melodia
abbia
lunghezza finita e sia
cosWuita da un numero finito di toni
GIOCHI MATEMATICI
puri e di ritmi, il numero delle melo­
die possibili è finito. John Stuart MiJJ,
nella sua autobiografia, scrive che da
giovane era
c:
assillato dal pensiero del­
I"esaustibilità delle composizioni musi­
di Martin Cardl/er
cali.:I Supponiamo che la nostra me­
lodia sia costituita esattamente da IO
ovvero comporre come Mozart servendosi dei dadi
durre quarti di tono. Sappiamo tuttavia
umano non può concepire nulla di più
dalranalisi di Fourier che il suono com­
c
antitetico! Eppure sono legate stretta­
plesso di una sinfonia, dall'inizio alla
mente e si sostengono a vicenda! :.
fine, è rappresentabile con una sola cur­
va o su un oscilloscopio.
-HERMANN VON HELMHOLTZ
Questa cur­
va, - scrisse Sir James Jeans in Science
and MIiSic,
I
c:
è la sinfonia, né più né
-
meno, e la sinfonia sembrerà nobile o
n un certo senso è possibile cansi­
pomposa,
musicale o
aspra,
raffinata
der<uc ogni opera d'arte come la
o volgare, a seconda delle caratteristi­
combinazione di un numero finito
che di questa curva.
di elementi
distinti. Non solo, ma il
tipo di combinazione in cui entrano
gli elementi si può esprimere con pre­
Dato che è possibile codificare con
di cifre, o se preferite, con un numero
la massima precisione possibile l e cur­
ve per mezzo di numeri, una sinfonia,
molto grande.
Consideriamo una poesia. Si assegni
un numero diverso a ogni lettera del­
l'alfabeto, a ogni segno d"interpunzione
e così via. Una cifra, per esempio lo
e così
pure una poesia,
possono es­
sere ridotte a quantità e quindi espres­
se con
una
catena di
numeri.
Una
grande biblioteca contenente nastri per
zero, può essere utilizzata per separa­
calcolatori su cui siano registrate tutte
re i vari numeri. t ovvio che la poesia
le combinazioni di suoni che possono
in questione può essere espressa da una
verificarsi
de biblioteca contenesse tutti i libri ot­
no degli algoritmi con cui un calcola­
tenuti con ogni possibile combinazione
tore possa esaminare le successioni di
lunga successione di cifre. Se una gran­
di parole e segni d"interpunzione, come
nelle
sinfonie,
conterrebbe
ogni sinfonia scritta o scrivibile. Esisto­
numeri che rappresentano il contenuto
nel famoso racconto La biblioteca di
della biblioteca e scegliere quelle che
Babele di Jorge Luis Borges, allora in
corrispondono
qualche punto della biblioteca ci do­
ancora scritte?
vrebbero essere senz'altro tutte le poe­
Naturalmente
il
gnmdi
sinfonie non
procedure
siffatte sa­
che si scri­
rebbero talmente complesse che ruomo
codificate come successioni di cifre e
meno ad avvicinarsi a formularle, ma
sie che sono state scritte
c
veranno. Si immaginino queste poesie
raccolte in un indice. Se una persona
disponesse di tempo sufficiente, miliardi
di miliardi di anni, potrebbe individua­
re ogni singola grande poesia. Esistono
degli
algoritmi che ci consentono di
ottenere una grande poesia non anco­
ra scritta?
Consideriamo una sinfonia. Si tratt:.l
di un complicato miscuglio di conti­
nuo e di discreto;
o
un
trombone
infatti un violino
possono
potrebbe benissimo non riuscire nem­
melodia gradevole, senza far uso di al­
no noiose (per esempio,
mi,
mi, mi,
mi, mi, mi. mi. mi. mi, mi), ma altre
saranno invece assai gradevoli. Esistono
delle regole che permettono a un cal­
colatore o a una persona di scegliere
le combinazioni giuste?
La storia dei tentativi di fonnulare
regole a questo scopo e di concretizzar­
le in uno strumento meccanico per la
composizione di melodie è piuttosto cu­
riosa e inizia nel
1650
quando Athana­
blicò a Roma la sua Mu.wrgia univer­
Kircher era un convinto seguace di Rai­
mondo Lullo, il mistico medioevale spa­
gnolo la cui Ars Magna era basata sulla
folle idea che per mezzo della sempli­
ce combinazione di pochi elementi fon_
damentali si potessero generare, qua­
si in ogni campo, nuove significative
conoscenze.
