Riassunto
www.fisica.unige.it/~sorrentino/teaching
Attività cerebrale =
correnti neurali

localizzate J p
La corrente neurale
produce un potenziale
elettrico V secondo

 p 
  
  ( (r ) V (r ))    J (r )
e quindi delle correnti di
volume (in rosso)
La EEG misura V sulla
superficie della testa
Correnti neurali e
correnti di volume
producono campo
magnetico secondo
 
 


(r  r ' ) 
0  p 
B(r ) 
[ J (r ' )   (r ' )V (r ' )]    3 dr '
4 
| (r  r ' ) |
La MEG misura
B all’esterno
della testa
Riassunto
p
Problema diretto: date J e  calcolare V e B
Per la linearità, è sufficiente saper calcolare i campi di una corrente concentrata in
un punto (dipolo di corrente)
1. Ottengo (da immagini MRI) o
assumo di avere informazioni sulla
conducibilità  nel volume
cerebrale
2. Calcolo il potenziale elettrico risolvendo
con le opportune condizioni al contorno

 p 
  
  ( (r ) V (r ))    J (r )
3. Calcolo il campo magnetico (solo MEG) da
 
 


(r  r ' ) 
0  p 
B(r ) 
[ J (r ' )   (r ' )V (r ' )]    3 dr '
4 
| (r  r ' ) |
In generale, il problema diretto EEG è contenuto nel problema diretto MEG
Costruzione del problema discreto
Set di basi ortonormali
Calcoliamo il prob diretto
(in qlche modo)
N sensori, S sorgenti
 f11
 2
 f1
 ...

fN
 1
f 21
f 22
...
f 2N
...
f S1 

2
fS 
... 
f SN 
 J11
 
 J02
 J10 
 3
 
 ... 
 
 J0 
 S
=
1
B1
 f1f11  f 3 
 B 2 2
 f1f21  f 3 
... ... 
 ...
B N N 
 ff1N  f 3 
 1 
F trasforma correnti in
campi
FV J  V,
FBJ  B
Il problema è dinamico: abbiamo una sequenza di correnti e
di misure. Come si modifica?
 f11
 2
 f1
 ...

fN
 1
f 21
f 22
...
f 2N
...
f S1 

2
fS 
... 
f SN 
 J1t1 J1t 2 
 t1  t 2 
 J 2 J1 
 J t1 J t 2 
 3 3 
  
  
 ... ... 
 J t1 J t 2 
 S S 
 B1t1  B1t1 B1t 2 
 t1  t1 t 2 
 B2  B2 B2 
 ...  ... ... 
 

 B t1  B t1 B t 2 
 N  N N 
==
La matrice F rimane sempre la stessa (naturalmente).
Risolvere il problema inverso vuol dire invertire F.
Ma F è chiaramente non invertibile...
J F-1B
Problema inverso
Inverse problems
Matematica “vera”: spazi di Hilbert e operatori (compatti, lineari,…)
Modello semplicistico:
X: sorgente,
incognita
Y: quantità misurata
f(x): funzione nota,
“problema diretto”,
modello fisico
Patologie (mal posizione)
non-unicità
non-continuità
non-esistenza
Regolarizzazione
Problema di minimo associato
min || y  f ( x) ||2
x
Soluzione con norma minima
(informazione a priori)
min || x || X
x
Regolarizzazione:
bilanciamento dei due termini

min || y  f ( x) ||2  || x || X
x

Il problema lineare 1 – Tichonov
Sorgente simulata
B  FJ
min (|| B  FJ ||2  || J || L2 )
J
Funzionale di Tichonov, soluzione data da

J  ( F * F  I ) 1 F * B
Soluzione “inservibile”...
Inserendo una soglia otteniamo qualcosa di
meglio, ma non troppo...
L’arte dei problemi inversi...
L’informazione a priori
Sorgente simulata
La scelta della norma da minimizzare è fondamentale
min(|| B  FJ ||2  || J || L2 )
min(|| B  FJ ||2  || J || L1 )
L1 produce risultati più sparsi (tanti zeri)
Purtroppo produce risultati più sparsi
anche quando la vera sorgente è più
distribuita...
Possibilità di usare norme Lp, 1<p<2
In generale, stiamo ancora scontrandoci
con la mal posizione del problema...
Modelli di Sorgente (M/EEG)
La corrente neurale è una
distribuzione continua
Lineare
Le corrente neurale è una
somma di POCHI dipoli
Ricostruzione puntiforme
Interpretazione semplice
Generale
Non-lineare
Automatico
Approssimato
Ricostruzione molto distribuita
Difficile interpretazione
Manuale
Linearità/non-linearità del problema
Ignoriamo le correnti di
volume (non cambia la
struttura delle equazioni)
 
