Lezione 11: Le onde elettromagnetiche e la luce
Le onde elettromagnetiche
più importante conseguenza delle
equazioni di Maxwell:
esistenza di onde elettromagnetiche
equazioni di Maxwell




B
E 
 E  
0
t




E
  B  0 J   0 0
B  0
t



  (  B)   0  j 

 E 
 0  0   
 t 


 B 
  (  E)     
 t 



D  E


B  H


J  E
 0
equazione generale delle onde



 E
E
2
 E   2  
0
t
t


2

 H
H
2
 H   2  
0
t
t
2
per un mezzo isolante:


 E
2
 E   2  0
t

2

 H
2
 H   2  0
t
2
 0
E e B propagano
come onde di velocità
1
v

anche nel vuoto (assenza di cariche o correnti)
campo B variabile genera un campo E
campo E variabile ricrea il campo B variabile
il processo continua sotto forma di onda
elettromagnetica che propaga nello spazio
Proprietà delle onde
elettromagnetiche
onda piana
E e B costanti sui
soluzione particolare
equazioni di Maxwell
nel vuoto
piani ortogonali
all’asse x
 E e B propagano con
stessa velocità
v  1 / 

 B
1
 0 0
 
i E

i=
versore asse x
(direzione di propagazione)
onde trasversali
E e B non sono indipendenti
  
 S  EH
onda sinusoidale
2
E ( x, t )  E0 cos( x  t   )

vettore di Poynting
(direzione e verso
di propagazione)
E
B
x
Storicamente:
Maxwell calcola velocità onda elettromagnetica
v
1


velocità della luce
misurata
sperimentalmente
 la luce è un fenomeno elettromagnetico;
 è costituita da campi elettrici e magnetici
rapidamente variabili ed orientati trasversalmente alla
direzione di propagazione.
unificazione di elettricità e magnetismo
implica la teoria della luce!!!
Conferma sperimentale:
1888 Hertz: scoperta delle onde radio
Marconi: applicazioni commerciali delle
onde radio
Produzione di onde
elettromagnetiche
 carica elettrica a riposo: campo E
 carica elettrica in moto: campo E, campo B
in condizioni stazionarie:
carica in moto uniforme  corrente costante
densità di energia e-m costante nello spazio
 la carica non trasporta segnale:
(solo evidenza della sua presenza)
 non trasporta energia
 non trasporta quantità di moto
 non c’è radiazione elettromagnetica
in condizioni dinamiche:
carica in moto accelerato  corrente variabile
la radiazione è prodotta
da correnti che
variano nel tempo
in laboratorio:
vario nel tempo corrente
che scorre in un filo
C
genero onda
elettromagnetica
linea di
trasmissione
(cavo coassiale)
L
onda
che si propaga
R
generatore
esterno
circuito
oscillante
RLC
antenna a
dipolo elettrico
geometria antenna determina
proprietà geometriche campi E e B irraggiati
~
antenna a dipolo
elettrico (radio e TV)
al termine di un cavo
coassiale
due conduttori rettilinei
da
cariche fluiscono con frequenza  (sospinte
circuito RLC)
dipolo elettrico oscillante con frequenza 
radiazione di
p  q0 a sin t
dipolo elettrico
emissione
onda dipolare
p  q0 a sin t
t
p = p0
t +T/4
p=0
t +T/2
p = -p0
t +3/4T
p=0
t +T
p = p0
Scoperta delle onde radio
(Hertz 1888)
trasmettitore:
corrente oscillante
prodotta da scintille
emesse da un terminale
ad alta tensione
(frequenza di
risonanza  108 Hz)
ricevitore:
onde e-m
propagano per
metri
circuito isolato
le onde inducono una
corrente
analoga
(frequenza di
risonanza  108 Hz)
Radiazione di una carica
in moto accelerato
Carica in moto emette radiazione em:
potenza irradiata

flusso vettore di Poynting
attraverso sup. sferica
contenente la carica al centro
  
P   ( E H )  n da
S
Calcolo E ed H su S a partire dai potenziali A, :


A
E   grad 
t
E
0
H
0
 
r
r'

 (r ' , t 
)

1
c dv'
 (r , t ) 


40 V
r  r'
 
 
r  r'
 
0 J (r ' , t  c )
A(r , t ) 
dv'
 

4 V
r  r'
onda piana
potenziali
ritardati

  (r ' , t ' )dv' 
quantità di carica nello spazio,
tenente conto del moto di cariche
V
Esempio di calcolo integrale:
Superficie sferica che si
contrae con velocità c
P
se u=0
dq  dSdr
se u0  diminuzione
di carica
q
u
dr
  
u  (r  r ' )
 dS u cos q dt   
dSdt
r r'
  
u  (r  r ' )
dr / c  dt , dSdr  dv'
dq  (1    ) dv'
c r  r'
dq
dv' 
  
u  (r  r ' )
(1    )
c r  r'

 (r , t ) 
1
dq
  



40 V r  r '  u  (r  r ' )
c
1
e

  


40 r  r '  u  (r  r ' )
c

 
0
eu
A(r , t ) 
  


u
4 r  r '   (r  r ' )
c
per velocità non relativistiche


 
0 eu
0 eu
A(r , t ) 
  
4 r  r ' 4 R

 (r , t ) 
1
e
1 e
  
40 r  r ' 40 R
per distribuzioni dq
limitate a piccoli volumi
(integrando costante)
Potenziali di
Lienard-Wickert
per elettrone
( u<<c):
Potenza totale istantanea irradiata dall’elettrone:
2 
P