Era
perciò
naturale
che
Kircher. autore fra raltro di un trat­
tato di
500
di Lullo,
pagine sulla
c:
grande arte:l
concepisse la musica come
un problema combinatorio. Nel suo li­
bro sulla musica descrive una tecnica
lulliana per generare pezzi polifonici
basata sullo scorrimento di colonne p0-
ste runa accanto aIraltra.
analoga al
metodo dei bastoncini di Nepero (si v e­
da questa rubrica nel fascicolo di giu­
gno del
1974),
e sulla lettura delle ri­
ghe risultanti per ottenere varie permu­
taLioni e combinazioni. Come tutti i
per musica d"insieme barocca. Nel
1757
Bach, pubblicò a Berlino il suo Compo­
permette con un facile me/odo di COUl­
porre un numero illimitato di valzer.
apparse nel
The
Me/ody
corde vocali. ossa nelle orecchie di va­
ri animali. uccelli coi loro canti, stru­
menti musicali, dettagli meccanici di
scatole musicali,
organi
idraulici
con
statue semoventi di uomini e animali
c
centinaia di altre cose curiose.
Il meccanismo lulliano descritto da
suono, ma un pianoforte non può pro-
Se poniamo come condizione che la
che era un grande ammiratore di Kir-
1670
circa, dal diarista Samuel Pepys,
nel
1941,
il compositore e pianisl.:1 un­
col titolo The Dice Composer, orche­
essere
suonata
da
gruppi
cameristici
libretto di istruzioni per
Dicer,
pubblicato all'ini­
zio di quest'anno dalla C1.rousel Publi­
shing Corporation,
27
Union Street,
Brighton, Massachusetts. La confezio­
ne include anche due d�di e fogli da
musica bianchi.
Il sistema
c:
di Mozart:l consiste in
un insieme di brevi misure numerate
16
176.
T due dadi vengono gettati
volte. Per mezzo di una tabella che
di
8
colonne
comprendente
1II1elli nel quale si fa uso di un dado
come generatore di eventi casuali. Nel
1783 un altro libro di Kirnberger este­
se questo metodo alle sinfonie e ad al­
tre forme musicali.
Verso la fine del XVIII secolo la pra­
tica di costruire melodie per mezzo di
tabelle e di generatori di eventi ca­
suali,
un
come dadi
o
trottole,
passatempo popolare.
divenne
Maximilian
Stadler, un compositore austriaco, pub­
blicò nel
1779
un insieme di misure di
musica e una tabella con cui si pote­
vano comporre dei minuetti e dei trii
servendosi di dadi. Quasi contempora­
neamente uscì a Londra, presso l'edito­
tore musicale Welcher, un
c
sistema ta­
buIare per mezzo del quale una perso­
na priva della minima conoscenza di
mlL�ica può comporre diecimila minuet­
ti, i più corretti e piacevoli possibili,.
Simili opere anonime furono falsamen­
te attribuite a famosi compositori come
C.P.E.
stian)
Bach (figlio di Johann Seba­
c
a Joseph Haydn. Un matema­
tico di Glasgow, Thomas H. O"Seirne,
ha scoperto di recente che l'opera c0siddetta di Haydn
c
Gioco fialarmoni­
CO:l, edita a Napoli nel
1790,
è un
plagio. Le misure che contiene e la ta­
bella sono identiche a quelle di Stadler.
Una delle opere più famose tra quel­
le che spiegano come una coppia di
dadi possa essere usata
c:
per comporre
senl.:'\ la minima conoscenza della mu­
sica:l tanti valzer tedeschi quanti se ne
vuole, fu pubblicata per la prima volta
L"opera fu attribuita a Mozart, ma la
Kircher fu effettivamente costruito, nel
98
un libro in cui si descriveva un
ad Amsterdam c a Berlino nel 1792,
tro che di un insieme di regole combinatorie?
1739
voluminosi trattati di Kircher, il libro
aumentare
o diminuire con continuità l'altezza del
che
.�·itore sempre pronto di polacche e mi-
zioni interessanti e di assurdità. illustra­
o un calcolatore possa comporre una
confezione,
consiste
to con complicate incisioni raffiguranti
ra per mezzo della quale una persona
elegante
da I a
Ie la pena cercarli, anche s e ne trovo.
cerca di regole per l'invenzione di una
col titolo Gioco musicale di Mozart,
sistemato i"
copie di parti di questa opera sono
e da orchestre. Lo stesso sistema fece
ritmi esistono in linea di principio? Va­
semplice melodia. Vi è qualche procedu­
no ai metodi di composizione meccani­
diverse lingue. Nel 1806 uscì a Londra
strando la musica in modo che potesse
è un fantastico miscuglio di informa­
dei compiti estetici più modesti, la ri­
diosi di musica tedeschi si interessaro­
spiel. è stato ristampato varie volte in
anche in
Germania Occidentale, pubblicato dalla
allievo di
le variazioni di ritmo
non è questo il problema. Questi algo­
remo solo delle parti? Si consideri uno
All'inizio del XV11T secolo molti stu­
casa editrice musicale B. Scholt. Foto­
L'opuscolo di Mozart, solitamente in­
Johann Philipp Kirnberger,
za considerare
salis. sive ars magfla consoni et dissoni,
zio.
