma poiche’
T '
2h' 2h

c
c
• Ne concludiamo che
T  T '
5
2h

c
Muoni atmosferici
• I raggi cosmici sono formati da particelle che, provenienti dallo
spazio, interagiscono con i nuclei delle molecole d’aria
dell’atmosfera, dando origine a sciami di particelle, alcune delle
quali raggiungono terra
• Tra queste c’è il muone, una particella instabile di massa pari a
106 MeV e vita media ’ = 2.2 s
• I muoni vengono prodotti ad un’altezza di circa 15 km da terra, con
un’energia media di 4 GeV
• Qual è la distanza che un muone percorre in media prima di
decadere? Siccome a questa energia la velocità del muone è circa
c, la risposta sembrerebbe semplicemente
L  v ' c '  660m
6
Muoni atmosferici
• Ma se così fosse, come potremmo osservare muoni a terra?
• Il punto è che ’ è la vita media nel sistema di riferimento S’ in cui il
muone è a riposo, non nel sistema S in cui si trova l’osservatore
• Noi osserviamo una vita media dilatata del fattore  e quindi lo
spazio percorso dai muoni è
L  v ' c '
• Per muoni di 4 GeV di energia il fattore  vale circa 40, per cui la
vita media nel sistema S risulta    '  40 2.2  88 s
• e la lunghezza di decadimento è

L  40 660m  26km
• più che sufficiente per raggiungere terra


7
Conseguenze cinematiche
• Contrazione delle lunghezze: siano x1’ , x2’ le
estremità di un regolo disposto lungo x’ fermo nel
sistema S’, la cui lunghezza in S’ vale
L' x2 'x1'
• Per trovare la corrispondente lunghezza L in S,
applichiamo l’eq. di trasformazione di x, x’ tenendo
conto che t2 = t1
x1 '   x1  vt
x 2 ' x1 '   x 2  x1 
• Sottraendo membro a membro
e invertendo L  x  x  x 2 ' x1'  L'
2
1


8


x 2 '   x 2  vt
Contrazione delle lunghezze
L'
• Quindi L 
 L' si ha cioè una contrazione della
lunghezza 
• Ovvero: se misuriamo la lunghezza di un oggetto che
non sia in quiete nel nostro sistema di riferimento, la
misura produce un valore minore di quella effettuata
nel sistema di riferimento in cui l’oggetto e` in quiete
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Grandezze proprie
• La lunghezza di un regolo nel sistema in cui è fermo
si dice lunghezza propria L0
• La misura di una lunghezza e` sempre minore o
uguale alla lunghezza propria L<L0
• Il tempo segnato da un orologio nel sistema in cui è a
riposo si dice tempo proprio T0
• La misura di un tempo e` sempre maggiore o uguale
al tempo proprio T>T0
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Contrazione delle lunghezze (2)
• Un altro modo di ottenere il risultato si basa sulla
dilatazione del tempo
• Supponiamo di essere solidali al sistema S’ in moto con
velocita` v rispetto al sistema S
• Sia L0 la lunghezza propria di un oggetto in quiete in S
(cioe` quella misurata in S)
• Ora, invece di misurare le due estremita` dell’oggetto in
moto allo stesso tempo, le misuriamo nello stesso luogo x’
in due istanti diversi t1’, t2’ corrispondenti al nostro
passaggio davanti alle estremita` dell’oggetto
S’
(x’, t1’)
v
S’
(x’, t2’)
v
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Contrazione delle lunghezze (2)
• Noi transitiamo da un’estremita` all’altra nell’intervallo
Dt' L' v
• Ove L’ e` la lunghezza da determinare e Dt’ e` un
intervallo di tempo proprio, in quanto misurato con un
solo orologio

• Un osservatore in S, solidale con l’oggetto, ci vede
transitare da un’estremita` all’altra in un intervallo di
tempo
Dt  L0 v
• Intervallo non proprio, in quanto misurato con due
orologi, uno per ciascuna estremita`
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Contrazione delle lunghezze (2)
• La relazione tra gli intervalli di tempo nei due sistemi
e`
Dt  Dt '
• E per conseguenza la lunghezza misurata in S’ vale
L'  vDt'  v
Dt


L0


13
Sfasamento degli orologi
• Due orologi sincronizzati A’, B’, a riposo nel
sistema S’, posti in punti con diversa
coordinata x’ (x’A, x’B), risultano sfasati per un
osservatore nel sistema S
• Nel sistema S misuriamo, ad un dato istante
tA=tB, i tempi segnati da A e B (gli orologi in S
corrispondenti a A’, B’)
v


t A    t ' A  2 x' A 
c


v


t B    t ' B  2 x' B 
c


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Sfasamento degli orologi
• Da cui segue
v
t ' B t ' A   2  x' B  x' A 
c
• Cioè più l’orologio con coordinata x’ maggiore
(B) è lontano dall’altro (A), più grande è il suo
ritardo di fase su questo
• Per l’osservatore nel sistema S, i due orologi,
pur avendo ugual ritmo (rallentato rispetto a
quello degli orologi in S), non risultano
sincronizzati
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Sfasamento degli orologi
• La cosa puo` essere vista anche con le trasformazioni
inverse, in funzione della distanza tra gli orologi (lungo la
direzione del moto relativo) misurata in S (di nuovo tA=tB)
• Da cui
v 
v 


