Circuiti elettrici “stazionari”
Come facciamo a determinare le
correnti che fluiscono negli elementi
circuitali (resistenze) quando le
combinazioni di tali elementi
diventano più complesse (circuiti) ?
Cioè non possiamo “ridurre” ad
un’unico resistore equivalente le
resistenze presenti nel circuito.
Fisica II - Informatica
Leggi di Kirchoff
“I legge: dei nodi”
“La somma delle correnti che entrano
in nodo deve essere eguale alla somma
delle correnti che escono dal nodo
stesso."
Iin   I out
• Questa legge deriva dal principio di
conservazione della carica, valido in ogni nodo.
• Le correnti che entrano e escono dai nodi del circuito sono note
come “correnti di ramo”.
• Ciascun ramo deve avere una distinta corrente, Ii assegnata ad
esso
Fisica II - Informatica
Leggi di Kirchhoff
“II legge: delle maglie”
“La somma algebrica delle differenze di potenziale
rilevate su un circuito chiuso in un giro completo è nulla."
V
n
0
maglia
Muovendosi in
senso orario
sul circuito:
e1
I
e
+ 1
R1
- IR1
R2
- IR2
e2
e
- 2 0
• Questo è soltanto un altro modo per ribadire ciò che sapevamo:
la differenza di potenziale è indipendente dal cammino!
Fisica II - Informatica
Regola pratica
e- +
1
Muovendosi
sul circuito:
e
+ 1
I
R1
- IR1
R2
- IR2
+
e2 e
- 2 0
• Gli incrementi di potenziale sono positivi, le diminuzioni (“caduta”)
sono negative.
• Scegliamo una direzione ARBITRARIA per la corrente
percorriamo il circuito nella medesima direzione (p. es.).
e
• Se una batteria viene attraversata dal terminale negativo a quello
positivo, il potenziale aumenta, e quindi la tensione della batteria
entra nell’equazione con un segno +,
• Se il percorso scelto è tale da attraversare la batteria da (+) a (-)
V diminuisce ed entra nell’equazione con il segno -.
• Attraversando un resistore (resistenza), nel verso della corrente, il
potenziale diminuisce e quindi entra nell’equazione con un segno - .
Fisica II - Informatica
Regola pratica
invertendo il senso
della corrente, si
ha sulla maglia
+
- + I
e
- 1
- IR1
- IR2
e
+ 2
0
• E’ impossibile scegliere un verso del cammino “sbagliato”
(circuiti a più maglie). SE INVERTIAMO UN CAMMINO, SI
DEVONO CAMBIARE TUTTI I SEGNI NELL’EQUAZIONE.
Non vi è alcuna differenza nell’algebra !
• COMUNQUE, è possibile che nella soluzione una o più delle
correnti risultino NEGATIVE.
• Se questo accade, vuole semplicemente dire che la direzione
del flusso di corrente è in realtà opposto a quello del cammino
arbitrariamente scelto.
Fisica II - Informatica
R1
Esempio
b
a
f
I
I
d
c
V
n
R2
e2
e
R3
 0  - IR1 - IR2 - e 2 - IR3 - IR4 + e1  0
loop

R4
e1
I
e1 - e 2
R1 + R2 + R3 + R4
Se e1 < e2 , I sarebbe negativa, cioè
fluirebbe in senso orario, opposto al verso
di percorrenza scelto
Se invertiamo il verso scelto per I
 Vn  0  - IR1 - IR2 + e 2 - IR3 - IR4 - e1  0
loop

