Tasso di sconto esponenziale (standard)
Breve ripasso
Se investo oggi cento euro quanto varranno l’anno venturo?
100 + r100 = 100(1 + r)
dove r ≥ 0 è il tasso d’interesse
Quanto valgono oggi 100 euro che io percepirò l’anno venturo?
Valgono una cifra pari a quanto io dovrei investire oggi per ottenere 100 euro
domani
100
1 r
infatti
100
(1r)100
1r
valore corrente di 100 euro da
percepire l’anno a venire
1
MM. Bovi
Utilità scontata (US): , non r
Sappiamo che possiamo fare le stesse considerazioni con l’utilità
(m=risultato, reddito)
U
(
m
)
L’utilità valutata (scontata) al tempo
t

1
U
(
m
,
m
)

U
(
m
)

t
t

1
t
presente di un risultato m nel periodo
(
1


)corrente (t) e nel periodo futuro (t+1)
Tasso di sconto intertemporale individuale:
Ci dice come l’individuo valuta l’utilità nel periodo successivo rispetto
all’utilità corrente. Solito nb: dalla somma «fisica» all’utilità via preferenze!
A parole: quanto maggiore è ρ
1
se



U
(
m
)
tanto meno importanza si dà al
t

1
(
1


)
futuro: ρ = impazienza
2
Se l’orizzonte arriva al tempo «n»:
U
(
m
)U
(
m
) U
(
m
)
t

1
t

2
t

n
U
(
m
)
  2

...
 n
t
(
1


)(
1


)
(
1


)
n
n
1
1
i

U
(
m
)


U
(
m
)dove


t

i
t

i
i
1
(
1


)
i

0
i

0
 

2
n
PV

U
(
m
)

U
(
m
)

U
(
m
)

..
U
(
m
)
t
t

1
t

2
t

n
PV = Present Value
ρ = tasso di sconto individuale
δ = fattore di sconto individuale
3
Utilità scontata (US)
Caratteristiche principali della US con tasso di sconto esponenziale
TASSO DI SCONTO «A VITA»  gli agenti usano lo stesso tasso di sconto
per tutta la loro vita:  NON dipende dal tempo
TASSO DI SCONTO COSTANTE  in ogni periodo lo stesso tasso di sconto
è applicato ai periodi futuri :  NON dipende dal tempo.
Perché proprio questa funzione? Perché così
le preferenze sono temporalmente coerenti (TC):
Le scelte ottimali rimangono ottimali anche con il passare del
tempo: una scelta che è ottima se calcolata al tempo t=0 rimane
ottima anche al tempo t=2, al tempo t=3, …, al tempo t=n
4
Utilità Scontata
Coerenza Temporale
Il fattore di sconto fra due punti qualsiasi nel futuro
dipende
SOLO dalla “distanza” fra questi due punti,
NON dal momento temporale nel quale il soggetto
prende le sue decisioni
Esempio:
il fattore di sconto usato per pesare l’utilità dal periodo t+10 al
periodo t+8
è identico al fattore di sconto usato per pesare l’utilità dal periodo
t+6 a periodo t+4
Le preferenze esponenziali sono Temporalmente Coerenti
5
Utilità Scontata
coerenza temporale (TC)
 

PV

U
(
m
)

U
(
m
)

U
(
m
)

..

U
(
m
)
t
t

1
t

2
t

n
2
n
Calcoliamo il SMS che, come noto, è anche il rapporto tra derivate
parziali (U’):
U
'(m
t)
SMS