lege di Cambridge.
la sua apparizione nel
dicato col titolo Musikalisches Wiirjel­
gherese Alexander Laszlo lo riesumò
sentata con una lunga curva nello spa­
cisione per mezzo di una successione
conservato nel Pepys Museum presso
l'università di Pepys, il Magdalene Col­
1956
wekemeijer ad Amsterdam.)
rondò, hornpipe e ree/o A New York,
sius Kircher, un gesuita tedesco, pub­
playing una sinfonia è di fatto rappro.
è
sistema che produceva bassi numerati
Su un disco long­
:I
musarithmica mirifica:l,
ci. Lorenz Christoph Mizler scrisse nel
melodia. Molte di queste melodie saran­
musica! Il pensiero
Matematica
c:
è pari a quello delle parole di lO lette­
re ottenibili con otto lettere distinte
pemettendo ripetizioni di simboli. 11
numero è 810 = l 073 741 824, e ciò sen­
che producono in effetti variazioni di
c
chiamato
note, scelte tra l e oUo che compongo­
no un"ottava. Il numero delle melodie
Le arti come matematica combinatoria,
cher e possedeva una copia del suo li­
bro di musica. L'originale strumento,
un anno dopo la morte di Mozart.
maggior parte degli studiosi la ritiene
spuria, sebbene Mozart amasse i giochi
matematici e avesse lasciato degli ap­
punti che testimoniavano il suo intere.�­
se per le permutazioni musicali.
(Lo
stesso opuscolo fu stampato un anno
dopo a Bonn insieme a un'opera analo­
ga. anch"essa attribuita a Mozart, per
la composiz.ione di danze campagnole
o contraddanze. L'opuscolo di contrad­
danze fu ristampato nel 1957 da Heu-
FrOlllcspi:;io della MU8urgia Univehalis di Kircher (1650),
con Pitagora raOiguratQ iII lmuo a sini!lra.
99
preziosa fonte di notizie per la stesura
pore quando fu esposto a Parigi nel
Sembra
sia
transizione�. Queste ci fornjscono, per
un algoritmo per produrre .J,JDa sempli­
determinano le prime otto misure del
valzer. Una seconda tabella serve per
di questo articolo.
1824. Gli ascoltatori non riuscivano a
valso di questo sistema nella composi­
ogni nota, la probabilità che un insieme
ce melodia
capacitarsi dci fatto cbe la macchina
zione di Porgy and Bess. Nel 1946 Hei­
di due, tre o più note di una melodia
maggior parte degli uomini appartenen­
gli otto lanci successivi che completano
il pezzo di 16 misure. Le tabelle sono
ventati altri metodi meccanici per otte­
ognuna I l
numeri, i primi otto lanci
Agli inizi del XIX secolo furono in­
nere
Calegari,
Antonio
melodie.
compositore italiano, fece
un
di due
che
Gershwin
George
si
che sia piacevole,
per la
Furono
tor Villa·Lobos tradusse sulla base di
di Chopin sia seguito da quella nota.
ti a una certa cultura, quanto una del­
chiamati a investigare scienz.iati dell'ac­
questo sistema una silhouette costituita
Naturalmente si può anche tener conto
le
cademia di Francia.
dal profilo di New York contro il cie­
del tipo di melodia cbe si vuole com­
Non sappiamo ancora quale processo
lo in una composizione per pianoforte.
sue
suonasse
composizioni.
canzoni
loro tradizionali
popolari.
fatte in modo che il valzer inizi sulla
tonica, moduli alla dominante e quindi
dadi per comporre pezzi per pianoforte
Jl rapporto dj questi esperti stabiliva
porre, dei ritmi, della posizione di ogni
misterioso si
concluda di nuovo sulla tonica. Dato
e arpa. Il suo ljbro,
che riporta una
che c Quando questo strumento riceve
The
Musical
nota nel contesto della melodia, deUo
un compositore quando crea una bella
che tutte le misure elencate nell'ottava
colonna di ogni tabella sono simili, le
dC5crizionc del metodo, fu pubblicato
un tema variato, cbe l"inventore ha a­
Composition è un'opera in due volumi
schema genemle e di varie altre cose.