I
Fisica II - Informatica
e 2 - e1
R1 + R2 + R3 + R4
Se e2 < e1 , I sarebbe negativa, cioè
fluirebbe in senso orario, opposto al verso
di percorrenza scelto
Resistenza interna di un
dispositivo fem
• Qualunque dispositivo fem ha una resistenza interna.
Consideriamo una batteria reale.
• Applichiamo la legge di Kirchhoff alle maglie (senso orario)
e - ir - iR  0  i 
Fisica II - Informatica
e
R+r
R
Vab  e - ir  e
R+r
Potenza (elettrica) e
Dissipazione
• La potenza netta trasferita da un dispositivo fem ai
portatori di carica è data da
P  iV  i (Vb - Va )  i (e - ir )  ie - i 2 r
Definizioni:
Pfem  ie
potenza FEM :
Dissipazione interna di potenza:
P  Pfem - Pr
Fisica II - Informatica
Pr  i r
2
Conservazione dell’Energia !
Resistori in serie
I
Il potenziale “diminuisce”:
Va - Vb  IR1
R1
Vb - Vc  IR2
b
Va - Vc  I ( R1 + R2 )
Quando i dispositivi sono in SERIE, la
corrente che li attraversa è identica !
R2
a
Il circuito si riduce a :
Quindi:
Fisica II - Informatica
Req  ( R1 + R2 )
a
c
Req
c
Definizioni
 Nodo: giunzione di ALMENO tre rami di un circuito
 Maglia: percorso CHIUSO lungo un circuito elettrico
(punto iniziale e finale coincidenti).
Fisica II - Informatica
Come usare le leggi di Kirchhoff ?
R1
I3
I2
I1
(3)
e1
(2)
R2
e2
(4)
R3
• Analizzare il circuito, identificare tutti i nodi ed usare la I legge di K. (1)
I1 = I2 + I3 ovvero, al nodo inferiore I2 + I3 = I1 (solo una è indipendente)
• Identificare tutte le maglie indipendenti ed usare la II legge di K.
(2)
e 1 - I 1R 1 - I 2R 2 = 0
(3)
e 1 - I 1R 1 - e 2 - I 3R 3 = 0
(4)=(3-2) I2R2 - e 2 - I3R3 = 0
Fisica II - Informatica
Ma … solo due
sono independenti!
Come usare le leggi di Kirchhoff ?
R1
I3
I2
I1
e1
e2
R2
R3
• Risolviamo le equazioni per I1, I2, e I3:
troviamo prima I2 e I3 in termini di I1 :
I 2  (e1 - I1R1 ) / R2
dall’eq. (2)
I3  (e1 - e 2 - I1R1 ) / R3
Questo sistema funziona solo perchè le eq. 2 e 3
coinvolgono ciascuna solo due correnti. Nel caso
peggiore, sarà necessario risolvere simultaneamente tre
eq. lineari.
ora risolviamo per I1 usando l’eq. (1):
I1 
Fisica II - Informatica
e1
R2
+
e1 - e 2
R3
R R
- I1 ( 1 + 1 )
R2 R3
dall’eq. (3)
e1

R2
+
e1 - e 2
R3
I1 
R R
1+ 1 + 1
R2 R3
Resistori in parallelo
• Cosa fare?
V  IR
• I dispositivi in parallelo hanno la
medesima caduta di tensione
a
V
• Ma la corrente attraverso R1 non è I !
Chiamiamola I1. Analogamente, R2 I2.
II legge

V - I1R1  0
I
I1
I2
R1
d
V - I 2 R2  0
• Come si correla I a I 1 & I 2 ?
R2
I
I
a
La corrente si conserva !
V
I  I1 + I 2

V V V

+
R R1 R2
Fisica II - Informatica

1 1 1
 +
R R1 R2
R
d
I
Esempio 1
• Consideriamo il circuito in figura:
50W
a
Qual è la relazione tra Va -Vd e Va -Vc ?
b
I2
I1
(a) (Va -Vd) < (Va -Vc)
(b) (Va -Vd) = (Va -Vc)
(c) (Va -Vd) > (Va -Vc)
12V
20W
80W
d
c
• Rammentare che il potenziale è indipendente dal cammino !
• I punti d e c sono identici, elettricamente
Avendo assunto cd come un perfetto conduttore, i punti c e d sono
equipotenziali anche se questo esempio non è statico.
Fisica II - Informatica
Esempio 2
• Consideriamo il circuito in figura:
50W
a
b
– Qual è la relazione tra I1 e I2?
12V
20W
80W
d
(a) I1 < I2
•
(b) I1 = I2
I2
I1
c
(c) I1 > I2
Si noti che: Vb -Vd = Vb -Vc assumendo fili perfettamente conduttori
• Pertanto,
I1 (20W)  I 2 (80W)
Fisica II - Informatica
I1  4I 2
Riassumendo
• Resistori
in serie :
Req  R1 + R2 + R3 + ...
La corrente attraverso è identica; la caduta di tensione ai capi è IRi
• Resistori
in parallelo :
1
1
1
1