t,t
1

U
'(m
)
t
1

U
'
(
m
) U
'
(
m
)
SMS


U
'
(
m
)
U
'
(
m
)
t

ì
t

i
,
t

i

1 t

ì

1
t

i
t

i
t

i

1
t

i

1
Se le preferenze sono TC e se m=costante (=> mt=mt+i, i) allora il
SMS fra due periodi sarà sempre, i.e. in ogni t, uguale a SMS=1/
6
Coerenza temporale
Un piano di decisioni intertemporale può essere immaginato
come una sorta di “contratto” che ciascuno stipula con se stesso:
oggi (da giovane) mi impegno con me stesso domani (da vecchio).
Se questo piano è TC, allora nel futuro non ho alcun incentivo a
modificare le mie decisioni e «non mento a me stesso» (a meno
che cambino le circostanze esterne e le informazioni oggettive
diverse dal tempo, ovviamente)
7
Abbiamo visto come l’economia standard studia questo tipo di scelte:
modello dell’US con =impazienza=parametro costante nel tempo.
Il problema è che in realtà ci sono numerose eccezioni alla COSTANZA DI
 e, quindi, alla COERENZA DINAMICA.
Oscar Wilde: “Posso resistere a tutto, tranne che alle tentazioni”
Ulisse e le sirene
Queste eccezioni sono così frequenti e diffuse che, forse, sarebbe opportuno
chiamarle regole e non eccezioni. Ciò non riduce la forza normativa del
modello dell’US, ma la valenza positiva di questo modello assiomatico
risulta ridotta.
8
ALCUNI FAMOSI ESEMPI DALLA LETTERATURA
Se tu dovessi decidere oggi
cosa mangeresti la settimana prossima,
frutta o cioccolata?
Generalmente (74%) le persone scelgono la frutta
Se tu dovessi scegliere oggi
cosa mangiare oggi,
tra frutta o cioccolata,
Cosa mangeresti?
Generalmente (70%) le persone scelgono la cioccolata
MESSAGGIO SUBLIMINALE:
ORA mi gusto la cioccolata
DOPO penso alla salute.
9
Scegli fra 24 film
• Alcuni sono molto leggeri e divertenti, tipo:
Benvenuti al Sud
• Alcuni sono film altrettanto belli ma meno divertenti, tipo:
Olivier Twist
• Scelti per questa sera: 66% leggeri.
• Scelti per Mercoledì prossimo: 37% leggeri.
• Scelti per Mercoledì (fra 15 giorni) : 29% leggeri.
MESSAGGIO SUBLIMINALE:
ORA mi voglio divertire
DOPO mi dedico ad un approfondimento culturale.
10
Un famoso esperimento (Thaler, 1981) ha dimostrato queste anomalie
comportamentali, successivamente replicate in innumerevoli altri studi:
A circa 80 studenti universitari è stato chiesto di immaginare di aver
vinto dei soldi in una lotteria organizzata da una banca.
Essi avevano a disposizione due scelte:
1.tenere i soldi subito,
2.attendere un certo periodo di tempo e ricevere di più alla scadenza.
Essi avevano a disposizione 3 intervalli temporali di attesa e gli si
chiedeva di stimare una cifra che avrebbe reso lo studente indifferente
tra le due scelte.
11
Il tasso di sconto temporale usato dagli studenti risultava maggiore
considerando un orizzonte temporale breve rispetto a uno più lungo:
piccolo t => grande .
L’analisi dei dati cioè, mostra che i tassi di sconto temporale, impliciti
nelle scelte soggettive dei soggetti, variano inversamente rispetto
all'estensione del tempo di attesa per ottenere la ricompensa inferiore
12
A. Scegli tra:
(A.1) Una mela oggi
(A.2) Due mele domani
B. Scegli tra:
(B.1) Una mela tra un anno
(B.2) Due mele tra un anno e un giorno
Secondo la teoria economica standard,
se viene scelta l'opzione (A.1)
per la proprietà di consistenza dinamica
in B dovrebbe essere fatta la scelta (B.1).
I risultati sperimentali, come detto, danno esiti diversi
La maggioranza dei soggetti è tentata di scegliere (A.1) e (B.2) insieme,
dimostrando così una distorsione che porta a dare un peso/sconto
maggiore al presente e al futuro prossimo rispetto a quello più
remoto: cala t => cresce  (=impazienza).
13
Ricompense alternative disponibili in periodi di tempo vicino alla scelta,
quindi, vengono scontate maggiormente rispetto ad altre più lontane nel
tempo.
L’inconsistenza dinamica implica un ribaltamento della preferenza
e vìola la proprietà di stazionarietà(=costanza) delle preferenze
modellate dalla teoria standard.
Ribadiamo per memoria:
 dipende da t
In particolare:
basso t => alto 
14
Queste ormai sedimentate evidenze riguardo al comportamento
dinamicamente incoerente degli individui nell'ambito dello sconto
temporale ha delle importanti conseguenze.
La capacità esplicativa e descrittiva dei modelli tradizionali ne risulta
particolarmente ridotta:
i modelli teorici devono adeguarsi alla realtà, non viceversa.
D’altronde necessita formalizzare quanto ottenuto nei laboratori:
i modelli empirici devono avere rigore formale.
Per migliorare la teoria tradizionale incorporando questi comportamenti
così ricorrenti nella realtà - ma evitando di perderne il rigore formale - è
stato introdotto il modello di sconto iperbolico.
COME GIA' VISTO PER “FILOSOFIA => ECONOMIA”, ANCHE
“PSICOLOGIA => ECONOMIA” IMPLICA L'USO DELL'ANALISI
MATEMATICA. NOI NON LI FAREMO MA CI SONO ANCHE
FORMALIZZAZIONI DI LOGICHE “BIOLOGIA => ECONOMIA”.
15
Perchè IPERBOLICO?
Perchè il modello di sconto iperbolico, coerentemente con i risultati
sperimentali, riesce a tener conto dell'inconsistenza dinamica delle
scelte che molto spesso si riscontra nella realtà di tutti i giorni.
Sconto Iperbolico: tiene conto che piccolo t => grande e viceversa
Prima dei formalismi, l'intuizione, ribadendo il problema con altre parole.
Man mano che il tempo passa e la possibilità di ottenere un beneficio
inferiore si avvicina (eppure lo sapevamo che sarebbe arrivato quel
momento!), tendiamo a rivalutarne il valore e a ribaltare la scelta fatta:
Siamo miopi e tendiamo a dare un valore tanto superiore alle
tentazioni quanto più esse sono vicine nel tempo.
16
Confronto tra funzioni di sconto T-coerenti e non
Funzione di sconto iperbolica
Il fattore di sconto diminuisce molto più velocemente nel breve
che nel lungo periodo. Assumiamo per semplicità =
1

