Precorso logica – Cremona Agosto 2005
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Precorso di logica
Cremona – Agosto 2005
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Fabrizio Camuso
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Poche ore per …
• Passare in rassegna alcuni esercizi ‘tipo’
per migliorare le tecniche di soluzione dei
problemi, evidenziare gli errori più comuni
di un ragionamento non corretto
• autovalutarsi su esercizi dello stesso tipo
scelti dai fascicoli consegnati
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Alcuni consigli - 1
L'esperienza è il tipo di insegnante più difficile. Prima ti fa
l'esame, e poi ti spiega la lezione. Legge di Vernon Sanders
• Non si tratta solo di capacità … ma anche
di abitudine a riconoscere tipologie di
esercizi che si ripetono
• Non rispondete completamente a caso: se
vengono penalizzate le risposte sbagliate, è
statisticamente provato che si fanno meno
punti
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Alcuni consigli - 2
• Completate subito gli esercizi che sapete fare
• Non intestarditevi su un quesito
• Non perdete tempo a ricevere o dare ‘soffiate’
Quando si è sicuri di avere ragione, non c'e'
bisogno di discutere con quelli che hanno torto.
Georges Wolinski
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Alcuni consigli - 3
• Non vergognatevi nel fare disegni, schemi,
grafici ecc. E’ FONDAMENTALE
• A volte, invece di cercare la risposta giusta, è
più facile scartare quelle sbagliate
Eliminato l’impossibile, quello che resta,
per quanto improbabile, deve essere per forza la verità.
Artur Conan Doyle
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Morale della favola:
- un passo alla volta
- schematizzare
- sfruttare ogni
‘indizio’
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Esempio 1
pag. 2
• L’errore più grave è tentare di figurarsi
mentalmente la situazione e tentare subito di
rispondere ai quesiti: mal di testa assicurato!
• E’ necessario un modello su carta
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Esempio 1
pag. 3
• Pesare attentamente le parole e prenderle alla
lettera, senza fare supposizioni arbitrarie (non
‘inventarsi nulla’)
• Insospettirsi se non si riesce a trovare l’utilità di
un dettaglio (probabilmente è la chiave di volta
dell’esercizio!)
All’esame di logica.
“Professore sono promosso o bocciato ?”
“Sì”
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Esempio 1
pag. 4
• Tradurre, se possibile, le relazioni espresse
verbalmente in altrettante equazioni/formule
D=A-3
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Esempio 1
pag. 5
• Tralasciate quelle informazioni che
nell’immediato non sono utili /rappresentabili
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Esempio 1
pag. 5
A=B+2
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Esempio 1
pag. 6
B>F
C>D
B–F=C-D
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Esempio 1
pag. 7
G>F
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Esempio 1
pag. 8
Riassumendo …
D=A-3
A=B+2
B–F=C-D
G>F
B>F
C>D
• Primo risultato: forma più sintetica e meno
ambigua. Siamo pronti per disegnare
un modello …
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Esempio 1
pag. 9
• Rappresentare immediatamente gli elementi
certi
B
B>F
D=A-3
A=B+2
C>D
B–F=C-D
G>F
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Esempio 1
pag. 10
A=B+2
B
A
B>F
D=A-3
B–F=C-D
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C>D
G>F
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Esempio 1
pag. 11
D=A-3
D
B
A
B>F
C>D
B–F=C-D
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G>F
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Esempio 1
pag. 12
• Costruire un albero delle restanti possibilità
scartando i percorsi che non soddisfano i vincoli
D
E?
D
B
A
C
E?
G>F
E
F
D
B
G
A
C
D
F
E?
D
B
C
A
C
C?
D
B
B
C>D
B
E?
A
C
E?
A
C
G>F
G
A
C
F
G
B-F=C-D
D
D
B
A
G>F
B-F=C-D
E?
B
C
D
B
B-F=C-D
A
C>D
A
G>F
E F D B C A G
OK !
B-F=C-D
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Esempio 1
pag. 13
• Verificare attentamente che soddisfi tutti i
vincoli!
