Differenziale
di una funzione
A cura del prof. Enzo Tonti
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Differenziale di una funzione: 2 di 11
Consideriamo una funzione
Fissato un valore della variabile indipendente x consideriamo un incremento
e valutiamo l’incremento della funzione
definito dalla espressione
Ci proponiamo di far vedere che tale incremento si può scomporre in due parti:
a) una parte lineare nell’incremento della variabile
b) una parte non lineare.
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Differenziale di una funzione: 3 di 11
Per comprendere il senso di questa scomposizione
tracciamo il grafico della funzione.
Si vede che l’incremento della funzione si decompone
nella somma di due parti
(segnate in verde e in rosso rispettivamente)
y
x
x
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Differenziale di una funzione: 4 di 11
La quantità dy si può scrivere nella forma:
Mentre la quantità h, in generale,
dipende sia da x che da Dx in modo nonlineare:
x
x
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Differenziale di una funzione: 5 di 11
Quindi la quantità Dy si può scrivere nella forma:
x
x
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Differenziale di una funzione: 6 di 11
Quando Dx diminuisce anche dy e h diminuiscono.
Dalla figura ci si rende conto che dy tende a zero con la stessa rapidità di Dx
mentre h tende a zero più rapidamente di Dx.
Infatti, quando Dx tende a zero, il limite del rapporto
tende ad un numero finito, in generale non nullo,
mentre il limite del rapporto
tende a zero.
x
x
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Differenziale di una funzione: 7 di 11
Quindi dy, che è la parte lineare dell’incremento,
ha lo stesso ordine di infinitesimo di Dx.
Per questa ragione dy si chiama differenziale della funzione nel punto x.
Definizione:
il differenziale di una funzione
è la parte lineare del suo incremento.
Detto in altre parole:
l’incremento di una funzione
si può decomporre nella somma di due parti:
l’una è lineare nell’incremento della variabile,
e ha lo stesso ordine di infinitesimo
dell’incremento della variabile,
l’altra è nonlineare
e ha ordine di infinitesimo superiore
all’incremento della variabile.
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Differenziale di una funzione: 8 di 11
Il differenziale di una funzione è quindi dato dal prodotto
della derivata della funzione
per l’incremento della variabile.
In particolare se la funzione è la variabile indipendente stessa,
poiché la derivata di x è 1 si ha
dx = 1 Dx
per cui il differenziale della variabile indipendente x,
considerata come funzione di se stessa, uguaglia l’incremento della variabile.
Pertanto la relazione
si può scrivere
Avendo introdotto il differenziale ne viene che la derivata,
che è il limite di un rapporto
è uguale al rapporto tra il differenziale della funzione
e il differenziale della variabile indipendente.
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Differenziale di una funzione: 9 di 11
L’interesse del differenziale sta nel fatto che nella fisica,
e di conseguenza nella tecnica,
quando dobbiamo calcolare le “piccole” variazioni di una funzione
in corrispondenza a “piccole” variazioni della variabile
possiamo limitarci alla parte lineare dell’incremento.
Così nella equazione di stato di un gas perfetto
se variamo il volume varia anche la pressione.
La relazione esatta tra le due variazioni è:
Se ci limitiamo a piccole variazioni, possiamo usare la parte lineare
dell’incremento, ovvero il differenziale, ottenendo la relazione
approssimata:
che, nella pratica, differisce di poco da quella esatta.
Questa relazione, sebbene approssimata, è assai più immediata da ottenere
in quanto basta moltiplicare la derivata della funzione
per l’incremento della variabile.
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Differenziale di una funzione: 10 di 11
In conclusione nella fisica il differenziale costituisce uno strumento
molto semplice (basta fare una derivata)
per valutare in modo approssimato
le piccole variazioni che una funzione subisce
in conseguenza
di piccole variazioni date alla variabile.
L’approssimazione è conseguenza del fatto che
invece di calcolare la variazione della funzione
ci si limita a calcolare la parte lineare di tale variazione.
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Differenziale
di una funzione
Bibliografia.
Francesco Severi, Lezioni di Analisi, vol. 1, Zanichelli 1941,
pagine 210-212.
Francesco Tricomi, Lezioni di Analisi Matematica, Cedam, 1956,
pagg.168-172; 186-189.
fine
(a cura del prof. Enzo Tonti)
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