1t
Fattore di sconto iperbolico con =
Dove α è un parametro che influenza il grado di sconto.
Tanto più α è grande, tanto meno peso si attribuisce al
futuro
Funzione di sconto esponenziale
1

(1)t
Fattore di sconto esponenziale
Notate che e agiscono su  in modo simile:
i.e., e molto grandi => molta impazienza
17
Confronto tra funzioni di sconto (=0.5; =0.25)
Attualizziamo il valore di 100 euro tra un anno (t=1)
1

1t
1
100 68
.9
Iperbolico
1

0
.5
(minore di)
1

(1)t
1
100
80 Esponenziale
10
.25
Attualizziamo il valore di 100 euro tra 10 anni (t=10)
1
Iperbolico
100

18
.18
1

0
.5
x
10
(maggiore di)
1
Esponenziale
100 10

10
.73
(
1

0
.25
)
18
Confronto tra funzioni di sconto
Valore attuale (PV) di 100€ con ρ = 0.25 e α = 0.5
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Rispetto a exp, hyper
dà meno peso ai
Rispetto a exp, hyper
periodi vicini
dà maggiore peso ai
periodi più lontani
0
5
10
exp
15
20
hyper
Come abbiamo calcolato, al tempo (ascisse):
t=1: exp=80; hyper=68,9
t=10: exp=10,7; hyper=18,2
19
Confronto tra funzioni di sconto
Valore attuale di 100 euro con ρ = 0.25 e α = 0.5
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Tasso di declino
(SMS) costante
0
5
Tasso di declino
(SMS) decrescente
10
exp
15
20
hyper
Solo in Hyper vale che varia t => varia 
Vediamolo analiticamente
20
Tasso di sconto iperbolico (TC)
 
U
(
m
)U
(
m
) U
(
m
)
1
2
n
PV

U
(
m
)
  
...