• Non è detto che sia l’unica combinazione che
li soddisfa…
E F D B C A G
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Esempio 1
pag. 14
• Ora possiamo tentare di dare risposta ai quesiti
E F D B C A G
E F D B C A G
2
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3 4
5 6 7 8
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Esempio 1
pag. 15
E F D B C A G
C = E + 4, T = C + 4
T = C + 4 = (E + 4) + 4 = E + 8
T=A+E
E+8=A+E  A=8  D=5
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Esempio 1
pag. 16
E F D B C A G
Il massimo valore per G è 10  massimo C = 10 – 2 = 8
Il minimo valore per E è 1
 minimo D = 1 + 2 = 3
8–3=5
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Esempio 2
pag. 1
Quali delle seguenti affermazioni è logicamente equivalente a: “i
giovani non dimenticano mai alcunchè”?
1. Gli anziani dimenticano tutto
2. Gli anziani dimenticano sovente
3.
Chi non dimentica nulla è giovane
4.
I giovani ricordano sempre tutto
Con questo tipo di esercizio spesso vale la pena di procedere per
esclusione.
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Esempio 2
pag. 2
Quali delle seguenti affermazioni è logicamente equivalente a: “i
giovani non dimenticano mai alcunchè”?
1. Gli anziani dimenticano tutto
Per concludere che un’affermazione non è vera è sufficiente
trovare anche un solo contro esempio.
Potrebbe esistere almeno un anziano che ricorda almeno una
cosa.
E questo non contraddice l’affermazione iniziale che, di fatto,
non afferma nulla in merito agli anziani !
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Esempio 2
pag. 3
Quali delle seguenti affermazioni è logicamente equivalente a: “i
giovani non dimenticano mai alcunchè”?
1. --2. Gli anziani dimenticano sovente
Potrebbe esistere almeno un anziano che dimentica raramente
o che ricorda tutto.
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Esempio 2
pag. 4
Quali delle seguenti affermazioni è logicamente equivalente a: “i
giovani non dimenticano mai alcunchè ”?
1. --2. --3. Chi non dimentica nulla è giovane
Il più classico degli errori: se una cosa ne implica un’altra non è
assolutamente detto il contrario.
Potrebbe esistere almeno un anziano che ricorda tutto. Infatti
la frase iniziale non afferma che SOLO i giovani ricordano
tutto ma che, sicuramente, tutti i giovani ricordano tutto; ma
questo non esclude altri che non sono giovani !
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Esempio 2
1.
2.
3.
4.
pag. 5
------i giovani ricordano sempre tutto
Visto che una delle affermazioni deve essere vera, anche se non ne fossimo
convinti, l’ultima rimasta deve essere quella vera.
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Esempio 3
pag. 1
a) Chi ama il mare è pigro
b) Chi ama il mare è sposato
c) Giulia è sposata
Se le tre affermazioni sono vere, quale delle seguenti è vera ?
1. Giulia è pigra
2. Chi è sposato ama il mare
3. Giulia ama il mare
4. Nessuna delle precedenti
In presenza di più ‘affermazioni’ che devono essere considerate insieme
potrebbe convenire metterle nella forma “A  B” (Se A allora B) e
rappresentare la situazione con gli insiemi.