t ' A    t A  2 xA 
t ' B    t B  2 xB 
c
c




v
t ' B t ' A   2   x B  x A 
c
• Notare che una distanza lungo direzioni diverse da x
non influisce sullo sfasamento
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Relatività della simultaneità (2)
descrizione in S
• Riprendiamo la discussione: ricordiamo che (in S)
AO  OB  L / 2
e AB=L e` una lunghezza propria
• S giudica che per S’ i due fulmini non siano
simultanei ma siano separati temporalmente da un
intervallo di tempo che in S vale Dt  t 2  t1
A
O
B
S
S’
O’
A
O
B
O’
t1
v
t2
S
S’
v
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Relatività della simultaneità (2)
descrizione in S
• Ove t1 e` il tempo che la luce impiega (in S) per andare
da B=B’ a O’ e t2 quello per andare da A=A’ a O’
• t1 e` tale per cui mentre la luce percorre lo spazio
BO’=ct1, O’ si muove a destra di O della quantita` vt1
ovvero ct1  vt1  OB  L / 2 e quindi
L
t1 
A
O
t1
t2
B
A
O
B
O’
S
S’
O’
2c  v 
v
S
S’
v
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Relatività della simultaneità (2)
descrizione in S
• Similmente t2 e` tale per cui mentre la luce percorre lo
spazio AO’=ct2, O’ si muove a destra di O della
quantita` vt2 ovvero ct2  AO  vt2  L / 2  vt2
• E quindi
L
t2 
A
2c  v 
O
B
O’
t2
S
S’
v
19
Relatività della simultaneità (2)
descrizione in S
• Tra i due fulmini intercorre dunque il tempo
L
L
L 2v
L 2 2
Dt 


  
2
2
2c  v  2c  v  2 c  v
v
• Questo tempo non e` proprio, in quanto in S gli istanti
di tempo vengono registrati da due orologi diversi:
ciascuno in corrispondenza della posizione occupata
dal punto O’ rispetto ad S quando O’ riceve i due
segnali
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Relatività della simultaneità (2)
descrizione in S’
• Come descrive i fatti l’osservatore in S’?
• Innanzitutto se per S
l  A' B'  l  AB  L
A
O
A’
O’
B
B’
S
S’
v
21
Relatività della simultaneità (2)
descrizione in S’
• Allora S’, a causa della contrazione delle lunghezze,
concludera` che la lunghezza di A’B’ (propria in S’)
vale
l '  A' B'  L'  L
v
A
A’
O
B
O’
S
B’
S’
• mentre per AB misurera` la lunghezza
l '  AB   L / 
22
Relatività della simultaneità (2)
descrizione in S’
• L’intervallo di tempo Dt '  t 2 't1 ' tra i due fulmini (in S’) si
puo` calcolare notando che esso corrisponde al tempo
impiegato dal regolo in S per spostarsi dalla posizione
in cui B=B’ a quella in cui A=A’ e quindi
l '  A' B'  l '  AB  L  L  L  2  1 L  2 2
Dt ' 



v
v
v 
v 
v
t’1
O
A’
v
t’2
A
A
A’
S’
O’
O
S
O’
S
S’
B
B’
B
B’
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Relatività della simultaneità (2)
• Questo intervallo e` proprio perche’ gli istanti di tempo
in cui i segnali dei fulmini arrivano in O’ vengono
registrati da un solo orologio, quello in O’
• La relazione tra gli intervalli di tempo nei due sistemi
deve dunque essere Dt '  Dt 
• Che, riscrivendo le formule trovate, e` proprio quel che
accade
L  2 2
Dt ' 
v 
L 2 2
Dt   
v
24
GPS
• Nel sistema Global Positioning System (GPS)
sono considerati gli effetti relativistici sul tempo
• Qui è presente anche un effetto di relatività
generale: orologi posti in potenziali gravitazionali
diversi risentono di una diversa dilatazione del
tempo
• Questo effetto si sovrappone al quello della
relatività ristretta, con il risultato che il tempo
scorre in modo diverso sui satelliti e al suolo
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GPS
• Le differenze sono minuscole, ma senza
correzione non riusciremmo a localizzare la
nostra posizione
• La precisione nella posizione dipende dalla
precisione con cui misuriamo il tempo di andata e
ritorno dei segnali scambiati tra il nostro
apparecchio e i satelliti orbitanti
• Se vogliamo una precisione spaziale di qualche
metro, ci serve una precisione temporale di una
decina di nanosecondi
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GPS
• L’effetto di relatività ristretta ammonta a circa 7
s/giorno di ritardo dell’orogio del satellite rispetto
al nostro a terra
• Il minor potenziale gravitazionale in cui si trova il
satellite comporta un anticipo di circa 45 s/giorno
• In totale avremmo 38 s/giorno di anticipo e
siccome ogni microsecondo corrisponde a 300
metri, ignorare le correzioni relativistiche
comporterebbe un errore maggiore di 10
km/giorno
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