La Lagrangiana del
Modello Standard
studiata pezzo per pezzo
Lezione 9
riferimento al capitolo 7 del Kane
L ferm 
 fi

f  L ,eR ,QL u R , d R
D f
i 
a 
Y 
D    ig1 B  ig 2 Wi  ig 3 Ga
2
2
2


i  1,2,3
  1,2....8
gi ,i 1,2,3
coupling costants
Studieremo pezzo per pezzo la Lagrangiana elettrodebole, per
connetterla ai dati sperimentali. Per quanto riguarda SU(2) ci
limiteremo ai leptoni: dato che le “etichette di colore”  dei
quark non operano negli spazi U(1),SU(2) i quarks si
comportano come i leptoni per U(1),SU(2)
La Teoria Elettrodebole
U(1)
YR  
 YL  

 Lag ferm U (1), leptons   L i  ig1 B  L  eR i  ig1 B eR
2
2





Y potrebbe avere valori diversi per diversi fermioni: abbiamo
separato le variabili YR,YL.
In SU(2) L è un
doppietto,mentre g1YB è



L

L





e

eL
un numero,quindi
L
L
L
 


g1
Lag ferm U (1), leptons  
YL  L  L  eL  eL  YR eR  eR B 
2
Dobbiamo scrivere anche la parte di SU(2),che contiene termini
che coinvolgono le stesse particelle,prima di capire la fisica che c’è
sotto
La Teoria Elettrodebole
SU(2)
 

 Lag ferm SU (2), leptons   L i   ig 2 i Wi  L
2


W3 W1  iW2 
 L 
g2 
 
 
  L eL  

2 
 W1  iW2  W3  eL 


convertendo le Wi con le stesse convenzione viste per il  (strong-isospin)

  W

/
W    W 1  iW 2 / 2 ,
W
1
 iW 2
W0 W3
2,

g2 
 L
2 
g2 
  L
2 

W0  2W 
 L 
 
 
eL  

   2W  W0  eL 


W0 L  2W eL 

 
eL  


0
   2W  L  W eL 


g2

 L  LW0  2 L  eLW  2eL  LW  eL  eLW0
2

Questi 7 termini sono il
contenuto leptonico della
lagrangiana dei fermioni
 


g1



YL  L  L  eL eL  YR eR eR B
2

g2

 L  LW0  2 L  eLW  2eL  LW  eL  eLW0
2
SONO CONSISTENTI CON I DATI SPERIMENTALI?

Lagrangiana
elettromagnetica di
particelle di carica Q

Lag em  QA eL  eL  eR  eR
nella Lagrangiana elettrodebole abbiamo dei termini simili.
Come dobbiamo combinarli?
bisogna vedere quali termini contengono il neutrino e
eliminare l’interazione e.m
i termini del neutrino
g2 0  
 g1

  YL B  W  L  L
2
 2

g1=g2=0 renderebbe inutile tutto il lavoro fatto fin qui.

corrente neutra
le considerazioni che seguono ci
porteranno a scoprire che esiste in
natura un nuovo tipo di interazione
lacorrente debole neutra
proviamo a definire il campo e.m. A come  g1
g2 0 

una combinazione di B e W0, ortogonale a   2 YL B  2 W 


A  g 2 B  g1YLW
0

Se B e W0 sono campi ortogonali e normalizzati ,
se chiamiamo Z il coefficiente di



 L  L
Z   g1YL B  g 2W
0

Z è ortogonale ad A (dato B e W sono campi ortogonali e
normalizzati)
A e Z ortogonali  non c’è interazione e.m. con il 
la corrente neutra
conviene normalizzare A e Z in modo tale che seWi e B
sono normalizzati all’unità, lo siano anche A e Z
il coefficente del
neutrino
A

g B

Z

gY B

2

 g1YLW0
g 22  g12Y 2 L
1 L

 g 2W0
g 22  g12Y 2 L
Z è una nuova interazione


abbiamo sistemato il
neutrino
ritorniamo ora agli elettroni
i termini diagonali
g
 g

 g

eL  eL  1 YL B   2 W0   eR  eR  1 YR B  
dell’elettrone in U(1) e
2
 2

 2

SU(2)

