OPERE DI SOSTEGNO
Occorre:
– determinare le azioni esercitate dal terreno
sulla struttura di sostegno;
– regolare il regime delle acque a tergo del muro;
– determinare le azioni esercitate in fondazione;
– verificare il muro al ribaltamento e allo scorrimento;
– verificare gli elementi strutturali.
Geotecnica
fascicolo 11/1
COEFFICIENTI DI SPINTA
COEFFICIENTE DI SPINTA A RIPOSO
'
s'h=Ko∙s'v
'
'
'
s'v
Se per semplicità ipotizziamo di avere u=0 (terreno a grana grossa al di sopra
della superficie freatica), è possibile non fare distinzione tra tensioni totali e
tensioni efficaci e si ha:
sh  K o    z
H
S0   σ h0  dz 
0
1
 K 0    H2
2
H
Z0 
Geotecnica
s
h0
 z  dz
0
S0
2
 H
3
fascicolo 11/2
COEFFICIENTE DI SPINTA ATTIVA
TEORIA DI RANKINE
Ipotesi: Parete liscia verticale
/4  /2
sv    z
sh  K a  s v
sh 1  sin 
  
Ka 

 tan2     K 0
s v 1  sin 
4 2
Geotecnica
fascicolo 11/3
SPINTA ATTIVA
TEORIA DI RANKINE
H
S a   sh,a  dz 
0
Za 
Geotecnica
1
 K a    H2
2
2
H
3
fascicolo 11/4
COEFFICIENTE DI SPINTA PASSIVA
TEORIA DI RANKINE
/4  /2
sv    z
sh  K p  s v
Kp 
Geotecnica
sh 1  sin 
  

 tan2     K 0
s v 1  sin 
4 2
fascicolo 11/5
SPINTA PASSIVA
TEORIA DI RANKINE
H
Sp   sh,p  dz 
0
Zp 
Geotecnica
1
 K p    H2
2
2
H
3
fascicolo 11/6
FORMULE DI RANKINE, ASSENZA DI COESIONE
t

R
s'3
s
s'1
s'
s '1  s '3
s '  s '3
 s  sen '  1
 sen '
2
2

1  sen '
1  sen ' 
 s '3 
 s '1
Ka 


1  sen '
1

sen

'


o, in alternativa:
R
 s '1 
Geotecnica
1  sen '
 s '3
1  sen '

1  sen ' 
K

 p 1  sen ' 


fascicolo 11/7
ESTENSIONE AL CASO DI TERRAPIENO
INCLINATO, ASSENZA DI COESIONE
b=1
e
W
V
T
N
In un pendio indefinito (quindi, in assenza della parete) W e V si fanno
equilibrio. Pertanto, sono noti i valori di N e T, componenti di V
rispettivamente normali e tangenziali alla giacitura considerata.
N    h  1  cos e
T    h  1  sene
Se per semplicità ipotizziamo di avere u=0, in modo da poter non fare
distinzione tra tensioni totali e tensioni efficaci, sulla stessa giacitura si ha:
T / N  t / s  t / s '  tan e
Ciò comporta che il punto P, di coordinate (s’,t) e rappresentativo di tale stato
tensionale, si trovi su una retta inclinata di e sull’orizzontale.
Geotecnica
fascicolo 11/8
ESTENSIONE AL CASO DI TERRAPIENO
INCLINATO, ASSENZA DI COESIONE
Assumendo che sulla giacitura considerata le condizioni tensionali non varino
per effetto degli spostamenti del muro, si può tracciare il cerchio di Mohr a
rottura imponendo il passaggio per P e la tangenza con la retta di rottura.
Determinato tale cerchio, si può ricavare lo stato tensionale agente sulla
giacitura verticale, ossia sul muro. Si noti che su quest’ultima giacitura
agiscono sia una tensione normale sx (=s'x) che una tensione tangenziale txz
e che la loro risultante r è inclinata di e, come il piano campagna. Si ottiene:
s x  K ah    z
r  Ka    z
sx
con :
txz
r
2
K ah  cos e 
cos e  cos 2 e  cos 2  '
cos e  cos 2 e  cos 2  '
K a  K ah / cos e
t
giacitura
verticale

