TEORIA DEL CONTROLLO
Anno Accademico 2010/2011
Secondo Semestre
MAT/05 Analisi Matematica
Fabio Bagagiolo
Cos’è un Problema di Controllo
Un problema di controllo, in generale, consiste in una relazione
“input-output” che ad ogni ingresso (input) fornisce un’unica uscita
(output).
Gli ingressi ammissibili sono detti “controlli” e la loro scelta è a
disposizione di un “controllore esterno” che, esercitando tale scelta,
cerca di ottenere una risposta desiderata.
Problemi di questo tipo sorgono in modo naturale nelle scienze
applicate, dall’ingegneria alla finanza, dalla biologia all’economia.
Tipicamente i sistemi di cui ci si occupa sono “evolutivi”, cioè il loro
stato dipende dal tempo. Quindi anche i controlli dipendono dal
tempo e possono essere pensati come “strategie” a disposizione del
controllore per guidare in maniera opportuna l’evoluzione del
sistema.
Principalmente ci occuperemo di sistemi la cui evoluzione è
descritta da un sistema di equazioni differenziali ordinarie. Il
controllo consiste allora nella scelta di eventuali parametri che
entrano nelle equazioni.
Un esempio: Atterraggio Soffice
sulla Luna
Supponiamo di essere ai
comandi di una navicella
spaziale che deve
atterrare sulla luna.
L’atterraggio deve essere
soffice (“soft” in inglese),
cioè dobbiamo arrivare al
suolo lunare con velocità
nulla, altrimenti ci
schiantiamo al suolo.
Supponiamo di avere a
disposizione (il controllo)
la forza propulsiva della
navicella verso l’alto.
Modello analitico
h altezza dal suolo lunare
v velocità scalare verticale
m massa della navicella
g modulo accelerazione gravità lunare
a forza propulsiva rivolta verso l’alto (a nostra
disposizione).
Lo stato del sistema (h,v) è descritto dalle
equazioni
h’(t) = v(t),
v’(t)=-g+a(t)/m
Scopo
Partendo da un dato iniziale (h(0),v(0)), lo
scopo è quello di determinare una
strategia propulsiva a(t) (il controllo) in
modo tale che, ad un certo istante T, si
abbia (h(T),v(T))=(0,0), ovvero che
l’atterraggio soffice sia avvenuto.
Domande
(controllabilità) Esistono controlli a che mi permettono di
atterrare in modo soffice?
(controllo ottimo) Esiste un controllo che mi fa atterrare
in modo soffice nel minor tempo possibile? Oppure
consumando minor carburante possibile? (il consumo di
carburante può essere proporzionale alla forza
esercitata, e quindi ci vuole una terza equazione nel
sistema).
(controllo feedback) E’ possibile fare in modo che la
navicella si controlli automaticamente? Questo
significherebbe determinare un controllo a(t,h,v) che ad
ogni istante “legge” lo stato (h,v) e si corregge
opportunamente per raggiungere lo scopo.
Scopo del corso
Il nostro scopo principale sarà quello di
studiare da un punto di vista analitico
(matematico) problemi di controllo e di
fornire risultati alquanto generali da poter
essere applicati poi a svariati casi concreti.
Prerequisiti
E’ consigliato avere seguito il corso
Equazioni Differenziali Ordinarie.
Il corso Analisi Matematica VI può essere
d’aiuto, ma non è indispensabile.
Ad ogni modo molti concetti necessari
saranno introdotti durante il corso stesso.
Sito web
Ulteriori informazioni si possono trovare
alla pagina
http://www.science.unitn.it/~bagagiol/infocorsocontrollo.html
Post Scriptum
Le lezioni si svolgeranno in modo
tradizionale: gesso bianco e lavagna nera.