melodia. Non sappiamo nemmeno fino
a Venezia nel 1801 e più tardi tradot­
vuto tempo di fISSare con un procedi­
di L. Dowling e A. Shaw, pubblicata
In
undici
to in francese, The Melographicon, ope­
mento di sua invenzione, scompone da
da Cari Fischer nel 1941. In una nota
scelte casuali all'interno di una specifi­
sia legata
valori, compresi tra 2 e 12, ottenibili
ra anonima e non datata pubblicata a
sé le variazioni e riproduce le loro par­
a pagina 673 dell'eccentrica opera di
ca struttura generale, ma tali scelte so­
oppure
coi due dadi) sono disponibili solo per
Londra verso il 1805, porta come sot­
ti differenti secondo tutti gli ordini del­
Schillinger, Tlte Mathematical Basis 01
no soggette a regole e a vincolanti im­
si può dire in generale è che una bella
14 misure. Ciò permette al sistema di
comporre Iti" valzer, tutti con un di­
Una nuova opera musicale
le permutazioni possibili... Nessuna del­
,iI. Am (Philosophical Library, 1948),
poste dalle preferenze di transizione di
melodia è il risultato di una mescolan­
per mezzo della quale si può ottenere
le arie che varia dura più di un minu­
l'autore
a
za di schemi predici bili e di elementi
di melodie,
to; supponendo che le arie siano suo­
progetti di macchine che compongono
catena di Markov�, una composizione
di sorpresa. Quali siano le proporzioni
un numero così grande che ogni val­
mentre i giovani che amano la poesia
nate senza interruzioni una alla volta,
musica,
tuttavia
mediocre ma nondimeno straordinaria­
esatte e come si ottenga il miscuglio è
si
possono musica re i loro versi per voce
il principio di variabilità della macchi­
non è detto nulla
sulle loro caratte­
mente somjgliante alla musica di Cho­
tuttavia un problema insoluto per tutti,
suona è quasi sicuramente un valzer
e pianoforte, senza alcuna conoscenza
na è in grado di continuare a farla suo­
ristiche.
pin. Il calcolatore può sfornare veloce­
compresi i compositori.
udito prima. Se ci si scorda di
tecnica dell'arte della composizione. �
nare senza ripetere la stessa combina­
Negli anni cinquanta la teoria del­
mente varie centinaia di pezzi di questo
O'Beirne ha richiamato la mia atten­
scrivere le note sarà probabilmente un
Il Libro è diviso in quattro sezioni
0-
zione... per un periodo di tempo cosi
la informazione fu applicata alla com­
genere tra i quali si può scegliere il
zione sulla estrema somjglianza che in­
valzer che non si potrà più riascoltare.
gnuna delle quali sene per produrre
lungo che non può essere espresso nel
posizione musicale da J.
La prima registrazione a scopi com­
musica adatta a poesie dotate di un
linguaggio comune,
merciali di pezzi ottenuti con questo
metodo è stata fatta da O'Seime. La
certo schema metrico e ritmico. Non
più ardita metafora�.
l'esecu­
una misura dal gruppo A, una dal grup­
Baptiste
po B e così via fino all'ultima lettera
inglese di musica, c The Harmonicon�,
rava
deJralfabeto di quella sezione.
volume 2, pagine 40-41, 1824. La mac­
(çorrispondenti
scelte
Il
sapore
verso
zer
mai
agli
totitolo:
una
mozartiano. Si tratta di
dadi e che
che si genera coi
misure e
scelta casuale delle
progettato
mentale
calcolatore
lento
piccolo e
e
costruito
speri­
tra
inesauribile
quantità
Nella
il
42 del
Tavola
Oxford
Tlle
la
nemmeno con
Il rapporto, approvato dal fisico Jean
servono dadi. Si sceglie semplicemente
zione dci pezzo era opera di Solidac,
un
c
uso
china
Biot,
di
in una rivista
apparve
Winkel ispirò
inventore
un
1959 e il 1964 presso la ditta Barr e
Companio" IO Music compare la foto
viennese, Baron J. Giuliani, che costruj
Stroud di Glasgow, dove O'Seirne la­
di un gioco basato sul lancio dei dadi,
una macchina analoga il cui progetto
vorava allora come matematico capo.
senza menzione di
Fu
il
per
calcolatore
primo
suonare
pezzi
i
costruito
programmò
O'Beime
Scozia.
nel
in
Solidac
lasciato
aver
di
afferma
brevetto,
protetti da
dei
R. Pierce e
breve,
il
calcolatore
compie
delle
Chopin. Il risultato è una melodia
c
migliore.
verificbj nel cervello di
a che punto la bellezza. di una melodia
a
a
condizionamenti culturali
ereditari.