+
+
+ ...
Req
R1 R2 R3
La caduta di tensione ai capi è identica; la corrente attraverso è V/Ri
Fisica II - Informatica
Suggerimenti per risolvere i problemi
• Dato un circuito, analizzarne attentamente la topologia.
– trovare i nodi e ciascun ramo , selezionarne i sottoinsiemi
Linearmente Indipendenti.
– definire le correnti di ramo
• Usare la II legge di Kirchhoff per tutte le maglie
indipendenti nel circuito.
– la somma delle tensioni lungo queste maglie è nulla !
• Usare la I legge di Kirchhoff per tutti i nodi
independenti del circuito.
• Il numero di equazioni indipendenti necessarie deve
essere eguale al numero di correnti incognite !
Fisica II - Informatica
Amperometro e Voltmetro
Amperometro: strumento usato per
misurare correnti
• Deve essere connesso in serie.
• La resistenza interna di un
amperometro deve essere la più
piccola possibile.
Voltmetro: uno strumento usato per
misurare differenze di potenziale
• Deve essere connesso in parallelo.
• La resistenza interna di un voltmetro
deve essere la più grande possibile.
Fisica II - Informatica
Amperometro e Voltmetro
Amperometro: misura correnti
• connesso in serie: bisogna “interrompere” un ramo di circuito ed
inserire lo strumento.
• In pratica l’Amperometro è essenzialmente una resistenza di
“shunt” (di caduta) Rs molto bassa, inserita nel ramo del circuito,
con un voltmetro ad elevata “impedenza” connesso ai suoi capi
(dello “shunt”) che misura la corrente di “shunt” come
I = V/Rs
Voltmetro: misura differenze di potenziale
• La resistenza interna di un voltmetro deve essere resa la più
grande possibile rispetto alle resistenze presenti nel circuito dove
effettuare la misura.
• Se Rvoltmetro = 100 x Rj essa ridurrà il valore effettivo di Rj di circa
1% e perturberà il flusso delle correnti nella maglia e,
potenzialmente, anche in altre.
Fisica II - Informatica
Circuiti RC
I
a
I
a
I
I
R
C
e
RC
+ +
C
e
2RC
•
Ce1
R
b
b
RC
1
Ce
1
- -
2RC
Q
q  Cee - t / RC

f( x ) q
0.5
q  Ce 1 - e
00
0
Fisica II - Informatica
1
t
- t / RC

f( xq) 0.5
0.0183156 0
2
x
3
4
0
0
1
t
2
x
3
4
4
Circuiti non-stazionari
• Fin qui abbiamo trattato correnti costanti,
cioè circuiti in condizioni stazionarie
• Consideriamo adesso dei semplici circuiti in
cui la corrente varia nel tempo
• Calcolo Carica di un condensatore
attraverso una Resistenza
• Calcolo Scarica di un condensatore
attraverso una Resistenza
Fisica II - Informatica
Circuiti RC
• il condensatore è inizialmente scarico
• per t<0 l’interruttore S è aperto, non circola corrente
• per t>0 chiudiamo S, circola una corrente I: il campo elettrico della
batteria spinge gli elettroni verso la placca superiore di C e li rimuove
da quella inferiore
• non vi è passaggio di corrente tra le placche di C !!!
• il valore max di carica dipende dalla f.e.m., quando viene raggiunto
non circola più corrente
Fisica II - Informatica
Circuiti RC
I
a
• Carica di un condensatore:
I
R
C inizialmente scarico; chiudiamo
l’interruttore su a a t=0
Calcoliamo la corrente e la
b
+
e
C
carica in funzione del tempo.
• Legge maglia 
Q
e - IR -  0
C
È importante la posizione
di R nella maglia ?
• Convertiamola in una equazione differenziale per Q:
dQ
I
dt
Fisica II - Informatica

dQ Q
e R
+
dt C
+
Soluzione eq. differenziale (1° ordine)
dQ e
Q
 dt
R RC
dQ Q
e R +
dt C
Q
d (e / R - Q / RC )
 t  - RC 
 - RC
e / R - Q / RC
0
Q
t
dQ
0 e / R - Q / RC  0 dt
e / R -Q / RC

e
/R
dX
X
avendo posto X  e / R - Q / RC con dX  -dQ / RC
t
 ln X
RC
Q  Ce 1 - e
Fisica II - Informatica
- t / RC
e / R -Q / RC
e /R
e / R - Q / RC
 ln
e /R
dQ e - t / RC
 , i  dt  R e
Carica del condensatore
Carica su C
- t / RC

