Distribuzione di tempi di residenza in
reattori chimici
Introduzione
Finora abbiamo considerato solo reattori ideali come plug
flow e mixed flow.
Quando si progettano reattori si cerca di avvicinarci ai
reattori ideali.
Nei reattori reali i flussi deviano dall’idealità
Obiettivi di questa parte: simulare flussi non ideali
Residence Time Distribution (RTD)



Misura di RTD: metodi di input a Pulse & Step
Caratterisitche di RTD
RTD nei Reattori Ideali
Modellazione di reattori con RTD

Modello a dispersione
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Pacognano, 19 December, 2015 - slide 2
Comportamento di flusso non ideale
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Pacognano, 19 December, 2015 - slide 4
Caratterizzazione di reattori Non-Ideali
Perchè ?
• per modellare il comportamento di reattori non ideali
• per capire come la non idealità impatta sulle performance
Come ?
• Residence Time Distribution (RTD)
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Residence Time distribution - 1
Qual’è la caratterisitca di un flusso ideale

Ogni atomo o molecola ha lo stesso tempo di residenza
Non è il caso nei reattori reali. La distribuzione di questi
tempi è detta residence time distribution (RTD)
La RTD è rappresentata dalla funzione E [time-1]
fraction of fluid leaving the vessel that has
E(t) dt 
a residence time between t and t  dt
La RTD può essere vista come carattristica del mixing che
avviene dentro al reattore
La RTD viene normalizzata:


0
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E dt  1
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Residence Time Distribution - 2
E
t1
t2
Frazione più giovane di t1:
Frazione più vecchia di t1:
time

t1


0
t1
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E dt
1
E dt  1 -  E dt
0
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Residence Time Distribution - 3
Ragioni della deviazione dal flusso ideale:
- Channeling del fluido
- Creazione di zone stagnanti
La RTD può essere misurata sperimentalmente iniettando
un tracciante (atomo inerte o molecola con proprietà
fisiche simili a quelle del fluido)
- Input ad impulso - Pulse Input
- Input a gradino - Step Input
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Come si Misura RTD ??
Feed
Effluent
REACTOR
Tracer
Detector
Caratteristiche del tracciante
• facilmente rilevabile
• non-reattivo
• non-adsorbente
• proprietà fisiche simili a quelle del fluido
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Metodo del Pulse Input - 1
Un ammontare noto di tracciante viene immesso nel
reattore
Si misura la concenrtazione del tracciante all’uscita (la
curva C)
La RTD è data da:
E(t) 
C(t)


0
C(t) dt
Notare che


0
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E(t) dt  1
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Metodo del Pulse Input - 2
Possibili problemi nel pulse input:



L’impulso deve avvenire in un tempo molto breve a confronto con il
tempo di residenza medio.
La dispersione deve essere trascurabile tra il punto di iniezione e
l’ingreso del reattore.
Se la curva C ha una lunga coda, ci può essere una certa
inaccuratezza.
 Infatti, una integrazione sulla curva C può essere errata anche di molto.
 A volte è meglio estrapolare la curva e contiunare analiticamente.
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Integrale di Convoluzione - 1
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Integrale di Convoluzione - 2
La RTD è responsabile per il cambiamento di forma tra Cin
e Cout
 tracer leaving   all the tracer entering t' seconds earlier th an t 

  

and staying for time t' in the vessel
 in rectangle B  

Il tracciante che entra t’ secondi prima di t è
rappresentato dal rettangolo A, quindi
 tracer in

 tracer leaving 

    rectangle
 in rectangle B  all rectangles 
A
A which enter 
earlier than
time t
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  fraction of tracer in A 


  which stays for about t' 
  seconds in the reactor 


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Integrale di Convoluzione - 3
Matematicamente (stringendo il rettangolo):
t
Cout (t)   Cin (t - t' ) E(t' ) dt'
0
Che è equivalente a
t
Cout (t)   Cin (t' ) E(t - t' ) dt'
0
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Come si Misura RTD ??
Feed
Effluent
REATTORE
Detector
Tracer
Input
Response
Pulse Input
Method
C(t)
C(t)
t
t
Response
Input
C(t)
Step-Input
Method
t
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C(t)
t
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Determinazione di RTD con Pulse Input
Input
Response
Pulse Input
Method
C(t)
t
C(t)
t
t+Dt
• L’ammontare di tracciante DN che lascia il reattore tra il tempo “t” e
“t+Dt” è
D N  C (t )  v  Dt
• Dividendo DN per No, si ottiene la frazione di materiale che ha un
tempo di residenza tra “t” e “t+Dt”.
Residence-time
D N v  C (t )
distribution
 E (t )  Dt

