Capitolo 2
Limiti e continuità
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
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Limiti e continuità
• Limite: concetto cardine alla base di
molte costruzioni del Calcolo
Differenziale.
• Esempi
• Definizione di limite
• Limite destro e sinistro
Iniziamo con alcuni problemi…
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Problema A (buona definizione delle
funzioni).
Abbiamo definito (con a > 0 base)
ar, r ∈ Q
ma se desideriamo calcolare ax, x∈ R?
Possiamo considerare una successione di
valori razionali {rk} sempre più vicini a x e
poi “osservare” se
ark si avvicina al valore y.
Possiamo definire y = ax, ma è una buona
definizione? Dipende dalla scelta della
successione di valori rk? Cosa significa
“vicino”?
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Problema B (Approssimazioni successive)
Calcoliamo l’area di un cerchio di raggio r approssimando tale
area
con l’area An di un poligono regolare inscritto con n lati uguali.
Abbiamo
An = nr2 sin(π/n) cos(π/n),
cosa possiamo dire di A.n al crescere di n? In simboli la
domanda
si scrive
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Sospettiamo (desideriamo) che
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Problema C (come andrà a finire?)
I grafici della retta di equazione y = x e
della funzione y = sinx passano per
l’origine O ≡ (0, 0).
Cosa succede al quoziente
Continua…
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Facciamo qualche prova numerica
Tabella 2.1: Esperimenti numerici per il calcolo di f(x)
= sin(x)/x per valori di x prossimi a 0.
Questi esperimenti dovrebbero condurre
alla deduzione (con scrittura ormai
chiara)
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Problema D (la tangente)
Cerchiamo la posizione della retta tangente al grafico
della parabola y = x2 nel punto P(1, 1)
approssimandola con rette passanti per P e per un
differente punto Q del grafico. Abbiamo Q(x, x2) e
indichiamo con mQ la pendenza della retta PQ. Per
esempio con Q(1.5, 2.25) si ottiene
Quello che vorremmo definire il “limite”
dove y = m(x - 1) + 1 è l’equazione della retta
tangente.
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Vedi figura lucido seguente…
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Una parentesi un po’ euristica ...
Come tradurre:
- vicino
- avvicinarsi
- Mentre x si avvicina a ... f(x) si avvicina a ...
Stare nelle
“vicinanze” ∼ stare in
un intorno
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Come si comporta f per valori di x
prossimi a x0?
Quali punti x0 considerare?
x0 punto di accumulazione (caso x0 ∈
R):
∀I(x0, r) con r > 0, ∃x ∈ dom(f) ∩ I(x0, r) \
{x0},
dove I(x0) = (x0 . r, x0 + r).
È importante la posizione di x0 rispetto a
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Personaggi:
• f funzione f : A → R;
• x0 ∈ R, punto di accumulazione di A.
Definizione (Usiamo gli intorni) Diremo che
,
con L ∈ R, quando per ogni intorno I(L;),  > 0, esiste un
intorno I(x0; δ), δ>0, tale che se x ∈ I(x0; δ)\{x0}, x ∈ dom(f),
allora f(x) ∈ I(L; ).
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Graficamente dovremmo aver intuito ma per fare i
“conti”?
Dobbiamo descrivere un intorno.
• Che cosa significa “... per ogni intorno I(L; )...”?
– Significa che possiamo scegliere
arbitrariamente.
• Che cosa significa “... esiste un intorno I(x0; δ)
...”?
– Significa che possiamo determinare un δ > 0
tale che l’intorno I(x0; δ) sia adeguato.
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Il gioco consiste in botta-risposta, qualcuno
gioca un intorno I(L;) e noi dobbiamo essere
in grado di rispondere con un intorno I(x0; δ).
Attenzione: basta una
strategia/scelta/metodo/... per un intorno I(x0;
δ), non è detto che sia unico, anzi ... ne basta
comunque uno.
Definizione (Notazione -δ) Diremo che f
tende al limite L ∈ R (o che converge ad L)
per x che tende ad x0 se ∀ > 0 si può trovare
un δ > 0 tale che
Esercizio, si dimostri, attraverso la definizione,
che
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Proprietà fondamentali:
• il limite (quando c’è) è unico;
• il limite è compatibile con le
operazioni aritmetiche, per esempio se
con L1, L2 ∈ R, allora
Vedi figura lucido seguente…
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Non sempre i limiti esistono.
Consideriamo la funzione (funzione
segno) definita per x  0,
non esiste il limite
Infatti in ogni intorno di x0 = 0 vi sono
punti
x e punti x tali che
sign(x) =-1, sign(x) = 1.
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Se invece conosciamo alcuni limiti altri si possono
dedurre tramite il
Teorema (di compressione o dei due
carabinieri). Se f, g, h : A → R, x0 punto di
accumulazione di A,
g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) per x ∈ dom(f) \ {x0}, 0 <| x x0| < r per un certo r > 0, e se
allora
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Estensioni del concetto di limite
Vi sono vari modi per estendere il concetto
di limite, noi considereremo le seguenti
estensioni,
• limite destro, limite sinistro (ciò quando x
tende a x0 solo da “un lato”);
• limiti all’infinito (quando x diventa
arbitrariamente grande, positivo o
negativo);
• limiti infiniti (quando f diventa
arbitrariamente grande, positiva o
negativa).
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Alcune funzioni continue
• lineari, quadratiche;
• funzioni polinomiali;
• funzioni trigonometriche elementari;
• funzioni esponenziali e logaritmiche.
Non sempre la verifica è immediata
(tramite le operazioni aritmetiche
elementari). Esempio di strumento utile.
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Funzioni continue in un intervallo:
possiamo disegnare il grafico “senza
staccare la matita dal foglio”
Consideriamo,
(I1) f : [a, b] → R, con a, b ∈ R;
(I2) f continua in ogni punto x ∈ [a, b].
In viaggio dal punto (a, f(a)) al punto (b, f(b)),
dobbiamo attraversare almeno una volta
punti con ordinata intermedia tra f(a) e f(b).
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