 
 p  (r  rii )
v 
(r  r ' )
B(r )   J (ri )    33   J (r ' )    3 dV
| r  rii |
| (r  r ' ) |
i
Se le posizioni sono fissate a priori, le incognite sono solo J p(ri)  Problema lineare
(la misura dipende linearmente dalle incognite)
Se le posizioni non sono date, le incognite sono J p(ri) E le stesse ri  Problema non-lineare
(la misura dipende non-linearmente da una parte delle incognite)
Problemi collegati:
• presenza di minimi locali
• QUANTE sorgenti utilizzare?
Analizzare dati EEG/MEG con questa approssimazione è piuttosto complesso...
Using the Equivalent Current Dipole
Guardare la misura
Seleziono i sensori interessanti
Avvio fit non-lineare solo su
quei sensori
Controllo che la posizione del
dipolo ottenuto sia ragionevole
Ripeto la procedura fino a che ho
trovato tutte le sorgenti (che MI
sembra ci siano)
Il problema non-lineare 1 – Ottimizzazione
Supponiamo ci siano S sorgenti. Lo
spazio dei parametri è lo spazio di
coordinate
 
 p  (r  ri )
B(r )  K  J (ri )    3
| r  ri |
i
 p 
 p 
r1 , J (r1 ),..., rS , J (rS )
 p  (r  ri )
In questo spazio si cerca il minimo del funzionale || Bmisurato  K  J (ri )    3 ||
| r  ri |
i
Ci sono molti algoritmi che “esplorano” lo spazio degli
stati per cercare il minimo del funzionale:
“Gradient Descent”
“Conjugate Gradient”
“Levenberg-Marquardt”
“RAP-MUSIC”
Sia non-linearità che rumore producono minimi
locali che possono impedire la convergenza
Il problema non-lineare 2 – Approccio Bayesiano
NON cerchiamo LA soluzione ottimale.
Consideriamo tutte le variabili in gioco come Variabili Casuali
La soluzione del problema è la densità di probabilità per l’incognita,
condizionata sulla misura
Teorema di Bayes
 (b | j ) prior ( j )
 post ( j | b) 
 (b)
Densità “a posteriori”,
soluzione del problema
Funzione di
verosimiglianza
Informazione a priori
Come dire... Studiamo l’intero
funzionale e non i minimi...
Approccio Bayesiano – densità a priori
Contiene tutte le informazioni che
abbiamo sulla soluzione PRIMA di ricevere
la misura.
Esempio:
stimoli visivi  regione occipitale più
probabile  densità a priori più grande
nella regione occipitale
Non abbiamo nessuna informazione a
priori?  Usiamo delle densità noninformative, ad esempio uniforme (se in
un volume finito)
 (b | j ) prior ( j )
 post ( j | b) 
 (b)
Approccio Bayesiano – funzione di verosimiglianza
Probabilità di misurare b quando la corrente è j
Ma non è “deterministico”????
Sì ma c’è sempre il rumore che è statistico...
 (b | j ) prior ( j )
 post ( j | b) 
 (b)
 
 p  (r  ri )
B(r )  K  J (ri )    3
| r  ri |
i
bmisurato  b( j )  n
rumore
 (bmisurato  b( j ))   (n)
La funzione di verosimiglianza “contiene” il problema diretto + la statistica
del rumore.
Approccio Bayesiano – densità a posteriori
La soluzione del problema inverso:
combina informazione a priori e
informazione del dato
 (b | j ) prior ( j )
 post ( j | b) 
 (b)
Difficile da visualizzare: per una
singola corrente puntiforme, è una
funzione da R^6 in R^+...
Si possono calcolare delle stime, le più comuni:
Il Massimo a Posteriori: il punto di massimo della densità
ˆj  arg max(  post ( j | b))
Il Valor Medio Condizionato: l’integrale
ˆj  j post ( j | b)dj