0
1
1

2 1

n

U
'(
m
)(
1

)
U
'(
m
)
0
0
SMS


0
,
1
U
'(
m
) U
'(
m
)
1
1
U
'(
m
)(
1

2

)
1
SMS

1
,2
(
1


)
U
'(
m
)
2
SMS
SMS
0
,1
1
,2
anche
se
m
ècostant
!
Insomma: agenti non temporalmente coerenti
Nell’US, invece, SMS=1/
21
Altra funzione: Sconto quasi-iperbolico


U
(
m
)U
(
m
) U
(
m
)
1
2
n
PV

U
(
m
)
  2

...n
0
1
(
1

) (
1

)


2
n
PV

U
(
m
)

U
(
m
)

U
(
m
)

...

U
(
m
)
0
1
2
n
NB
Se β =1 le quasi iperboliche collassano nelle esponenziali
δ è il consueto fattore di sconto esponenziale
22
Abbiamo quindi visto che scontiamo in modo non esponenziale.
Bene, ma perché?
Cioè, perché l'avvicinarsi nel tempo della scelta che avevamo
scartato inizialmente comporta un cambiamento delle preferenze
che avevamo espresso inizialmente?
Le ragioni, in letteratura, sono attribuite a diversi fenomeni psicologici di
sconto del valore come la «tendenza a procrastinare».
23
La Tentazione di “rimandare”
Molto (troppo) spesso decidiamo di procrastinare azioni che
impongono costi immediati allo scopo di ottenere vantaggi futuri.
Azioni che rimandiamo a «lunedì»:
 dieta
 esercizio fisico
 studiare
 smettere di fumare
Se lo spirito è forte e la carne è debole, come mai vince sempre la carne?
(Gaucho Marx)
Palestra, prova costume e coerenza temporale
In inverno ci si sente gonfi e fuori forma. E poi, ancora bruciano le risatine degli
amici quando, l’estate scorsa, ci mettevamo in costume da bagno. OK, basta! In
primavera si va in palestra e/o ci si mette a dieta per essere in forma l’estate
prossima.
Esempio
Diciamo che l’utilità di andare in palestra in primavera (fra costi monetari, costi
opportunità e fatica) sia pari a – 6 e che il «vantaggio» che otteniamo in estate sia
pari a 8:
U0 = 0, U1 = -6, U2 = 8
Inverno: t=0; Primavera: t=1; Estate: t=2
25
Assumiamo poi che ci sono due persone con preferenze diverse
-Anna con preferenze temporali esponenziali
-Mario con preferenze temporali quasi-iperboliche
Riporto, per memoria, la funzione di sconto quasi iperbolica. Ricordo anche che


se =1 allora si avrebbe quella esponenziale e che U0 = 0, U1 = -6, U2 = 8
PV

U
(
m
)

U
(
m
)

U
(
m
)

...

U
(
m
)
0
1
2
n
2
n
26
Palestra, prova costume e coerenza temporale
Propositi invernali
Preferenze temporali esponenziali

6
8
PV

0


Anna
2
1
 (
1

)
 
Preferenze temporali quasi-iperboliche

6
8
PV

0


Mario
2
1
 (
1

)
 
Diciamo che =0.25 e β =0.8. Sostituendo, otteniamo
In inverno

6
8
PV

0
 

0
.
32
Anna
2
1

0
.
25
(
1

0
.
25
)
Entrambi hanno PV>0 e
decideranno di frequentare la

6
8
PV

0

0
.
8
0
.
82

0
.
256
palestra in primavera
Mario
1
.
25
(
1
.
25
)
27
Palestra, prova costume e coerenza temporale
Arriva la primavera
Preferenze temporali esponenziali
Anna: PV>0
8
PV