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Esempio 3
a) Chi ama il mare è pigro
b) Chi ama il mare è sposato
c) Giulia è sposata
pag. 2
Se ami il mare  sei pigro
Se ami il mare  sei sposato
L’implicazione A  B può essere efficacemente rappresentata con gli insiemi:
l’appartenenza all’insieme A implica l’appartenenza all’insieme B cioè
l’insieme A è contenuto nell’insieme B. A  B
A = { persone che amano il mare }
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B = { pigri }
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Esempio 3
Se ami il mare  sei pigro
Se ami il mare  sei sposato
a) Chi ama il mare è pigro
b) Chi ama il mare è sposato
c) Giulia è sposata
A = { persone che amano il mare }
B
pag. 3
B = { pigri }
C=
C = { sposati}
C
Sei pigro
Sei sposato
A
A
Ami il mare
Ami il mare
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Quindi, certamente
possiamo dedurre che se
uno ama il mare è
contemporaneamente
pigro e sposato … ma
…
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Esempio 3
a) Chi ama il mare è pigro
b) Chi ama il mare è sposato
c) Giulia è sposata
A = { persone che amano il mare }
CB
Sei sposato
Sei pigro
A
A
Ami il mare
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pag. 4
Se ami il mare  sei pigro
Se ami il mare  sei sposato
B = { pigri }
C=
C = { sposati}
Nulla ci autorizza a dedurre che
l’insieme dei pigri coincida con quello
degli sposati; certamente alcuni pigri
potrebbero essere anche sposati …
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Esempio 3
Se ami il mare  sei pigro
Se ami il mare  sei sposato
a) Chi ama il mare è pigro
b) Chi ama il mare è sposato
c) Giulia è sposata
A = { persone che amano il mare }
B = { pigri }
B
Sei pigro
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pag. 4
C=
C = { sposati}
C
A
Ami il mare
Sei sposato
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Esempio 3
pag. 5
a) Chi ama il mare è pigro
b) Chi ama il mare è sposato
c) Giulia è sposata
Se le tre affermazioni sono vere, quale delle seguenti è vera ?
1. Giulia è pigra
2. Chi è sposato ama il mare
3. Giulia ama il mare
4. Nessuna delle precedenti
Sei
pigro
Ami il
mare
Sei
sposato
Dal fatto che Giulia sia sposata non
possiamo dedurre nessuna delle
precedenti.
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Esempio 4
pag. 1
Individuare la coppia di termini che completa la proporzione
X : aggressivo = docile : Y
a)
b)
c)
d)
e)
X = malevolo, Y = bonario
X = forte, Y = debole
X = severo, Y = indulgente
X = remissivo, Y = battagliero
X = ostilità, Y = mitezza
In quesiti come questo conviene provare le coppie fino a trovare quella che
sembra ‘rispettare’ di più la ‘proporzione’: cioè che tra X ed aggressivo ci
sia la stessa relazione che sussiste tra docile ed Y
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Esempio 4
pag. 2
Individuare la coppia di termini che completa la proporzione
a) X = malevolo, Y = bonario
malevolo : aggressivo = docile : bonario
Non c’è una relazione chiara tra malevolo ed aggressivo; una
persona può essere malevola senza essere aggressiva e
viceversa.
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Esempio 4
pag. 3
Individuare la coppia di termini che completa la proporzione
a) --b) X = forte, Y = debole
forte : aggressivo = docile : debole
c) X = severo, Y = indulgente
severo : aggressivo = docile : indulgente
Anche in questi casi non si vedono relazioni: essere forti o severi
non significa essere aggressivi, ad esempio …
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Esempio 4
pag. 4
Individuare la coppia di termini che completa la proporzione
a) --b) --c) --d) X = remissivo, Y = battagliero
remissivo : aggressivo = docile : battagliero
Ecco: remissivo è l’opposto di aggressivo, così come docile è
l’opposto di battagliero. Sono tutti aggettivi.
Ma controlliamo anche l’ultima coppia
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Esempio 4
pag. 5
Individuare la coppia di termini che completa la proporzione
d) X = ostilità, Y = mitezza
ostilità : aggressivo = docile : mitezza
Un buon ‘distrattore’. Ostilità ha certamente a che fare con aggressività e
l’essere docile con la mitezza. Ma nel primo rapporto troviamo un sostantivo
e poi un aggettivo ed il viceversa nel secondo.
La coppia precedente è migliore.
E’ importante quindi considerare anche le caratteristiche linguistiche dei
termini in gioco (sostantivi, aggettivi, verbi, avverbi, singolari/plurali ecc.) o
lo stato delle cose che rappresentano (animate, inanimate) o i rapporti
temporali (nel presente, nel passato ecc.) o spaziali (lontano, vicino) ecc.