caratteri
Ciò
che
lercorre tra alcuni sistemi di composi­
zione musicale e il Buzz Phrase Gene­
altri. In un articolo pionieristico inti­
Esiste una letteratura in rapida cre­
tolato Illlormation Theory and Me/ody
scita sulla composizione per mezzo di
rator (si veda la figura di queste due
(c Scientific American" febbraio 1956)
calcolatore, non solo di musica tradi­
pagine). Si scelga a caso un numero
del chimico Richard C. Pinkerton figu.
zionale ma anche di un tipo di musica
di quattro cifre, per esempio 8751, e
c melodista
che sfrutti completamente l'abilità del
quindi
banale�. 11 lancio di una moneta serve
calcolatore nel sintetizzare suani suoni
della tabella A, la frase 7 della B e co­
un
chiamato
grafo
si
leggano in
fila la
fmse
8
determinare dei sentieri nella rete in
che non assomigliano ad alcun suono
sì via. 11 risultato è una proposizione
base ai quali si costruiscono semplici
produci bile coi normali strumenti mu­
SIMP
melodie per bambini. La maggior parte
sicali.
a
è monotona, ma Pinkerton ci ricorda
timbri
Microtoni,
strani,
ritmi
(Simplified
Prose),
c
Integrated
Modular
Aggiungete qualche altro nu­
suoni
mero di quattro cifre, - dicono le istru­
armonici non sono un problema. II cal­
zioni - e otterrete un paragrafo SIMP.
straordinariamente
complessi
e
dala, inventore o
è dettagliatamente esposto alle pagine
luogo di pubblicazione. Sembra che fac­
cia uso di 32 dadi con le facce segnate
198-200 dello stesso volume.
Nel 1865 un sistema di composizio­
colatore è uno strumento musicale uni­
Dopo che avete imparato i rudimenti
note, intervalli,
ne denominato il Melodista di Quadri­
Negli anni sessanta e agli inizi degli
versale. ln linea di pri.ncipio può pro­
della tecnica potrete realizzare tutta la
Vi
glie, inventato da J, Clinton, fu pub­
in
registro del
01
Sy:,·tem
Schillinger
indicare
modo da
che
A Tisket. a tasket� era quasi al­
c
trettanto monotona,
anni settanta la proliferazione dei cal­
durre qualsiasi tipo di suono che l'orec­
potenza del SIMP disponendo le tabel­
pubblicò un long-playing di valzer scel­
ti e contraddanze. TI disco non è più
il
blicizzato sulla rivista c Euterpiad�. Un
colatori e la creazione di raffinati sin­
chio umano sia in grado di percepire.
le nei vari ordini DACB, BACD, ADeB.
cui scopo, a quanto asserisce il sotto­
pianista, servendosi di un mazzo di car­
tetizzatori
nella
Inoltre un calcolatore può essere pro­
In questi casi occorre talvolta inserire
disponibile, ma O'Seirne ha promesso
titolo, è c difficile da penetrare�.
te da composizione, a una festa in cui
composiz.ione meccanica di musica. t
grammato in modo da suonare mentre
qualche virgola. �
possibile scrivere ora dei programmi di
compone.
clarino e nel
modulazioni
accordi,
1967 la Barr e Stroud
sono
anche
e
così
uominj
degli
via.
d'avorio
si
ballino
solo
potrebbe
quadriglie
di spedire una cassetta standard. con
Nel 1822 una rivista musicale di Bo­
due tracce registmle di mezz'ora l'una.
ston, c The Euterpiad�, pubblicizzò una
c mantenere allegra la serata disponen­
di musica prodotta da Solidac a ogni
macchina denominata Kaleidacousticon.
do di
lettore che spedisca $ IO al suo indiriz­
Usando delle carte da gioco come ge­
milioni di quadriglie�.
zo privato: 8 Rosslyn Terrace, Glasgow
neratore di eventi casuali poteva com­
GI2 9NB, Scotland. O'Seirne è autore
porre 214 milioni di valzer. JJ Compo­
della
di un ottimo libro di matematica ri­
nium, un organo a canne in grado di
creativa (Pllzz/es and Paradoxes, Oxford
comporre
In
parte,
2. un
3. Tuttavia,
3. la
4. Analogamente,
6. A
risultato necessariO,
Queslo
proposito,
7. BasandOli su considerazioni
di sonollstemi integrali.