Q
Q  Ce 1 - e
Ce1
RC
2RC
1
2
f( x ) 0.5
Q
Max = Ce
63% Max a t = RC
00
0
costante di tempo
Corrente
dQ e -t / RC
I
 e
dt R
  RC
1
t
3
4
3
4
x
t/RC
1
f( x ) 0.5
I
Max = e /R
37% Max a t = RC
Fisica II - Informatica
0.0183156
0
0
1
2
t
Circuiti RC
• Scarica del condensatore:
I
a
C inizialmente carico
con Q=Ce
b
Chiudiamo l’interruttore su b
a t=0.
I
R
e
Calcoliamo la corrente e la
carica in funzione del tempo.
•
Legge maglia 
Q
IR +
0
C
• Convertiamola nella equazione differenziale per Q:
dQ
I
dt
Fisica II - Informatica

dQ Q
R
+ 0
dt C
+ +
C
- -
Soluzione
dQ Q
R
+ 0
dt C
Q
e
C
t
dQ
1
dt

Q
RC 0
t
Q
Q
 ln Q Ce  ln
RC
Ce
Q  Ce e
dQ
e -t / RC
i
- e
dt
R
- t / RC
Fisica II - Informatica
Conclusioni:
• il condensatore si scarica
esponenzialmente con costante
di tempo  = RC
• la corrente decade dal valore
max iniziale (= -e /R) con la
stessa costante di tempo
Scarica del condensatore
RC
Ce1
1
Carica su C
2RC
Q = C e e -t/RC
f( x ) 0.5
Q
Max = Ce
37% Max a t=RC
0.0183156
0
0
zero
01
dQ
e -t / RC
I
- e
dt
R
Q
Corrente
1
0
2
t
3
x
4
4
f( x ) 0.5
I
Max = -e/R
37% Max a t=RC
Fisica II - Informatica
-e /R0
0
1
2
t
3
4
Combinazioni di RC: quanto vale  ?
R
R
e
C 
  ( 2 R )   RC
2
C
C
R
 R
  ( 2C )   RC
2
R
e
C
C
Fisica II - Informatica
Riassunto
Carica
q  CV (1 - e - t / RC )
VR
R
+
e
-
C
S
++
--
VC
VR
Scarica
q  CV e
R
C
Fisica II - Informatica
V - t / RC
i e
R
++
--
VC
- t / RC
V - t / RC
i- e
R
Comportamento dei
Condensatori
• Carica
– Inizialmente, il condensatore si comporta come un filo (cond.).
– Dopo lungo tempo, il condensatore si comporta come un
interruttore aperto.
• Scarica
– Inizialmente, il condensatore si comporta come una batteria.
– Dopo lungo tempo, il condensatore si comporta come un
interruttore aperto
Fisica II - Informatica
Applicazione: il “flash”
Fisica II - Informatica
Esempio 1
• A t=0 l’interruttore è connesso in a nel
circuito in figura: il condensatore è
inizialmente scarico.
a
R
– A t = t0, l’interruttore è commutato dalla
posizione a alla posizione b.
– Quale dei seguenti grafici rappresenta
meglio la dipendenza dal tempo della
carica su C?
Ce1
Ce
1
2
x
t/RC
(c)
3
4
f( x )q
0.5
t
00
f ( x ) 0 .5q
Q
Q
Q
t01
C
(b)
f( x )q
0.5
0
2R
e
Ce1
(a)
00
b
0
t01
2
x
t/RC
3
4
t
00
0
t0
1
2
x
t/ RC
t
• Per 0 < t < t0, il condensatore si carica con costante di tempo  = RC
• Per t > t0, il condensatore si scarica con costante di tempo  = 2RC
• (a) costanti di tempo eguali nella carica e nella scarica
• (b) la costante di tempo di scarica t è maggiore di quella di carica 
• (c) la costante di tempo di scarica t è minore di quella di carica 
Fisica II - Informatica
3
Esempio 2
• Quanta energia è immagazzinata in C
nell’istante in cui i=2.0 mA. Assumere
q(t=0)=0, e=50V, R=5KW and C=40F
VR
R
e
C
VC
S
• Usiamo la corrente i per trovare
VR  iR  2  10-3 A  5  103 W  10V
Fisica II - Informatica
Esempio 2
VR
R
e
C
VC
S
 Usiamo la conservazione dell’energia
VC  e - VR  50V - 10V  40V
 L’energia immagazzinata nel condensatore C è:
1
1
2
U  CVC  40  10 - 6 F  (40V ) 2
2
2
U  32mJ
Fisica II - Informatica
Esempio 3
I1
e
C
I3
I2
R2
R1
Consideriamo il comportamento transiente (tempi brevi e
lunghi) di questo circuito.
• Comportamento a breve termine (t=0):
Inizialmente il condensatore agisce come un filo ideale. Quindi,
e
• Comportamento a lungo termine (t→∞):
il condensatore è un circuito aperto
Fisica II - Informatica
Esempio 3
Maglia 2
Qc
- I1 R1  0
• Maglia 1: e C
• Maglia 2:
e - I 2 R2 - I1R1  0
• Nodo:
I1  I 2 + I 3
I1
e
Maglia 1
I2
I3
C
R1
• Eliminare I1 in M1 e M2 usando l’equazione al nodo :
• Maglia 1: e -
Qc
 dQ