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Esempio 5
Trova l’intruso
a)
b)
c)
d)
e)
Annuire
Approvare
Acconsentire
Accertare
Accondiscendere
In questo tipo di esercizi bisogna
sforzarsi di trovare comunanze (a volte
anche fantasiose: le parole sono formate
dallo stesso numero di lettere, oppure
contengono lo stesso numero di vocali,
iniziano o finiscono con la stessa lettera).
Altre possibilità: indicano oggetti usati
insieme o che certamente non vengono
usati insieme, parole che hanno tutte un
doppio significato a seconda
dell’accento, sono tutte della stessa
categoria linguistica (sostantivi,
aggettivi, verbi) ecc.
a, b, c, e sono tutti sinonimi; l’intruso è d
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Esempio 6
Individuare la coppia di lettere che completa logicamente la
seguente serie: AZ BV CU DT ES
1. PR 2. AG 3. SP 4. FZ 5. FR
Con le ‘serie’ di lettere è necessario spesso ragionare sulla loro posizione
nell’alfabeto e la distanza che le separa (è sempre la stessa? cresce in modo
uniforme?), il fatto che si tratti di consonanti o vocali, che sia considerata
una lettera ogni tot, quella precedente o quella seguente ecc.
La prima lettera della coppia è crescente, la seconda decrescente: FR
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Esempio 7
Individuare il numero mancante nella seguente serie:
27 64 … 216
a) 98 b) 125 c) 81 d) 256 e) 49
Con le ‘serie’ di numeri è necessario scoprire la ‘legge’ con cui da un numero si
passa al successivo.
Casi classici:
- quadrati o cubi, magari intervallati con altri numeri;
- il precedente più/meno/per/diviso un valore fisso;
- multipli/divisori di un numero;
- numeri pari o dispari, magari uno sì ed uno no.
A volte la legge costringe a considerare i numeri a gruppi: un numero generato
dalla somma dei due precedenti, poi quello successivo si ottiene moltiplicando
per due e così via …
E’ la serie dei cubi: 27 è 33, 64 è 43, 216 è 63.Quello mancante è il
cubo di 5: 125.
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Esempio 8
Individuare il termine che completa la terza serie:
6-9-30 7-13-40 5-20-???
a) 50 b) 45 c) 55 d) 65 e) 60
Con le ‘serie’ di numeri è necessario scoprire la relazione che li lega. Utile
ragionare su piccoli calcoli tra loro: c’è un nesso tra i numeri ed il loro doppio,
triplo (magari sommati tra loro), soddisfano un certo criterio di divisibilità (sono
tutti divisibili/multipli per lo stesso numero, oppure per numeri crescenti).
Vedere se un numero risulta dalla somma, differenza ecc. di altri.
Se la serie è di singoli numeri è più semplice trovare la regola che genera i
termini. Esempio: ogni numero è il doppio del precedente -1, è il precedente
moltiplicato per …, ogni numero è il quadrato/radice del precedente ecc.
Il terzo numero è il doppio della somma dei primi due: (5+20)*2=50
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Esempio 9
Individuare la risposta composta dai numeri che completano
logicamente le caselle vuote:
a) 5-24-6 b) 30-12-5 c) 7-25-20 d) 6-28-7 e) 6-15-16
x2 /4 x2
8 16 4 8
10 20 5 10
6 12 3
10 20 5 10
12 24 6 12
14
14
Su ogni riga, per passare dal primo al secondo numero si moltiplica
per due; per passare dal secondo numero al terzo si divide per
quattro; per passare dal terzo al quarto di nuovo si moltiplica per
due: 6-28-7
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Esempio 10
Inserire la parola che manca tra le parentesi:
a) TIPO b) MARE c) SOLE d) GELO
QN (ROSA) TB
EH (…….) DP
e) FICO
- Con le lettere bisogna sempre tener presente la loro posizione numerica
nell’alfabeto. Di solito se c’è una relazione è tra lettere vicine o agli antipodi.
- Bisogna anche cogliere le sequenze crescenti (A .. Z, o Z..A) ed il fatto che una
certa lettera ne segua o preceda un’altra.