8
Per esempio,
O. Rispetto
a scopi
specifici,
enter!
di
specifici
4. l'inizio dello sviluppo di un sOllosistema
critico
S. un programma
integrato
6. la
7
9. Ouindl,
informazione effeltiva
flusso coslante di
carallenzzazione
configurazione
Qualsiasi
elemento
8. l'incorporazione
9. un
di
prmciplo
prova
di
di
completamente
base
risultante
supporto
associato
di costrizioni addizionali
lunzionale
if'ldlpendente
O. un'lnterrelazione primaria tra tecnOlogie
del aistema eIa del sonosistema
Il Sl M P assomiglia molto alla vera
prosa tecnica, ma un esame più accura­
rozzi strumenti dei primi tempi. Suppo­
re l'articolo Computer Music, di leja­
to rivela che manca qualcosa. Le me­
niamo di voler comporre una melodia
ren A.
Hiller, Jr., c Scientific Ameri­
lodie prodotte dai calcolatori sono for­
matematico
che imiti quelle dj Chopin. Si esegue
can�, dicembre 1959, e il libro Expe­
se meno vuote, più vicine all'arte astrat­
nel
allora un'analisi, tramHe un calcolato­
rimenta/ Mus;c che Hiller ha scritto i n
ta e casuale del caleidoscopio, tuttavia
1943, pubblicò nel 1940 il suo sistcma
re, delle melodie di Cbopin in modo
collaborazione con Leonard M. Isaac­
anche in esse manca qualcosa di essen­
che il calcolatore immagazzini nella sua
son (McGraw Hill, 1959). Nel libro è
ziale (nessuno sa cosa). In realtà. una
memoria un insieme di c probabilità di
incluso il testo della loro prima grande
bella
composiz.ione per calcolatore, The Il/iac
difficile da comporre di un pezzo per
Suite lor String Quartet. Libri più re­
orchestra
centi sono Music by Compll/ers, curato
più recente, talmente appesantito da ca­
un
Joscph
modesto
repertorio di 428
Schillinger,
un
Columbia University
matematico di
morto
composizione
musicale
in un opuscolo intitolato K aleidopltone.
calcolo che vanno molto più in là dei
tabella SIMP D
,. deve utilizzare e legaral funzionalmente con
1.
2. l'anticIpalo allestimento della
generazione
•
3. aggiunge specifici limiti d'impiego per
4. la si che si consideri con urgenza
5
richiede una notevole Quanllt.è: di analisi
dei sistemi e di studi sugli scambi al Ime
di ottenere
6. si complica ultMiormente Quando si
prenda in considerazione
7. presenta dei problemi estremamente
Interessanti per
8. conduce a un significativo completamento
p"
9. limita ulteriormente nal suo impiego
Il Bu:: Phrase Cenemtor dl'lln lIofll'),It!I'lI l'l'r scrin;'re pro$(J modulare SemIJ/i/icu!a integrata (SI" P).
un
sofisticato
3. Il test di
hardware
compatibilità
Quarta
per il sottosistema
4. Il disegno strutturale, basato su tecniche
e concetti di mgegneria dei sistemi
5. II limite di Qualificazione
preliminare
8. l'evoluzione di specificazioni
�Iodo di tempo
su un dato
7. la filosofia dei sistemi e della
standardizzazione
8
un concetto plu
sforzo-premio
9. ogni
O. il
generale
del
metodo di configurazione
sistema
razionale
nel
suo
rapporto
discreta
complesso
melodia
semplice
nello
stile
è
molto
più
dell'avanguardia
W.
sualità o dissonanze che si finisce per
Seauchamp (Wiley. 1969) e Formaliz.ed
dire esitanti, come Mark Twain (o era
Music: Thought and Mathematics in
Composition Ondiana University Press,
forse Sill Nye?) di fronte alla musica
da
2. massimizza le probabilità di successo del
progetto e minimizza Il cosio e il tempo
richiesto per
O. riconosce l'importanza di altri sistemi
e rende indispensabile
100
era
1 lettori interessati possono consulta­
tabella SIMP C
1. gran parte del rapporto
coordinazione-comunicaZlone
particolare,
5. Come
inventato da
tabella SIMP B
tabella SIMP A
2. D'eltra
suonare, fu
M. WinkcJ di Amsterdam e fece scal-
University Press, 1965) ed è stato una
1.
c
nuova
una
aprì
Heinz
von
Foerster
e James
di Wagner: Sembra peggio di quel che è.
1971) di un compositore parigino di
Quando un calcolatore comporrà una
origine greca, Tannis Xenakis. Una Bi­
melodia popolare come (pensate al ti­
hlio1!raphy 01 E/ectron;c Music, compi­
tolo della vostra canzone preferita) vor·
riportante
rà dire che si sarà fatto un enorme pas­
lata
da
Lowell
M.