 Dt
function
No
No
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RTD con Pulse Input (cont.)
• Se Non è noto precisamente, può essere calcolato come segue:
dN  v  C (t )  dt


N o   v  C (t )  dt
t 0
• Si può definirela funzione RTD, E(t) come:
E (t ) 
C (t )

 C (t )  dt
t 0
• La frazione di materiale che lascia il reattore che è rimasta nel reattore
per tempi tra t1 e t2 è
f 
t2
 E (t )  dt
t t1
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Determinazione di RTD con Step Input
Input
Response
Co
C(t)
Step-Input
Method
t
C(t)
t
• Il tracciante è alimentato a concentrazione Co costante, ad iniziare da
t=0
• Trascuranedo I dettagli, e sostituendo l’integrale di convoluzione, la
concentrazione in uscita Cout(t) è:
t
Cout (t )  Co  E (t )  dt
t 0
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RTD con Step Input (Cont.)
t
Cout (t )  Co  E (t )  dt
t 0
• Dividendo l’equazione di sopra per Co, si ottiene la curva F(t)
t
Cout (t )
  E (t )  dt  F (t )
Co
t 0
• La curva E(t) si ottiene differenziando F(t) rispetto al t
d  Cout (t ) 
E (t )  

dt  Co  step
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Problemi nel metodo Step Input
E’ a volte difficile da mantenere la concentrazione di
tracciante ocstante in carica
Prevede derivazioni che possono portare a grossi errori
(depende dalla “qualità” del segnale in uscita). Può
essere necessario lisciare la curva.
E’ necessario una grosso quantitativo di tracciante.
Probleme se tracciante è caro.
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RTD da dati di Pulse Input
Le concentrazioni riportate nella tabella seguente sono un
responso continuo ad un impulso di ingresso in un reattore
chimico. Tabulare e graficare la curva E(t).
Time, t
(min)
Tracer Output
Concentration, Cout
(g/L)
0
5
10
15
20
25
30
35
0
3
5
5
4
2
1
0
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RTD da dati di Pulse Input
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Caratteristiche del RTD - Esempi
Quasi plug-flow
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Packed Bed Reactor
con channeling
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Caratteristiche del RTD - Esempi
CSTR
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CSTR with dead-zone &
channeling
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Relazioni integrali
fraction of effluent


which has been in the reactor   t E(t) dt  F(t)

 0


for less time than t
fraction of effluent


 which has been in the reactor    E(t) dt  1 - F(t)

 t


for longer tim e than t
F(t) è definito da Danckwerts come la funzione di
distribuzione cumulativa
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Caratteristiche del RTD
• La frazione di materiale che risiede nel reattore per un tempo inferiore
a t può essere espressa da
t
 Fraction of Material in the Effluent that

t 0E (t )  dt  has been in the reactor for less than time" t"   F (t )
• F(t) viene anche chiamata funzione di distribuzione
cumulativa 1.0
0.8
80% del fluido
spende20s o meno nel
reattore
F(t)
0.0
t=20 s
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t
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Momenti di RTD
Tempo di residenza medio (Mean residence time): il valore
medio è uguale al primo momento della funzione RTD, E(t):

tm
t E(t) dt



 E(t) dt
0


0
t E(t) dt
0
varianza: (secondo moment):