- Oppure che, sempre nell’ordine imposto dall’alfabeto, siano considerate ogni
due, tre posizioni ecc.
Le prime due lettere tra parentesi sono quelle che seguono le lettere alla
sinistra (dopo Q c’è R, dopo N c’è O). Le ultimi due lettere tra parentesi
sono quelle che precedono le lettere alla destra (prima di T c’è S, prima di B
c’è A).
Applicando la stessa logica al quesito otteniamo FICO
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Esempio 11
Individua l’immagine che completa logicamente la
serie:
Con i quesiti di questo tipo, non sono poi molti gli elementi
da tenere sotto controllo: di solito su ogni riga si ripete una
volta sola quella tal forma, quel tal orientamento, quel tal
tratteggio. Altre volte bisogna riconoscere che la tal figura,
tratteggio si presenta sempre prima o dopo l’altra oppure
abbinata ad un’altra.
Su ogni riga si presenta sempre, una volta sola, un cerchio, un pentagono ed
un ottagono. Questo (è il cerchio a mancare) restringe i possibili risultati
alla n. 1 o n. 4. Notiamo però che su ogni riga troviamo appesi un triangolo,
un pentagono ed una ‘stellina’. Ma sia la n. 1 che la n. 4 hanno il simbolo
mancante (stellina). Però su ogni riga ci deve essere un poligono alla base
vuoto, uno tratteggiato ed uno tutto nero. Manca quello tutto nero. Quindi la
risposta giusta è la n. 1.
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Esempio 12
Inserisci le lettere omesse:
a) E-A
b) O-E
c) U-E
d) I-A
e) A-A
AMICIZIA
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I
A
Z
A
I
M
C
I
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Esempio 13
Individuare la cifra corrispondente al simbolo:
a) 7
b) 5
c) 3
d) 2
e) 1
* = ????
♦+●=♠
♦+●=♠
♦+●=♠
♠+●=*
♠+●=*
♠+●=*
♦+●+●=1 ♦+●+●=1 ♠+●=1
*=1
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Esempio 14
Il numero da inserire è:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
5
1
7
70
7
2
10
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??
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Esempio 15
Individuare il numero che segue logicamente:
6 12 9 8 12 4 ???
6
12
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9
8
12
4
15
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Esempio 16
Completare quanto segue:
SENTIERO 24918466 TIRO 2977
SENTI ERO
24 9 1846 6
SETE 4636 TRE
TIRO
18 66
SETE
24 1 4
?2977?
+1 !!
?46 3 6?
+2 !!
TRE
1 6 4
+3 !!
4 9 7
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Esempio 17
Il quadrato che completa logicamente la serie è:
+2
+0
1 4
10 7
1 6
+4
16 11
1 8
+6
22 15
?
?
?
?
1
+3
1
+5
1
+7
1
+9
+3
+3
+5
+5
+7
+7
+9
+9
1
10
28
19
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Esempio 18
Individuare il numero mancante:
x
=
10
15
150
9
8
72
90
120
10800
???
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Esempio 19
Individuare la coppia di termini che completa la proporzione
sfigmomanometro : X = Y: dentista
a)
b)
c)
d)
e)
X = pressione, Y = dente
X = cardialogo, Y = trapano
X = trapano, Y = medico
X = dente, Y = cuore
X = pressione, Y = carie
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Persona …
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Esempio 20
Individuare quale figura non segue la successione
a) La figura a
b) La figura b
c) La figura c
d) La figura d
e) La figura e
a
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b
c
d
e
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Esempio 21
Individuare il numero mancante:
•
•
•
•
•
20
14
10
16
12
3
4
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1
4
5
3
1
6
2
+
4
X2
?
?
= 12
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Esempio 22
Individuare il numero mancante:
•
•
•
•
•
25
41
38
28
14
5
7
3
2
+
9
1
1
Precorso logica – Cremona Agosto 2005
6
3
2
7
8
1
0
4
1
1
?
?