Cross,
1563 titoli, è stata pubblicata nel 1967
so in avanti. Accadrà mai? E quando?
dalla University of Toronto Presso
Gli esperti sono in disaccordo sulle ri­
Come possiamo concludere? I calco­
sposte, come sono in disaccordo nello
I:ltori sono certamente in grado di com­
stabilire
porre musica di qualità mediocre, che
scriverà una bella poesia, dipingerà un
non suscita emozioni e si dimentica fa­
bel quadro o
cilmente, anche
se
può assomigliare a
se e
quando
un
calcolatore
giocherà una panita
a
scacchi da maestro.
quella di un grande compositore. Tut­
Le soluzioni dei problemi combina­
tavia non si è riusciti a trovare finora
tori del mese scorso sono le seguenti:
101
L Le carte da l a 9 di tre semi van­
no disposte in fi l a in modo che, per
o­
lO.
ne solo quando n, il più alto valore di
soluzioni
risultati
nel trovare il minimo numero di carte
una carta,ha una radice numerica pari
sono presentati nel suo articolo conte­
che, in un insieme di cinque, devono
nuto
gni valore di carta k, vi siano esatta­
a l, 8 o 9 (vale a dire quando n è u­
mente k carte tra la prima e la secon­
gUide modulo 9 a
da carta di valore k e tra la seconda
il minimo
-I. O
I)
per
n
=
Questi
nel libro Combinatorial
Theory
e che 9 è
and its ApplicatiolJs: Volumes l, 2, 3,
per cui esiste una solu­
curato da Paul Erdos,A. Rényi e Vera
c la terza dello stesso valore. Le solu­
zione. Levine ha trovato soluzioni per
T. S6s (North-HoUand. 1970). Per que­
zioni
i tre casi successivi, corrispondenti a
sono
tre, senza
contare
quelle
ottenute invertendo l'ordine:
I,
I, 8,
n
9, I, 5,2, 6,7,2, 8, 5, 2, 9, 6,4,
=
IO.
11
17, 18
c
o
19, e ha formulato
la congettura che esistano soluzioni per
tutti i valori di n maggiori che soddisfa­
sto problema non è ancora stata trova­
ta una soluzione quando vi siano più
di tre duplicati di ogni valore.
2. La soluzione del problema di Da­
7, 5, 3, 8, 4, 6,3,9,7,4,3
no questa condizione.
vid
1.9. 1.2. 1,8,2,4,6,2,7,9.4.5.8.6.
nell'articolo On Generalil.ed Laflgford
di cuori i n modo che la somma di ogni
D. P. Roselle e T. C. Thomasson, je.,
J, 4.7. 5, 3, 9,6.8, 3,5,7
Sequellces,
apparso
sul
c
Journal
of
L. Silverman. consistente nell'ac­
coppiare ogni carta di picche con una
coppia sia un quadrato, è la seguente:
Combinatorial Theory:., volume 11, pa­
1-8. 2-2. J-Re. 4-Rcgina. 5-Fante. 6-10,
1.9. 1.6. 1,8.2,5,7,2,6,9,2,5,8,4.
gine 196-199, settembre, 1971. riportano
7-9. 8-1. 9-7. 10-6, Fante-5, Regina-4,
7. 6. J, 5, 4.9. 3. 8.7, 4, 3
una serie di risultati ottenuti col calco­
Rc-3. Come osserva Silverman, il 9, il
latore che confermano la mancanza di
lO c il Fante devono essere accoppiati
La
tCrL:a
soluzione è stata trovata
senza l'aiuto di un calcolatore nel 1966
soluzioni per
11 =
8 e la soluzione ot­
tenuta da Levine per
n =
9. Una ricer­
da Eugènc Levinc,ora matcmatico pres­
ca esauriente dei risultati per n
so la Adelphi University. La soluzione
n
con 7, 6 e 5. Ciò stabilisce sei accop­
piamenti. Dato che i due 6 sono stati
9 e
già usati, il 3 può accoppiarsi solo col
è stata fatla mediante calcola­
fu pubblicata nell'articolo The Existen­
tore da G. Baron, che ne ha riferito a
Re. Dato che i 5 sono già stati usati, il
4 si accoppia solo con la Regina. I tre
ce 01 Perlect 3-Sequences, c The Fibo­
una conferenza di matematica combi­
buchi restanti possono essere riempiti
nacci
natoria tenutasi in Ungheria nel 1969.
in un solo modo, il che prova l'unicità
108-112, novembre 1968. Levinc dimo­
Egli ha scoperto l e tre soluzioni per
della soluzione.
stra che per le triple esiste una soluzio-
n
Quarterly:t, volume
6, pagine
=
=
IO
=
9 che abbiamo presentato e cinque
3. 11 problema di Ransom consisteva
essere rivoltate per poter rispondere alla
seguente domanda:
Le carte col retro
colorato sono tutte matte? Si assegnino
alle carte che compaiono nella figura
del mese scorso le lettere da A a E. t
ovvio che D deve essere rivoltata per
SONO DISPONIBILI
I RAUOGLITORI
PER I VOWMI XIV E XV DI
LE SCIENZE
vedere se è una matta e che E deve es­
sere rivoltata per vedere se è una car­
ta col retro colorato. Ciò dà luogo a
quattro possibilità:
u,_ ..oI.u Ji
SCIENTIFIC
M1ERICAN
I) D è una matta, E ha il retro colorato.