   (t - t m ) 2 E(t) dt
2
0
indica lo “spread” della distribuzione.
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Caratteristiche del RTD
• Mean Residence Time (tm)

 t E (t )  dt
t m  0
 E (t )  dt

  t  E (t )  dt
0
0
• Funzione RTD Normalizzata E(Q)
E (Q)    E (t )
dove,
Q
t

e
V

vo
Q è il numero di volumi di reattore basato sulle condizioni di
entrata del fluido che hanno percorso il reattore nel tempo “t”
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RTD per reattori Plug-Flow
Tutti gli atomi e le molecole spendono lo stesso tempo nel
reattore. La funzione di distribuzione è quindi un picco di
altezza infinita e larghezza zero.
Matematicamente, questo picco viene rappresentato dall
funzione del delta di Dirac:
E(t)   (t -  )
0
 (x)  



-
when x  0
when x  0


-
 (x) dx  1
g(x)  (x -  ) dx  g( )
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RTD nei reattori ideali
• RTDs in Batch e PFRs
Out
In
1.0
F(t)
E(t)
t=
t=0
t=
t
t
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RTD nei reattori ideali (Cont.)
• RTDs in CSTR
Si può derivare RTD per un CSTR dai bilanci di materia su un
tracciente inerte introdotto con un pulse input. Al tempo t=0, la
concentrazione del tracciante nel CSTR è Co
Input - Output + Gen = Accumulo
v
Per t>0
0

vC  0  V
dC
dt
Integrando l’equazione di sopra con le
condizioni iniziali C=Co at t=0
V
CSTR
C (t )  Co  exp( t /  )
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RTD in reattori ideali (Cont.)
• RTDs in CSTR
Conoscendo la concentrazione del tracciante in uscita
C (t )  Co  exp( t /  )
Si ottiene E(t)
C (t )
E (t )  

 C (t )  dt
t 0

Co  exp( t /  )
C
o
 exp( t /  )  dt
t 0
Quindi,
E (t ) 
exp( t /  )

E (Q)  exp( Q)
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RTD in reattori ideali
• RTDs in reattori con flusso laminare
Profilo di velocità per flusso laminare in un tubo circolare
U(r )  U max
  r 2 
  r 2 
 1      2 U avg  1    
  R  
  R  
2  vo

  R2
  r 2 
 1    
  R  
Il tempo (t) che serve ad un elemento di fluido al raggio r per
attraversare un tubo di lunghezza L
2
L
L

(

R
)

1
t

 
2
U (r )
2  vo  [1  (r / R) ]
2 [1  (r / R) 2 ]
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Pacognano, 19 December, 2015 - slide 34
RTD in reattori ideali
• RTDs in reattori a flusso laminare
r
dr
Portata Volumetrica di fluido che flusce tra r, e r+dr
dv  U (r )  (  r  dr )

2vo  [1  (r / R) 2 ]
   r  dr )
2
 R
Frazione di fluido totale che scorre tra r, e r + dr
dv 2vo  [1  (r / R) 2 ]   r  dr )


2
vo
 R
vo
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Pacognano, 19 December, 2015 - slide 35
RTD in reattori ideali
• RTDs in reattori a flusso laminare (cont.)
dv 2vo  [1  (r / R) 2 ]   r  dr )


2
vo
 R
vo
Dobbiamo riformulare eq. di sopra in termini di “t”

1
t 
2 [1  (r / R) 2 ]


1
2
dt  
 2  r  dr
2 2
2 [1  (r / R) ] R
1
2
2 2

r

dr

dt


[
1

(
r
/
R
)
]
2
R

dv
2
2
 2  [1  (r / R) ]   [1  (r / R) 2 ]2  dt
vo

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  V/v
dv  2

 dt
3
vo 2  t
E(t)
Pacognano, 19 December, 2015 - slide 36
RTD in reattori ideali
• RTDs Function per reattori laminari a flusso (cont.)
0
E (t )   2
2t3
for t   / 2
for t   / 2
La distribuzione cumulativa, F(t), si esprime con
dt
2
F (t )   E (t )  dt 
 1
3
2

2
t
4

t
t  / 2
t  / 2
t
2
t
Il tempo di residenza medio, tm, si può derivare

2

dt
tm   t E (t )  dt 
2

2
t
t  / 2
t  / 2
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 
Pacognano, 19 December, 2015 - slide 37
Come possiamo utilizzare la funzione
RTD per modellare un reattore ?
Reattore reale come serie CSTR + PFR
(1) La zona agitata vicino alle eliche è modellata da un CSTR perfetto.
(2) L’ingresso e uscita da un PFR.
Si combinano i due modelli per il reattore reale.
PFR (p)
CSTR (s)
C  C0 e
Inpulso tracciante
0