6


0
.
4 ha preferenze temporalmente COERENTI:
Anna
quando arriva primavera va in palestra
1
.
25
Preferenze temporali quasi-iperboliche
Mario : PV<0
0
.
8
*
8
PV


6



0
.
88
ha preferenze temporalmente INCOERENTI:
Mario
1
.
25
quando arriva primavera NON trova più conveniente
andare in palestra
In primavera
Solo Anna terrà fede al proposito
Mario deciderà invece di rimandare tutto al prossimo anno
28
Auto-controllo e coerenza temporale
La palestra, la dieta, smettere di fumare, cercare lavoro, studiare, ecc. sono
considerabili come «beni d’investimento»
Un succulento maritozzo con panna, andare in discoteca e/o al pub, tirare fino
all’alba con gli amici sapendo che il giorno dopo c’è l’esame del Prof. Bovi, etc.
sono definibili consumi “piacevoli”:
Un soggetto con preferenze temporali iper o quasi iperboliche
consumerà TROPPI beni di piacere
e TROPPO POCHI beni d’investimento
rispetto a quello che dovrebbe/vorrebbe (tra il dire e il fare…)
Insomma: ha problemi di auto-controllo
29
Auto-controllo e coerenza temporale
Matematica e Psicologia.
Un soggetto con preferenze temporalmente incoerenti è
irrazionale, ha una razionalità limitata o cosa?
Vediamo tre casi.


a) può essere del tutto consapevole sul suo comportamento futuro. So di sbagliare,
ma tant’è:
ˆ

