Misura
Misura diretta
Confronto diretto con l’unita’ di misura e/o multipli e sottomultipli
Misura indiretta
La grandezza da misurare e’ legata da una legge a grandezze misurabili in modo diretto.
Es 1: temperatura con un termometro a mercurio: si misura la dilatazione lineare
(lunghezza)del mercurio. Tarando la dilatazione lineare rispetto un valore noto
si ottiene il valore della temperatura .
Es 2 : temperatura dalla misura della corrente che passa in un circuito
in cui ci sia un elemento resistivo R=r(l/S) con r=r0( 1+aT) a potenziale elettrico
DV costante si ha i=DV/R;
Misurando i si misura R e quindi si conosce T nota r0 e a.
Es 3: velocita’ dalla misura di intervalli di spazio e intervalli di tempo.
Sensibilita’ di uno strumento:
la minima variazione della grandezza che lo strumento di misura riesce a rilevare
La misura da una stima del valore vero. Il valore vero e’ incognito.
Misura del tempo di caduta di un sasso in un pozzo di 30m :
come …misurando il tempo tra l’istante in cui si getta un sasso e l’istante in cui
si sente il tonfo.
Tempo misurato t = t1+t2
h= ½ g t12
h= vs t2
La precisione della misura dipende :
- precisione dello start e stop ( casuale) sia in spazio che tempo…
- sensibilita’ dello strumento per misurare il tempo (sistematico)
- dalla precisione della velocita’ del suono ( sistematico)
- da precisione di g (sistematico)
Posso trascurare t1 o t2 ?
t1= ~2.5 s ; t2=~0.1 s
Mi serve uno orologio che misuri meglio del secondo ( 0.01 s) .
Ma se ripeto tante misure trovo tanti valori non uguali al centesimo del secondo…..
Perche ? Start e stop se manuali non possono essere molto piu’ precisi del decimo.
Errori casuali : si mediano nel tempo
Errori sistematici : si correggono individuandone la causa.
Se ripeto tante volte la stessa misura gli errori sistematici sono sempre
uguali ; gli errori casuali si mediano.
Misuriamo tante volte (100) il tempo di tragitto tra due traguardi fissi di
un oggetto in caduta libera da una posizione fissa nel vuoto.
Una prima valutazione qualitativa della coerenza interna dei dati può
essere ottenuta costruendo l' ideogramma delle 100 misure (si veda la
dispensa di teoria degli errori). Converrà preliminarmente individuare i
valori massimo e minimo della distribuzione dei tempi misurati così da
scegliere la scala verticale (in millisecondi) in maniera opportuna. Un
esempio di ideogramma e’ riportato nella parte superiore della figura
nella pagina seguente.
Esempio:
Misuriamo il tempo di tragitto tra due traguardi fissi
di un oggetto in caduta libera da una posizione fissa .
con un orologio che misura il centesimo di secondo faccio tante
volte una misura trovo nel tempo valori diversi .
Vedo variazioni nel tempo
Con istogramma tempo
verso numero d’ordine
della misura
Vedo la fluttuazione delle
misure con un istogramma
con in ascissa intervallini di
tempo e in ordinata il
numero di volte che ho
ottenuto una misura in
quell’intervallo di tempo.
z = x  x  x  x*
Quanto vale il tempo di tragitto tra i due traguardi fissi ?
Tempo medio e’ una stima del valore vero t* che resta incognita.
Il tempo medio minimizza gli scarti di tutti i punti.
1
 t 
N
N
t
j =1
j
zj = tj   t 
scarto nella j esima misura
 (t
j
  t ) =  z j = 0
la somma degli scarti dal valor medio e nulla
scarto quadratico medio R.M.S

1
N
 (t j   t  ) =
2
1
N
2
2
t


t

 j
il valor medio dei quadrati degli scarti dal valor
medio mi da una stima dell' errore che ha una singola misura.
Qualsiasi sia la variabi le che si misura gli errori sono casuali gli errori si distribuis cono in ogni intervalli no secondo una probabilit a' data
da P(z j ) = f(z j ) Dz con f(z) =
il valor medio dei quadrati degli scarti dal valor
medio mi da una stima dell' errore che ha una singola misura.
Qualsiasi sia la variabi le che si misura se gli errori sono casuali gli errori si
distribuis cono in ogni intervalli no secondo una probabilit a' data
da P(z j ) = f(z j ) Dz con f(z) =
Teoricamente, se si esegue un numero molto elevato di misure
statisticamente indipendenti della stessa grandezza X, con strumenti
ideali in grado di misurare il valore della grandezza x in un intervallino
infinitesimo dx, si ha che la densita’ di probabilita’ e’ gaussiana, è cioe’
esprimibile come:
x x 

1
f ( x) =
e 2
2 
P(z j ) = f(z j ) Dz
2
2
P (  , ) =


f ( x ) dx = 0.68

P ( 2 ,2 ) =
2
 f ( x ) dx = 0.93
2
p ( 3 ,3 ) =
3
 f ( x ) dx = 0.98
3
f(z) e’ la densita’ di
probabilita’.
.
In altre parole, la probabilita’
di eseguire una misura della
grandezza x e trovare il
valore x in un intervallo
infinitesimo dx e’ data data
dal prodotto f(x) · dx .