E (t )   e (t  p ) /  s
 
s

E (t ) 
PFR (p)
e
t
t
s
Ritardo di p
E(t)

C  C0 e
Inpulso tracciante
E (t ) 
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when t   p
s
CSTR (s)
Ritardo di p
when t   p
e
t
t

s
s
0

E (t )   e (t  p ) /  s
 
s

when t   p
t
when t   p
Non ci sono differenze in RTD tra (1)
CSTR + PFR e (2) PFR + CSTR !
Pacognano, 19 December, 2015 - slide 39
Reazione del secondo ordine
Una reazione del secondo ordine (CA0 = 1 kmol/m3) è condotta in un CSTR reale che vuole
essere modellato da due diversi sistemi reagenti:
(1) CSTR + PFR
(2) PFR + CSTR
Trovare la conversione in ciascun sistema nel caso che s = p = 1 min
(1) CSTR + PFR
CA0
CSTR
CAi
v0 (CA0  CAi )  kCAi V
dFA
2
 kCA
dV
 s kCAi 2  CAi  CA0  0
1
1

  pk
C A C Ai
2
1  4 s kCA0  1
 0.618 kmol / m3
2k
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X
1  0.382
 0.618
1
bilancio massa
bilancio massa
C Ai 
PFR
CA
C A  0.328 kmol / m3
Pacognano, 19 December, 2015 - slide 40
(1) PFR + CSTR
CA0
PFR
bilancio massa
dFA
2
 kCA
dV
CAi
CA
CSTR
1  0.366
X
 0.634
1
bilancio massa
v0 (CAi  CA )  kCA V
2
 s kCA2  CA  CAi  0
1
1

  pk
C Ai C A0
C Ai  0.5 kmol / m3
C A  0.366 kmol / m3
C’è una differenza !
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Pacognano, 19 December, 2015 - slide 41
Considerazione
Reattori in serie (PFR e CSTR) per modellare zone morte
di un CSTR
Importa l’ordine dei reattori?


No, in termini di RTD.
Basta che la somma dei tempi di residenza sia la stessa.
Ma…


Se la reazione è del II ordine (es 13-4 pag 834) …
… c’è una differenza
RTD non è una descrizione completa della struttura di un
reattore o sistemi di reattori.


RTD è unica per un reattore
Ma un reattore non è unico per un data RTD !!!
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Modellazione di reattori con RTD
La RTD ci dice quanto tempo molecole ed atomi sono rimaste
nel reattore, ma non ci dice nulla sul miscelamento nel reattore.
Per reazioni del primo ordine, la conoscenza del tempo di
stazionamento di ciascuna molecola nel reattore è sufficiente,
poichè la conversione è indipendente dalla concentrazione [e.g.
dX/dt = k(1-X)]
Per ordini di reazione diversi da uno, la conoscenza della RTD
non è sufficiente per la previsione della conversione. Quindi è
necessario sviluppare modelli che tengano conto dei fenomeni di
miscelazione nel reattore.
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Pacognano, 19 December, 2015 - slide 43
Modellazione di reattori con RTD
ZERO parameteri aggiustabili


Modello a flusso segregato
Modello a massima miscelazione
UN parametero aggiustabile


Modello dei tank in serie
Modello a dispersione
DUE parameteri aggiustabili

(reattori reali come combinazione di reattori ideali)
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Pacognano, 19 December, 2015 - slide 44
Macromixing e Micromixing
Macromixing: produce una RTD ma non specifica come
le molecole di età diversa si miscelano.