g 2 B   g1YLW0 

g 2 A   g1YL Z 0 
A 
B 
Ricaviamo
B
2
2 2

2 2
2
g 2  g1 Y L
g

g
0 dalle
1Y L
2
e
W

0


g1YL B   g 2W0  equazioni di A

Z
g

A
Y
g


Z 
2 
1 L
0
W 
g 22  g12Y 2 L
e Z
g 22  g12Y 2 L

 ggY


 
g
g
Y


1 2 L
1 2 R
  eR  e R 

 A eL eL 
2
2 2
2
2 2
 g 2  g1 Y L 
 2 g 2  g1 Y R  


 g 21Y 2 L  g 2 
 g 21Y Y
 


2
R L
  e R  eR 

 Z  eL eL 
2
2 2
2
2 2
 g 2  g1 Y L 
 2 g 2  g1 Y R  

sostituiamo B
eWe
ricaviamo i
termini
dell’elettrone
in funzione di
A e Z
Questa teoria contiene la normale interazione e.m per elettroni e
neutrini (nulla), ma in più ha una interzione addizionale di
corrente neutra con Z sia per elettroni che per neutrini.

 ggY




1 2 L
  eR  e R 
 A eL eL 
2
2 2
 g 2  g1 Y L 
 2


 g 21Y 2 L  g 2 



2
  e R  eR 
 Z  eL eL 
2
2 2
 g 2  g1 Y L 
 2

 

2
2 2
g 2  g1 Y R  
 
g 21YRYl

2
2 2
g 2  g1 Y R  
g1 g 2YR
A deve
essere
l’interazio
ne e.m.
QED

Lem  QA eL  eL  eR  eR
Q  e 
e 
Questa teoria contiene
la normale interazione
e.m per elettroni e
neutrini (nulla), ma in
più ha una interzione
addizionale di
corrente neutra con
Z sia per elettroni
che per neutrini.
c’è solo la
combinazione
g1YL. quindi
possiamo
porre YL=-1

g1 g 2YL
g 22  g12Y 2 L
g1 g 2YR
2 g 22  g12YL2
YR  2YL ;
 g 2  g 2Y 2 L
1
YL  e  2
g1 g 2

e
g1 g 2
g 22  g12




Electroweak mixing angle
definiamo
e
sin  w 
g1 g 2
g1
g g
2
2
2
1
, cos  w 
e / 4  1 / 137
2
g g
2
2
Angolo di Weimberg
2
1
e
g1 
;
sin  w
Questo angolo è
stato misura to
ed è
g2
g g
2
2
2
1
,
(Unita naturali )
e
g2 
cos 
sin  w  0,23
corrente neutra

Abbiamo scoperto un nuovo tipo di
interazione. Esaminiamo i nuovi
coupling per elettrone e neutrino al
nuovo campo Z.
g 22  g12
g2


Z  L  L  
Z  L  L
2 cos  w
2
Forza del coupling elettrodebole: se c’è un vertice di interazione
-Z, possiamo sempre associarvi una forza, che possiamo
pensare come una carica elettrodebole
e
corrente neutra

 2
2
   g 1  g2
Z  eL eL
2
2

2
g

g

2
1

 2
2
g
1  g2

 2 g 22  g12


  g 21  
  eR  eR 


 g 22  g12  



e
 1
2 

   sin  
 sin  w cos  w  2


  g 21 
e


 sin 2 
 g 22  g12  sin  w cos  w

entrambi questi termini
possono essere scritti:



e
f
2
T3  Q f sin  w 

 sin  w cos  w



Abbiamo scoperto un nuovo tipo di
interazione, anche per l’elettrone.
L’interazione dell’elettrone 
nuovo campo Z.
corrente neutra



Z  eL eL  eR eR



e
f
2
T3  Q f sin  w 

 sin  w cos  w



quale è il significato fisico di questi termini?
e
Che cosa significa
► Tf 3

e
T3 f  Q f sin 2  w
sin  w cos  w
è l’autovalore di T3 che è il generatore
diagonale di SU(2), analogo a Jz, per
qualsiasi fermione
► f singoletto Tf3 =0.
► f doppietto Tf3 =+1/2,-1/2
► Qf è la carica elettrica dei fermioni (Qe=-1
Qd=-1/3 ,=0....)

Significato fisico
►É
possibile interpretare la teoria elettrodebole, così
che contenga la interazione elettromagnetica solita
più una nuova particella, tipo-fotone, la Z0, che
interagisce con ogni fermione che ha carica e.m Qf
o weak-isospin Tf3 diversi da 0
► Questa nuova interazione è chiamata di corrente
neutra
► In questa trattazione la Z0 ha massa nulla,come il
fotone. Vedremo come assegnare una massa ai
bosoni di gauge.