2) D è una matta, E ha il retro nero.
3) D non è una matta, E ha il retro nero.
Questi raccoglitori coprono i dodici fascicoli del 1975,
rispettivamente quelli da gennaio (n.
(n.
83)
a dicembre (n.
88),
77)
a giugno (n.
fascicolo successivo all'ultimo numero di ciascun volume).
colorato.
Per i casi 2, 3 e 4 la risposta alta
domanda è negativa. Quindi non occor­
I
re voltare altre carte. Nel caso
la ri­
sposta è positiva, ma occorre un ragio­
namento
più
complesso
per
rendersi
Sono ancora disponibili i
raccoglitori dal VoI. VI
al VoI. XIII, e del raccoglitori
non numerati appositamente
approntati per sostituire
i primi cinque esauriti.
conto che rivoltando le altre tre carte
Prezzo di ogni
raccoglitore: L. 2.000
La carta B e irrilevante, perché ha il
retro
nero.
A nche
l'esame del
colore
del retro delle due matte è irrilevante.
I raccoglitori si possono
richiedere direttamente
Se il retro di una matta è nero, allora
all'editore usando l'apposita
la carta non c'entra con la soluzione
�ORK SET TO MlJ
NE��
SIC
del problema. Se il retro è colorato,
cartolina allegata a questo
aJlora
fascicolo e unendo il relativo
la
risposta
è
sempre
positiva.
importo; gli ordini infatti
Molta gente, quando si trova effettiva­
di carte.
vengono evasi solo a
viene presa da un così impellente de­
pagamento avvenuto.
mente di fronte a una
fila
siderio di controllare il colore dei dorsi
delle matte che solitamente risponde:
A. C. D. E.
Si potrebbe quindi rispondere che è
sufficiente rivoltare le carte D ed E per
risolvere il problema. Ma non è così!
Ricordate la storiella del mese scorso,
in cui un prudente logico, osservando
una pecora nera in Scoz.ia, ne conclu­
deva che in Scozia almeno una pecora
aveva almeno un fianco nero? Quando
qualcuno pensa di aver riso1to il pro­
blema, Ransom volta la carta B che
rivela un retro coloralo. Questo ovvia­
mente contraddice una rispo'\ta positi­
va. La soluzione esatta, quindi, è che
��.-- , .
,'t: I r r
��
CF E Il ,D
&1' Cl C E' I P E tlr" lE r'EO"ID U 'UUIE
e quelli da luglio
4) D non è una matta, E ha il retro
non si può contraddire questa risposta.
�1lT
82)
più l'indice semestrale (fornito insieme al
devono essere rivoltate le carte D. E
e B.
Ran�om conosce un secondo scheno.
suggeritogli dal suo amico P. Howard
N.B.
I raccoglitori di LE SCIENZE
si trovano ora anche presso
i seguenti punti di vendita,
sempre a L. 2.000 cadauno.
MILANO: Le Scienze S.p.A.
Via Visconti di Modrone 38
FIRENZE: Libreria Marzocco
Via De' Martelli 22/R
PADOVA: Libreri. Cortina
Vi. F. Marzolo 4
NAPOLI: Libreria Guido Alfredo
Via Port'Alba, 20/21
BOLOGNA: libreria Porolini
Via U. Bossi 14
ROMA: Claudio Aranci
Viale Europa, 319 (EUR)
PALERMO, Libreria Dante
Quattro Canti di CitU.
Lyons. Perché una persona occupata a
risolvere il
THE SKYLINE HAS rrs OWN MUSICAL PATTERN TRANSLATED
FROM SILHOUETTE TO MUSIC NOTES WITH THE HELP or
THE SCHILLINGER SYSTEM OF MUSICAL COMPOSITION
I,f, silhouette di New York tradotta in mu.sica dII riUfI·tobos per mezzo del sistemo. Sc/,Winger.
102
l'esatta
problema
formulazione
non
della
dimentichi
domanda
(c Le carte col retro colorato sono tut­
te matte?:.) Ransom la scrive su un
cartellino che viene collocato sopra la
fila di carte. Anche questo cartellino
va rivoltato per detenninare se il suo
retro è nero o colorato.
LE
SCIE
SClEN'f\F\C
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