Quello che abbiamo fatto finora!!
La RTD è sufficiente per descrivere la non idealità
Micromixing: specifica come molecole di età diversa si
miscelano. Due casi estremi di micromixing:

Tutte le molecole della stessa età rimangono assieme nel loro
viaggio attraverso il reattore e non vengono miscelate fino all’uscita
del reattore
 Segregazione completa
 Si parla di macrofluido

Molecole di diversi gruppi di età sono mescolate subito all’ingresso
del reattore
 Micromixing completo
 Si parla di microfluido
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Pacognano, 19 December, 2015 - slide 45
Modellazione di reattori con RTD
Modello a flusso segregato
Si modella il reattore reale come
un numero di piccoli reattori
batch, ciascuno dei quali con un
tempo diverso. Tutte le molecole
che stazionano nel reattore per lo
stesso tempo (i.e., che hanno la
stessa età) rimangono assieme
nello stesso globulo (i.e., reattore
batch). La miscelazione dei
globuli con diversa età avviene
solo all’uscita el reattore reale..
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Pacognano, 19 December, 2015 - slide 46
Modello a flusso segregato
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Modello a flusso segregato
Gli elementi di fluido di diversa età non si mescolano tra loro.
Caso del PFR: lo vediamo come un flusso di tanti reattori batch che
passsano nel reattore.
 mean conversion

 fraction of fluid 
conversion
achieved


 of the fluid elements 



  after spending a time    elements that spent 
 between t and t  dt 
 spending between  


  t in the reactor  

t
and
t

dt
in
the
reactor


 in the reactor 
Conoscere la RTD e la velocità di reazione in un modello a flusso segregato
è sufficiente per calcolare la conversione
Da dati sperimentali
dX  X(t)  E(t) dt

X   X(t) E(t) dt
0
Reazione del I ordine


dN A
 rAV  kCAV  kN A  kN A0 (1  X )
dt
X   X (t )  E (t )dt
0
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Dall’eq. di progetto di un “reattore
batch” (i.e., ciascun globulo)
X (t )  1  e  kt
X (t )  1  e  kt

X  1   ekt E(t )dt
0
Pacognano, 19 December, 2015 - slide 48
Derivare le equazioni per una reazione del primo ordine utilizzando il modello a
flusso segregato se la RTD equivale ad (a) PFR ideale, e (b) CSTR ideale.
(1) PFR ideale
E (t )   (t   )
RTD:


X  1   e E(t )dt
X  1   ekt   (t   )dt
kt
0
0
Reazione I ordine in PFR:
FA0
(2) CSTR ideale
RTD:
E (t ) 

X  1   e E(t )dt
kt
0
Reazione I ordine in CSTR:
Scuola Nazionale di Fenomeni di Trasporto
Identiche!
e
t
dX
 rA  kCA
dV
X  1  e  k
dX
 kCA0 (1  X )
dV
C A0 v0


Identiche!

X  1  e 
0
FA0 X  rAV  kCAV
 kt
e
t


dt
X
k
1  k
v0C A0 X  kCA0 (1  X )V
Pacognano, 19 December, 2015 - slide 49
Conversione media usando la RTD
Per una reazione del I ordine, assumendo miscelazione completa (CSTR ideale) o
segregazione completa (globuli) in un CSTR, otteniamo gli stessi risultati in termine
di conversione. Questo perchè la reazione è del primo ordine; il micromixing non
influenza la reazione.
La RTD è sufficiente per calcolare la conversione in qualsiasi tipo di
reattore.

X   X (t )  E (t )dt
Conversione media con il modello a segregazione
0
XE
X (t )  1  e  kt
E (t ) 
X  area
C (t )


0
Scuola Nazionale di Fenomeni di Trasporto
C (t )dt
t
Pacognano, 19 December, 2015 - slide 50
Modello a massimo miscelamento - 1
Situazione speculare rispetto a prima: entrate sfalsate
Il mescolamento avviene all’ingresso
 è il tempo che impiega il fluido per muovere da un punto particolare all’uscita
del reattore
Portata volumetrica che entra dal lato del reattore tra  + D e 
v0 E ( )D
Portata volumetrica alimentata al reattore fino a 
v( )  v0  E ( )d  v0 1  F ( )


Volume di fluido con tempo di stazionamento tra  + D e  :
DV  v0 1  F ( )D
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Pacognano, 19 December, 2015 - slide 51
Modello a massimo miscelamento - 2
Bilancio di massa su A tra  + D e:
v0 1  F ( )CA  D  v0CA0 E( )D  v0 1  F ( )CA   rAv0 1  F ( )D  0
C A 0 E ( ) 
d 1  F ( )C A ( )
 rA 1  F ( )  0
d
dC A ( )
E ( )
 rA  C A  C A0 )
d
1  F ( )
dX
rA
E ( )