7
1
6
=
38
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Esempio 23
Un sarto ha bisogno di una serie di 5 bottoni del medesimo colore che sceglierà
da un cassetto contenente 30 bottoni gialli, 30 azzurri, 30 verdi, 30 rossi e 30
arancio. Supponendo che li scelga bendato, quanti bottoni dovrà prendere per
essere sicuro di averne 5 dello stesso colore?
21
Precorso logica – Cremona Agosto 2005
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Esempio 24
Individuare il numero che segue logicamente:
1 4 8 13 19 26 … ??
+3 +4 +5 +6 +7 +8 = 34
a)
b)
c)
d)
e)
37
42
28
45
34
Precorso logica – Cremona Agosto 2005
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Esempio 25
Una massaia si reca al supermercato per la sua spesa giornaliera. Acquista della
carne, verdura, frutta, formaggio euova. Il costodella carne è quadruplo rispetto a
quello delle verdure, il cui prezzo corrisponde a un terzo della furtta.
Quest’ultima a sua volta costa il doppio del formaggio, il quale viene a costare
esattamente il triplo delle uova. La massaia paga la sua spesa complessivamente
£ 27500. Qual è il prezzo unitario della carne, delle verdure, della frutta, del
formaggio e delle uova?
U
FO = 3U
FR = 2FO = 2*3U = 6U
20U = 27500  U costano 1375
VE = 1/3 FR = 1/3 * 6U = 2U
CA = 4 VE = 4 * 6U = 8U
Precorso logica – Cremona Agosto 2005
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Esempio 26
Individuare il numero che segue logicamente:
+1
9
a)
b)
c)
d)
e)
14
5
13
6
5
Precorso logica – Cremona Agosto 2005
10
-1
8
+1
11
-1
7
12 … ??
6
-1
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Esempio 27
Individuare la coppia di numeri mancanti:
7
a)
b)
c)
d)
e)
6 - 24
11 - 12
17 - 21
15 - 28
18 - 32
18
?
35
6
12 = (6 + 1) + 5
72
12
1
?
15
32
9
Precorso logica – Cremona Agosto 2005
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Esempio 28
Individuare la parola in connessione logica con le seguenti:
aiuole, automatiche, autonomie
automatiche
a)
b)
c)
d)
e)
Avventurosi
altezzosi
attenti
amabili
atavici
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Esempio 29
Individuare il termine che lega le seguenti parole:
donna – onore – lavoro – cielo – era
a)
b)
c)
d)
e)
amaro
soave
tetro
dolce
nuovo
Precorso logica – Cremona Agosto 2005
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Esempio 30
Individuare il numero che segue logicamente:
a)
b)
c)
d)
e)
85
100
77
90
81
Precorso logica – Cremona Agosto 2005
4
16
36
64 … ??
22
42
62
82
102
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Esempio 31
Individuare la parola da scartare:
polizia stazione opulento detergente illazione
Esempio 32
9
12
+5
10
16
8
-
-
Precorso logica – Cremona Agosto 2005
6
10
9
18
9
13
??
12
2
9
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Esempio 33
Il numero da inserire è:
a)
b)
c)
d)
e)
41
14
35
23
28
B
A
B
C
D
E
F
G
1
2
3
4
5
6
7
A + B + G = 1 + 2 + 7 = 10
A
F
G
10
23
??
28
G
Precorso logica – Cremona Agosto 2005
H
I
L
M
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Esempio 34
Individuare la risposta composta dai numeri che completano
logicamente le caselle vuote:
a) 14-12-5 b) 14-15-16 c) 17-11-12 d) 11-18-21 e) 13-14-15
+2 -2
7 9 5
15 17 13
9 11 7
Precorso logica – Cremona Agosto 2005
11 13 9
6 8 4
4 6 2
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Esempio 35
Trova il quadrato che completa logicamente la serie
+
+
+
+
?
?
Precorso logica – Cremona Agosto 2005
?
?
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Esempio 36
Trovare la figura che completa
logicamente la serie:
-
+
+
+
+
+
-
-
+
+
-
-
Precorso logica – Cremona Agosto 2005
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Si aggiunge un più e
si toglie un meno ad
ogni passaggio
+ +
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