 
2
(
E

H
)
R
senqdqd
n

0
0



A
A
E   grad 

t
t
E
 trascuro componenti
di E e H  1/R2, 1/R3…
0
H
0
sapendo che:
A
 e

Eq   q   ( 0 u sin q )
t
t 4 R
 0 e du

sin q
4 R dt
u q Aq
e R
Potenza irradiata:
 
( E  H ) n  Eq H  
 0 2 0 e 2
Eq 
sin 2 q u 2  u 2
2
0
c (4R )
massima
in q/2
1  0 1/ 2 e 2 2  3
P ( )
u  sin qdq
2
0
8 0
c
2  0 1/ 2 e 2 2
 ( )
u
2
3 0
4c

u 2
irraggiamento solo se la
carica è accelerata
irraggiamento
in direzione  moto
Onde elettromagnetiche
in un conduttore
equazione generale delle onde


2

 E
E
2
 E   2  
0
t
t


2

 H
H
2
 H  


0
2
t
t
 0
soluzione per onda piana monocromatica:
E ( x, t )  E0ei ( x  t ) e -b x
 onda smorzata nella direzione x
    ( ); b  b ( )
13
1
 basse frequenze (  4 10 sec )
b   / 2
d  1/ b
coefficiente di assorbimento
cammino di assorbimento
(conduttore perfetto: =, d=0
onda riflessa totalmente)
13
1
(


4

10
sec
)
 alte frequenze
non c’è assorbimento (il metallo è trasparente)
Ionosfera:
 parte di atmosfera 100-400 Km dalla terra
 aria ionizzata da radiazione solare ultravioletta
elettroni si muovono di moto armonico
 p  108 rad / s
 p  1.6 107 Hz
 p  18.7 m
frequenza di taglio
 < p onda riflessa
 > p onda trasmessa
Applicazioni:
  106 Hz
onde radio
(modulazione di ampiezza)
vengono trasmesse anche
molto lontano per riflessione
dalla ionosfera
  108 Hz
onde radio e TV
(modulazione di frequenza)
passano la ionosfera 
utilizzo satelliti oltre la ionosfera
ionosfera
Onde elettromagnetiche
in un dielettrico
In un dielettrico:
 considero cariche di polarizzazione;
 trascuro effetti di magnetizzazione
(suscettività magnetica piccola)
equazioni di Maxwell

D  0

B  0


B
 E  
t 

D
  B  0
t
 0

J 0

 
D  0E  P



2


 E
1
1
1  P
2

 E  2 (  P) 
2
t
 0 0
 0 t 2
 0 0
2
onde nel vuoto
mezzi
omogenei
per campi funzioni armoniche
(sin  t , cos  t )


P   0  e ( ) E
 P dipende dalla frequenza 
 diminuisce all’aumentare di 
la fase di P non è la stessa di E
(l’effetto di polarizzazione è in ritardo)
 
 i ( t  kr )
E ( r , t )  E0 e
 
 i ( t  kr  )
P ( r , t )  P0 e
onda piana
monocromatica


2

 E
1
1  P
2
equazione onde


E


2
2
t
 0 0
 0 t
 
 
 
2  
2
2 2
2
  E (r , t )  c k E (r , t ) 
P(r , t )    e ( ) E (r , t )
0
2

2 

c2
1   e ( )
v f ( ) 
n( ) 

k


k2
c
1   e ( )
c
  r ( )
v f ( )

c
 r ( )
mezzo
dispersivo
I potenziali del campo
elettromagnetico
elettrostatica


div E 
0

rotE  0

E   grad
magnetostatica

div B  0


rotB   0 J


B  rotA


2
 A  0 J

  
0
2

divA  0
in condizioni dinamiche:


B
rotE  
t


B  rotA


 ( rotA)
rotE  
t

 A
rot ( E 
)0
t


A
E   grad 
t
irrotazionale


B  rotA
dalle equazioni di Maxwell:
 
divE 
0

A

div ( grad  ) 
t
0




E
rotB   0 J   0  0
t




A
rot (rotA)   0 J   0  0 ( grad  )
t
t

2



 2   2  
t


2


 A
2
 A   2   J
t


div A  
0
t
equazioni
delle onde
per i potenziali !!
condizione di Lorentz
(elimina arbitrarietà di A e )
i potenziali  ed A generati da una distribuzione di
cariche e correnti si fanno sentire nello spazio con
ritardo, legato alla velocità di propagazione.
Invarianza dell’elettromagnetismo
sotto trasformazioni di Lorentz
sistema S’
sistema S

v
z’
z
x’
x
O
y’
y
O’
moto rettilineo uniforme
rispetto ad S
O  O’ per t = t’ = 0
trasformazioni
di Lorentz
x' 
x  vt
1 v c
2
2
;
y '  y;
z '  z;
v
x
2
c
t' 
;
2
2
1 v c
t
mantengono
velocità della luce
uguale nei due sistemi
x 2  y 2  z 2  c 2t 2
=
x'2  y'2  z'2 c 2t 2
la norma del quadrivettore
( x, y, z, ict ) è invariata
equazioni delle onde
per i potenziali
2



 2   2  
t


2


 A
2
 A   2   J
t
   
   , , 
 x y k 
2
2
2



2  2  2  2
x y z
  
 
 quadrivettore
   , , ,
 x y k (ict ) 
2
2
2
2
1 2
1

 2  2  2  2 2  2  2 2
x y
z c t
c t
operatore (quadrato del quadrivettore )
è invariante per trasformazioni di Lorentz

( J , i c) quadrivettore densità carica-corrente

( p, i U c) quadrivettore momento-energia
i
(  )    0 (ic  )
c


A  0 J
 i
A  ( A,  )
c
A    0 j
(   1,2,3,4)
(   1,2,3,4)
il potenziale e-m è invariante