X
d C A0 1  F ( )
Scuola Nazionale di Fenomeni di Trasporto
Condizioni al contorno: a  = ,
CA= CA0 (X = 0).
Per ottenere la soluzione, le
equazioni devono essere
integrate indietro
numericamente, iniziando da un
valore di  molto grande e
finendo con  = 0
Pacognano, 19 December, 2015 - slide 52
Esempio: reazione del secondo ordine
Una reazione in fase liquida del secondo ordine:
2A  B
La reazione è condotta a 320K e la carica è di A puro con CA0=8 mol/dm3. Il reattore è non
ideale e viene modellato da due CSTRs with interscambio. Il reattore è di 1000 dm3 e la
portata in carica è di 25 dm3/min. Si dispone di un test per la misura della RTD.
Determinare I valori minimi e massimi di conversione per diversi gradi di micromixing del
reattore.
E (t ) 
C(t)
C (t )


0
C (t )dt
E(t)


t
E(t )dt  1  F (t )
1-F(t)
I limiti sulla conversione sono dati dai due modelli di completa segregazione e di massimo
miscelamento.
dN
VdC A
2
2
 A 
 rAV  kCA V  kCA0 (1  X ) 2 V
dt
dt
kCA0t

X
(
t
)

1  kCA0t
X (t )  E (t )dt E(t)
(1) Completa segregazione
X 
0
Scuola Nazionale di Fenomeni di Trasporto
X (t ) 
kCA0t
1  kCA0t
X  0.61
Pacognano, 19 December, 2015 - slide 53
(2) Massimo miscelamento
dX  k C A0 (1  X )
E ( )


X
d
C A0
1  F ( )
dX
r
E ( )
 A 
X
d C A0 1  F ( )
2
 E (i )
2
X i 1  X i  D )
X i  kCA0 (1  X i ) 
1  F (i )

Si sceglie  
X i 1  X i
E (i )
 kCA0 (1  X i ) 2 
Xi
D
1  F (i )
(~200) , D = -25, e X0 = 0 per iniziare l’integrazione numerica
 E (200)

X 1  X 0   25)
X 0  kCA0 (1  X 0 ) 2 
1  F (200)

X1 = 2
 E (175)

X 2  X 1   25)
X 1  kCA0 (1  X 1 ) 2 
1  F (175)

X2 = 1.46
 E (150)

X 3  X 2   25)
X 2  kCA0 (1  X 2 ) 2 
1  F (150)

X3 = 0.912
X
...
I due limiti sono: segregazione 61% e MM 56% (PFR ideale: 76%, CSTR ideale: 58%)
Scuola Nazionale di Fenomeni di Trasporto
X = 0.56
t
Pacognano, 19 December, 2015 - slide 54
Soluzione Polymath
Variable
1
2
3
ca
cao
E
Initial
value
8.
8.
0.000225
Minimal
value
3.249092
8.
0.000225
Maximal
value
8.
8.
0.028004
Final value
3.493809
8.
0.028004
4
E1
0.1635984 0.0028731 0.1635984 0.028004
5
E2
0.000225
0.000225
0.015011
0.015011
6
EF
0.075005
0.0220677 0.075005
0.028004
7
F
0.9970002 0
cao = 8
k = .01
lam = 200-z
ca = cao*(1-x)
5
E1 = 4.44658e-10*lam^4-1.1802e-7*lam^3+1.35358e-5*lam^2.000865652*lam+.028004
6
E2 = -2.64e-9*lam^3+1.3618e-6*lam^2-.00024069*lam+.015011
7
F1 = 4.44658e-10/5*lam^5-1.1802e-7/4*lam^4+1.35358e5/3*lam^3-.000865652/2*lam^2+.028004*lam
8
F2 = -(-9.30769e-8*lam^3+5.02846e-5*lam^2-.00941*lam+.6182311)
9
ra = -k*ca^2
10
E = if (lam<=70) then (E1) else (E2)
11
F = if (lam<=70) then (F1) else (F2)
12
EF = E/(1-F)
0.9970002 0
8
F1
5.633339
9
F2
0.9970002 0.381769
0.9970002 0.381769
10
11
k
lam
0.01
200.
0.01
0
0.01
200.
12
ra
-0.64
-0.64
-0.105566 -0.122067
13
x
0
0
0.5938635 0.5632738
14
z
0
0
200.
Scuola Nazionale di Fenomeni di Trasporto
0
1
2
3
4
5.633339
0
0.01
0
200.
Pacognano, 19 December, 2015 - slide 55
Soluzione Polymath
Scuola Nazionale di Fenomeni di Trasporto
Pacognano, 19 December, 2015 - slide 56
Considerazioni sui modelli a zero parametri
Per due situazioni limite, otteniamo la conversione usando solo la RTD (i.e., non
abbiamo altre conoscenze sul mixing e flussi).
Questi sono:
(1) Il miscelamneto immediato consistente con RTD (massimo miscelamento)
dX
r
E ( )
 A 
X
d C A0 1  F ( )
(2) Il miscelamento solo all’uscita del reattore (completa segregazione)

