Formule generali per il calcolo di superficie e volume di solidi a 2 basi by iprof RIASSUMIAMO CON IL DIAGRAMMA AD ALBERO SOLIDI GEOMETRICI a 2 basi POLIEDRI Solidi di rotazione PRISMI cilindri PARALLELEPIPEDI CUBO I prismi retti Un prisma si dice retto se i suoi spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi. Un prisma si dice regolare se è retto e ha per basi due poligoni regolari. QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO ESAGONO REGOLARE Apriamo… un prisma Consideriamo il modello in cartone di un prisma retto a base triangolare. Se lo tagliamo lungo i suoi spigoli in modo da poterlo distendere su un piano, otteniamo una figura piana che si chiama sviluppo della superficie del prisma. La superficie di tutte le facce di un solido è detta superficie totale, mentre quella delle sole facce laterali è detta superficie laterale. Alcuni esempi Il solido P è un prisma quadrangolare regolare, quindi è retto, le facce laterali sono 4 rettangoli R congruenti e le sue basi sono due quadrati Q congruenti. P Qui sotto è disegnato lo sviluppo della superficie del solido P. parallelepipedo LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE /1 5 4. CALCOLO DELLE AREE DEFINIZIONE Superficie di un poliedro La superficie di un poliedro è la somma delle superfici di tutte le sue facce. Scomponendo un solido (anche non poliedrico) è possibile calcolarne la superficie laterale: Al = Pb . h Ricordiamo che alla superficie laterale va aggiunta la superficie delle basi per calcolare l’area totale. Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio At= 2Ab + Al LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE /1 5 •cubo l Area di base Ab=l2 Area laterale Ab= 4 l2 Area totale Copyright © 2011 Zanichelli editore At= 6 l2 Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio SOLIDI DI ROTAZIONE SI OTTENGONO FACENDO RUOTARE UN POLIGONO, PER 3600, INTORNO AD UN SUO LATO UN RETTANGOLO RUOTA INTORNO AD UNA DIMENSIONE CILINDRO RETTO ASSE DI ROTAZIONE RAGGIO DI BASE È sempre possibile ottenere lo sviluppo della superficie di un cilindro CILINDRO RETTO poliedri a due basi Ab Al = Pb x h Al cilindro Al = C x h Ab Pb Circonferenza C=2πr C At = Al + 2Ab Area cerchio Area cerchio Ab= πr2 Superficie del cilindro LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE 5. CALCOLO DEI VOLUMI /1 per tutti i solidi a due basi V=Ab x h (nel cilindro Ab=πr2) 5 TEOREMA TEOREMA TEOREMA Volume del cubo Volume del prisma Volume del cilindro La misura del volume del La misura del volume del La misura del volume del Vediamo che, in generale, il volume delle tre figure può essere espresso come prodotto cubo è uguale alla misura del prisma è uguale al prodotto cilindro è uguale ap prodotto tra superficie l’altezza. suo l’area spigolodella elevato alla terzadi base dellaemisura dell’area di base dell’area del cerchio di base per potenza: per la misura dell’altezza: la misura dell’altezza: V = a3 o meglio V = l3 V = Ab . h Perché V= l2 x l Cioè V=Ab . h Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio V =π .r2 . h che significa sempre V=Ab . h Riepilogando…aree di solidi a due basi Area di base Prismi Dipende dal poligono di base Parallelepipedi Ab=bh (rettangolo) Cubi Ab=l2 Ab=l2 (quadrato) Area laterale h= Al Pb Al= Pbh Al Pb= Cilindri Ab=πr2 r Ab=4l2 h At=2Ab+Al C=2πr C=πd r Area totale Ab C 2 oppure d C Riepilogando…..volume di solidi a due basi • V=Abh V Ab h .. V h Ab …….e peso di qualunque tipo di solido * * P=V ps P V ps P ps V Il peso specifico di una sostanza è noto. Esiste la tabella dei pesi specifici. Il suo valore indica di quanto vale il rapporto tra il peso di un cubetto di volume unitario di una sostanza rispetto al peso di un uguale cubetto di acqua, che ha ps=1 (1 cm2 pesa 1 g)