Approccio Bayesiano
 post ( x | y1 )   ( y1 | x)   prior ( x)
Distribuzione
rumore
Likelihood
function
(funzione di
verosimiglianza)
Informazione a
priori
Densità a
posteriori
STIMA
Approccio Bayesiano dinamico
In MEG/EEG abbiamo una sequenza di misure... Serve una densità a priori ad ogni
istante...
 (bt | jt )   prior ( jt | b1:t 1 )
 post ( jt | b1:t ) 
 (bt )
Inseriamo una seconda equazione
 prior ( jt 1 | b1:t )    ( jt 1 | jt )   post ( jt | b1:t ) djt
Modello probabilistico per
l’evoluzione della corrente...
 pr ( j1 )
 pr ( j2 | b1 )
…
 pr ( jt | b1:t 1 )
 post ( j1 | b1 )
 post ( j2 | b1:2 )
…
 post ( jt | b1:t )
Monte Carlo sampling
Numericamente, per problemi non-lineari, si ricorre a metodi Monte Carlo (si provano
tantissime possibili soluzioni, a ciascuna si assegna un peso in base a quanto bene spiega
il dato misurato… Teorema del Limite Centrale, Legge dei Grandi Numeri…)
Densità a priori
N
1
 prior ( x1 )    ( x1  x1i )
i 1 N
Likelihood function
 ( y1 | x1 )
Densità a posteriori
 post ( x1 | y1 )   ( y1 | x1i ) ( x1  x1i )
 pr ( x2 )   p( x2 | x1 ) post ( x1 | y1 )dx1
MEG bidimensionale
2D con 2 sorgenti
La risoluzione spaziale
Quanto possiamo essere precisi nel
localizzare le correnti?
Dipende da tantissime cose!!!
Cosa influisce sulla precisione?
- Lo strumento (MEG/EEG, ma anche MEG
diverse)
- Il metodo di inversione
- Il rapporto segnale/rumore, stabilito da:
- quantità di rumore
- intensità della sorgente
- profondità della sorgente (distanza dai
sensori)
- orientazione della sorgente
Nei casi buoni (sorgente dipolare, metodo
dipolare, buon rapporto segnale/rumore) si
sbaglia al massimo di qualche millimetro
mappature su pezzi di corteccia
La coregistrazione
E’ un problema “tecnico” che
infastidisce: cosa abbiamo
trovato? La localizzazione della
corrente rispetto ai sensori!
Immagine anatomica da Risonanza Magnetica
La coregistrazione - MEG
La coregistrazione passa attraverso la definizione
di un sistema di coordinate “della testa”,
indipendente dallo strumento: tre punti di facile
individuazione determinano i tre assi coordinati.
I punti chiave vengono rilevati in MEG
per mezzo di appositi “coils”, dove
viene fatta passare corrente
Gli stessi punti chiave sono facilmente
individuabili in un’immagine di Risonanza
Magnetica… il resto son conti
Caso EEG analogo
Applicazioni
EEG
MEG
•Localizzazione degli spikes
epilettici
•Identificazione di regioni
sane prima di un intervento
•Monitoraggio per anestesie
•Localizzazione degli spikes
epilettici
•Test per morte cerebrale
•…
•…
•…
•Identificazione dell’emisfero
dominante per il linguaggio
•Diagnosi quantitativa di
degradazione funzionale
•Diagnosi di plasticità
•…
Neuroscienze di base: studio delle funzioni evolute, dell’interazione tra
regioni cerebrali, della temporizzazione delle attivazioni…
Neuroscienze
Ramachandran et al. (1993)
Arti fantasma e MEG
EEG vs MEG
Chi vince?
MEG più sensibile all’orientazione delle sorgenti
EEG più sensibile alla conducibilità
MEG più costosa
MEG richiede meno tempo di preparazione ma soggetto fermo
EEG permette di misurare in condizioni ambientali più generali
Trends
Integrazione integrazione integrazione
Utilizzo di vincoli corticali per ridurre la malposizione
Integrazione MEG-EEG (sono complementari?)
Integrazione MEG-fMRI
Introduzione di vincoli
Introduzione di informazione a priori di carattere anatomico
Vincolo di volume
Vincolo di superficie
Vincolo di superficie, con orientazione normale
TMS
Sapevate che si può fare il “contrario”?
Transcranial Magnetic Stimulation
(sviluppata negli anni 80 da Barker)
www.fisica.unige.it/~sorrentino/teaching