X   X (t )  E (t )dt
0
Il calcolo della conversione per questi due casi fornisce I limiti di conversione
che ci si può aspettare per condizioni di mixing reali nel reattore, consistenti con
la RTD misurata.
Scuola Nazionale di Fenomeni di Trasporto
Pacognano, 19 December, 2015 - slide 57
RTD e reazioni multiple
Per reazioni multiple non usiamo X.
Nel modello a segregazione:

I globuli si mesclolano all’uscita

C A   C A (t ) E (t )dt
0

dC A
 C A (t ) E (t )
dt
CA (t) è determinata dalle condizioni del reattore batch. Se ci sono
q reazioni:
q
dC A
  riA
dt
i 1
Nel modello a massimo miscelamento:
dC A ( )
E ( )
 rA  C A  C A0 )
d
1  F ( )
Scuola Nazionale di Fenomeni di Trasporto

dC A ( )  q
E ( )



)
    riA   C A  C A0
d
1  F ( )
 i 1

Pacognano, 19 December, 2015 - slide 58
Reazioni multiple:
k1
A  B 
C
E1(t)
E2(t)
k2
A 
D
k3
B  D 
E
t
t
Avvengono in due reattori differenti con lo stesso tempo di residenza medio tm =
1.26 min. Se la RTD è diversa tra loro, determinare la distribuzione dei prodotti
per il modello a segregazione e per il modello a massimo miscelamento.
Reazioni multiple
2
dC A
 rA   riA  r1 A  r2 A  k1C AC B  k 2C A
dt
i 1
2
dC B
 rB   riB  r1B  r3 B  k1C ACB  k3CB CD
dt
i 1
1
dCC
 rC   riC  r1C  k1C AC B
dt
i 1
2
dC D
 rD   riD  r2 D  r3 D  k 2C A  k3C B C D
dt
i 1
Scuola Nazionale di Fenomeni di Trasporto
1
dC E
 rE   riE  r3 E  k3CB CD
dt
i 1
Pacognano, 19 December, 2015 - slide 59
RTD e reazioni multiple
Regressione E1 (t) è:
E1 (t )  2.104t 4  4.167t 3  1.596t 2  0.353t  0.004
Regressione E2 (t) è:
E2 (t )  2.104t 4  17.037t 3  50.247t 2  62.964t  27.402
(1) Modello a segregazione

Ci   Ci (t ) E j (t )dt
0
E1 (t )  2.104t 4  4.167t 3  1.596t 2  0.353t  0.004
2
dC A
 rA   riA  r1 A  r2 A  k1C AC B  k 2C A
dt
i 1
Equazioni risolte simulataneamente
(2) Modello a massimo miscelamento

dC A ( )  q
E ( )
    riA   C A  C A0 )
d
1  F ( )
 i 1

Equazioni risolte simulataneamente
Si sceglie   6 , D = -0.2, e CA0 = CB0 = 1 per iniziare l’integrazione numerica
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Pacognano, 19 December, 2015 - slide 60