- R1 
+ I2   0
C
 dt

eliminare I2
 dQ

e - I 2 R2 - R1 
+ I2   0
 dt

e dQ

+
• eqn. differenziale finale :
• Maglia 2:
R1
Fisica II - Informatica
dt
Q
 R1 R2 

C
 R1 + R2 
R2
Esempio 3
Maglia 2
• eqn. differenziale finale :
dQ
Q
e
+

dt  R1 R2 
R1

C
 R1 + R2 
I1
e
Maglia 1
costante di tempo: 
combinazione del parallelo
tra R1 e R2
I3
C
I2
R2
R1

• Cerchiamo una soluzione del tipo: Q(t )  A 1 - e -t / 

– sostituiamo nella eq. per ricavare A e t
• I risultati devono obbedire alle condizioni iniziali e finali:
Fisica II - Informatica
 R2 
A  Ce 

 R1 + R2 
 R1 R2
 
 R1 + R2

C

Esempio 3
Maglia 2
• per quanto riguarda la scarica ?
I1
e
– Aprendo l’interruttore ...
• Maglia 1 e Maglia 2 non esistono!
• I2 è l’unica corrente
• una sola maglia
Maglia 1 C
ma
dQ
I2  dt
R2
R1
I2
e
Q
- I 2 R2 +  0
C
I3
I2
C
R1
costante di tempo diversa per la scarica
Fisica II - Informatica
R2
Riassunto
• Le leggi di Kirchoff si applicano anche ai circuiti
dipendenti dal tempo: si hanno equazioni differenziali !
• Soluzioni di tipo esponenziale
– dovute alla forma dell’equazione differenziale
• costante di tempo
 = RC
– cosa sono R e C ? → bisogna analizzare il circuito !
• con RC in serie la soluzione per la carica è
Q  Ce 1 - e
- t / RC
• con RC in serie la soluzione per la scarica è
Q  Ce e
Fisica II - Informatica
- t / RC

Riassunto
• Soluzioni di tipo esponenziale
– dovute alla forma dell’equazione differenziale
• costante di tempo
 = RC
– Quando il sistema raggiunge l’equilibrio ?
– è una convenzione: se diciamo che il sistema è in
equilibrio entro, diciamo, lo 0.1% del suo valore
asintotico (max o 0) della tensione (carica) di carica o
scarica
– diciamo quindi t = RC* ln(1/.001) = 6.9 
Esempio  = 10 F * 10 MW = 100 s
690 s per 0.1%
Se vogliamo una accuratezza di 1 parte per milione,
dobbiamo attendere più a lungo.
Fisica II - Informatica