ˆ
dove
è
il
valore
stimato
previs
del
param
che
il
sog
ad
n
f

b) può essere parzialmente consapevole circa il suo comportamento futuro.
Sa di avere qualche problema di autocontrollo, ma non precisamente:
ˆ  
c) può essere totalmente inconsapevole circa il suo comportamento futuro.
E’ davvero convinto di iniziare la dieta «domani» e di usare la fz. esponenziale:
ˆ  1
30
Auto-controllo e coerenza temporale
La differenza è che, nei primi due casi, il soggetto tende ad mettere in campo
delle strategie di commitment (promessa, impegno) per superare il problema:
Ulisse si fa legare al palo della nave
Alcuni economisti hanno analizzato i dati di tre grandi health centers americani
che offrono la scelta fra:
i. un pagamento fisso mensile di L approssimativamente 80 dollari
ii. un pagamento per visita pari a p approssimativamente 10 dollari
Il pagamento fisso conviene a chi pensa di andare in palestra un numero di volte
superiore a L/p ovvero più di 8 volte al mese
Si è scoperto che gli utenti che avevano scelto il fisso mensile andavano in
palestra solo 4,4 volte in media al mese con un costo pari a 17 dollari per volta
(rispetto ai 10 che avrebbero pagato)
31
Auto-controllo e coerenza temporale
Gli utenti che avevano scelto il fisso mensile andavano in palestra solo 4,4 volte in
media al mese con un costo pari a 17 dollari per volta (rispetto ai 10 che avrebbero
pagato)
Questo tipo di comportamento NON può essere spiegato con un approccio
tradizionale e con preferenze temporali esponenziali
Un modello di soggetti parzialmente consapevoli e non totalmente ingenui fornisce
due possibili spiegazioni
1.
il soggetto compra uno strumento di commitment che riduce il costo marginale
della palestra a 0 (i.e. l’abbonamento rende gratis l’entrata) per cercare di
avvicinare la frequenza desiderata a quella reale,
2.
semplicemente tende a sovrastimare, al momento del contratto, il suo consumo
futuro del bene d’investimento palestra.
32
Auto-controllo, coerenza temporale e politica economica
In alcuni casi è la politica economica che interviene facendoci superare il
problema di autocontrollo (fallisce l'homo economicus, interviene lo Stato).
Consumi individuali socialmente utili (educazione, assicurazione...)
-
Sistemi pensionistici obbligatori;
-
Iva agevolata e incentivi fiscali.
Consumi individuali socialmente dannosi (alcool, sigarette, droga):
-
Disincentivi (tasse) e divieti di consumo
-
Divieto di pubblicità sul consumo
- Obbligo di pubblicità disincentivante (bevi responsabilmente, il fumo
uccide...)
Negli USA non esiste un sistema pensionistico obbligatorio uguale al
nostro (ma ci stiamo avvicinando) e il
30% dei lavoratori dipendenti che ne avrebbero diritto non sottoscrivono
alcun piano pensionistico
33
Auto-controllo, coerenza temporale e politica economica:
Le mie pensioni
Il piano pensionistico USA 401(k) è abbastanza vantaggioso per i lavoratori
-vantaggi fiscali
- compartecipazione dell’impresa fino ad un massimo del 6% dello stipendio (per
ogni dollaro versato dal lavoratore l’impresa versa un dollaro)
- i lavoratori ulta-cinquantanovenni possono anche ritirare dei soldi dal fondo in
caso di necessità senza penalizzazioni
Però, meno del 50% dei lavoratori con + di 59 anni sottoscrive il fondo.
Se si considerano i giovani le percentuali sono anche inferiori.
Perché, nonostante la convenienza, non hanno alcuna voglia di risparmiare e
nonostante tutto vogliono consumare più oggi? Americani Cicale?...
…Oppure stanno semplicemente procrastinando?
34
Auto-controllo, coerenza temporale e politica economica
Le mie pensioni
Gli agenti trovano costoso decidere, scegliere (quanto versare), riempire
moduli complicati. Allora semplicemente rimandano.
Intervento politico:
La partecipazione può aumentare:
• Lanciando campagne di educazione e informazione (anti-ignoranza)
• Istituendo il silenzio-assenso (anti-procastinamento):
l’adesione è automatica e se NON si vuole aderire occorre manifestare
esplicitamente la propria decisione
35
Politica anti-procrastinamento
Sottoscrizione 401(k)
100%
Sottoscrizione
automatica
80%
60%
Sottoscrizione
standard
40%
20%
0%
0
6 12 18 24 30 36 42 48
Mesi dall'assunzione in mesi
36
Ai lavoratori piace questa forzatura?
Ai lavoratori è stato chiesto attraverso questionari anonimi:
“Sei contento che la tua azienda ti iscriva automaticamente?”
97% di risposte “sì”
Come a dire: certe volte non solo è bene che lo
Stato intervenga nelle scelte individuali, ma è anche
apprezzato se lo fa!
37
E NOI ITALIANI?
Solo un quarto degli occupati è iscritto a forme pensionistiche complementari.
In particolare, è ancora limitata la diffusione della previdenza complementare fra i
i giovani e le donne.
Sul livello di partecipazione alla previdenza complementare pesa inoltre la crescente
presenza dei cosiddetti “iscritti silenti”, ossia di coloro che hanno sospeso ogni forma
di contribuzione (specie a causa della crisi).
Un gap non indifferente rispetto agli altri stati europei.
38
Eppure di stimoli ce ne sarebbero:
•
L’inadeguatezza della futura pensione pubblica:
Rispetto all’ultimo stipendio, nel 2040 le nostre pensioni saranno ridotte al:
70% se dipendenti
65% se autonomi
50% se giovani (18-34 anni. Non è certo, c’è una probabilità di «solo» il 50% che accada)
•
L’esistenza di rilevanti vantaggi fiscali.
•
La possibilità di ottenere un contributo dal datore di lavoro
•
C’è molta (forse troppa) offerta: alla fine del 2013, i fondi operanti erano 510
•
Viviamo più a lungo degli altri
Colpa nostra? Solo in parte:
Solo dopo l’estate del 2015, forse, è prevista la cosiddetta «busta arancione», che consentirà
di conoscere i tempi e l'assegno pensionistico.
È una busta che in alcuni paesi scandinavi viene inviata a tutti i lavoratori in modo tale che si
facciano da subito un'idea precisa di come sarà il trattamento pensionistico che stanno
maturando.
Siamo sempre gli ultimi a saperlo…Governo procrastinatore!
39