e
s'
P
polo
Geotecnica
e
fascicolo 11/9
ESTENSIONE AL CASO DI TERRAPIENO
INCLINATO, ASSENZA DI COESIONE
e
Si può procedere in modo analogo per il caso della resistenza passiva,
ossia della condizione di rottura raggiunta per effetto di un aumento di
tensioni orizzontali. Il punto P nel piano di Mohr è lo stesso, mentre il
cerchio a rottura è l’altro cerchio compatibile con il passaggio per P e con
la condizione di tangenza.
Geotecnica
fascicolo 11/10
ESTENSIONE AL CASO DI TERRAPIENO
INCLINATO, ASSENZA DI COESIONE
s x  K ph    z
r  Kp    z
sx
con :
txz
r
2
K ph  cos e 
cos e  cos 2 e  cos 2  '
cos e  cos 2 e  cos 2  '
K p  K ph / cos e
t

e
giacitura
verticale
s'
P
e
polo
Geotecnica
fascicolo 11/11
FORMULE DI RANKINE, PRESENZA DI COESIONE
t

R
c’
s'3
s'1
s'
Anche in questo caso, la condizione di tangenza comporta che esista un
legame tra le tensioni principali s'1 e s'3. Si può dimostrare che:
s '3  K a  s '1  2c ' K a
s '1  K p  s '3  2c ' K p
Geotecnica
fascicolo 11/12
COEFFICIENTE DI SPINTA ATTIVA:
TEORIA DI COULOMB
Se si assume che la superficie di scorrimento sia piana, il problema può
essere facilmente affrontato dal punto di vista dell’equilibrio globale:
H/tan
S
H
T
S
R

N
R

W

S  W  tan(  )  1 / 2    H2  cot   tan(  )  f()
Alla generica superficie corrisponde un valore di S che rappresenta il
valore minimo della forza che garantisce l’equilibrio. Al variare di  si può
individuare la superficie critica: quella a cui compete il massimo dei valori
minimi capaci di equilibrare il cuneo.
S
0

  crit 
 

4 2
1
K a    H2
2
  
con K a =tan2   
4 2
Sa 
Geotecnica
fascicolo 11/13
COEFFICIENTE DI SPINTA ATTIVA:
TEORIA DI COULOMB
Il ragionamento è suscettibile di generalizzazione, potendo considerare:
- l’inclinazione del muro b
- l’inclinazione del terrapieno e
- l’attrito terra-muro d
e
/2db
S
b
Sh
W
H
d
R
S
W
R



Sa 
Ka 
Geotecnica
1
K a    H2
2
cos 2 (  b)

2
cos b  cos(b  d)  1 

sin(d  )  sin(  e) 

cos(b  d)  cos(b  e) 
2
fascicolo 11/14
COEFFICIENTE DI SPINTA PASSIVA:
TEORIA DI COULOMB
Una procedura analoga può essere utilizzata anche per ricavare la spinta
passiva. In tal caso alla generica superficie corrisponde un valore di S che
rappresenta il valore massimo della forza che garantisce l’equilibrio. Al
variare di  si può individuare la superficie critica: quella a cui compete il
minimo dei valori massimi capaci di equilibrare il cuneo. Si notino le
direzioni dei vettori S e R, cambiate rispetto al caso precedente.
e
b
H
W
S
R

d

Sp 
Kp 
Geotecnica
1
K p    H2
2
cos 2 (  b)

2
cos b  cos(b  d)  1 

sin(d  )  sin(  e) 

cos(b  d)  cos(b  e) 
2
fascicolo 11/15
COEFFICIENTI DI SPINTA
APPROSSIMAZIONI LEGATE ALLA SCABREZZA
• Le formule di Rankine non permettono di portare in conto l’effetto
dell’attrito terra-muro
• Il metodo di Coulomb ne tiene conto, ma ipotizza che la superficie di
rottura sia planare
Geotecnica
fascicolo 11/16