Orario
giorno
ore
materia
Martedì 8-10-02
14-17
Statistica
Martedì 15-10-02
14-16
Statistica
Martedì 22-10-02
14-16
Probabilità
Martedì 29-10-02
14-16
Probabilità
Venerdì 8-11-02
14-17
Probabilità
Bibliografia
Saggi curati da L.Bazzini,A.Pesci,M.Reggiani e altri.
Statistica e Probabilità, su L’insegnamrnto della
matemattica e delle scienze integrate Centro Ricerche
Didattiche “Morin”, Collana di formazione professionale,N°4
A.Pesci, M.Reggiani Statistica e Probabilità. Una proposta
didattica per la scuola media,Torino, S.E.I
Motivazioni
Motivazioni a favore dell’introduzione dell’insegnamento della statistica e della
probabilità nella scuola primaria:
• i metodi statistici e probabilistici hanno continuamente assunto maggiore importanza
nelle scienze sia naturali che umane;
• modelli statistici e probabilistici sono ormai fondamentali nelle ricerche sperimentali
della fisica, della biologia, della medicina etc.;
• nella opinione pubblica e nel linguaggio degli strumenti di comunicazione di massa
sono presenti spesso pregiudizi e idee distorte riguardanti ad esempio inchieste, oppure
vengono spesso scelti campioni inattendibili;
• i metodi statistici e probabilistici diventano sempre più strumenti di cultura, cioè
strumenti che aiutano ad analizzare, comprendere, descrivere la realtà che ci circonda;
• ci si trova sempre più in situazioni di incertezza in cui è necessario esprimere giudizi,
fare previsioni, prendere decisioni. Tutto ciò può essere fatto meglio dopo una analisi
razionale delle situazioni di incertezza e dopo una valutazione ponderata delle
informazioni possedute;
• le attività di carattere probabilistico e statistico si intrecciano continuamente con
concetti aritmetici e geometrici dei quali possono essere un nuovo modello, rispetto a
quelli tradizionali o una significativa applicazione o un interessante sviluppo.
•(Da :”L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate”Collana di
formazione professionale,N°4 “statistica e Probabilità .A cura di M.Ferrari)
Obiettivi del lavoro di Statistica
• far acquisire ai ragazzi la capacità di leggere correttamente i tipi
di grafici più diffusi;
• far conoscere gli indici statistici più utilizzati e confrontarli
criticamente;
• far capire ai ragazzi la necessità che in un’indagine si operi su
campione;
• renderli consapevoli delle difficoltà connesse all’uso del metodo
di un’indagine su campione sia per la sua dimensione sia per la
sua comprensione;
• far comprendere il significato del termine “correlazione” e far
acquisire senso critico nei confronti di alcune sue interpretazioni;
• utilizzare nell’ambito della statistica semplici strumenti di
geometria analitica e recuperare altri contenuti della matematica:
percentuali, frazioni, calcolo approssimato;
I contenuti
Lettura e rappresentazione di dati statistici. Raccolta e ordinamento di
dati mediante tabelle, istogrammi, grafici
Introduzione dei concetti di moda e mediana ( quantili) ed esempi
significativi
Percentuali, variazioni percentuali. Problemi.
Frequenze relative e concetto di media. Riesame dei concetti di moda,
mediana e loro confronto critico
Campione statistico:alcune considerazioni critiche
La correlazione statistica
Familiarizzare
con tabelle e grafici
E’ importante che gli alunni familiarizzino con tabelle e grafici
Prima di saper costruire un grafico è opportuno saperlo leggere
con occchio critico
È necessario tenere presente che una rappresentazione grafica ha
lo scopo di far cogliere a colpo d’occhio alcune caratteristiche di
un fenomeno, che privilegia alcune notizie tralasciandone altre e
che quindi, in alcuni casi, richiede una lettura molto attenta.
Bisogna far nascere il desiderio di saper interpretare
correttamente i risultati di inchieste già svolte
Importante è la lettura critica dei grafici
Come raggiungere gli obiettivi
Si richiede di:svolgere una prima indagine statistica (la
materia o lo sport preferiti)
rielaborare in modo efficace i dati raccolti, utilizzando
opportunamente gli indici statistici
Per confrontare i risultati ottenuti da una stessa inchiesta
su popolazioni diverse è del tutto naturale il passaggio
dall’uso delle frazioni all’uso delle percentuali.
Si può cogliere l’opportunità di far notare la relazione
esistente fra frazioni, decimali e percentuali.
Si può anche avviare il discorso dell’ approssimazione:
Passando dalla frazione alla percentuale si può, ad
esempio, quando occorra, troncare (o arrotondare) il
quoziente alla seconda cifra decimale. (Senza la
preoccupazione che la somma delle percentuali dia in
generale un intero).
La moda
Si introduce come primo indice statistico la moda
Si riflette che, in questa indagine, il termine “dato” non si riferisce
sempre ad un numero
Una prima indagine
Scrivi la materia che preferisci tra le materie scolastiche indicate alla
lavagna e lo sport che più ti piace tra i seguenti:
automobilismo
atletica
calcio
ciclismo
motociclismo
nuoto
pallacanestro
pallavolo
sci
tennis
Per rispondere utilizza la parte finale della scheda
Materia scolastica preferita..........................................
Sport preferito.......................................
Scheda 7
Quale delle materie gode di maggior popolarità nella tua classe?
La materia che gode di maggior popolarità è quella che si presenta
con maggior frequenza.
Il dato che si presenta con maggior frequenza si chiama moda
2) Qual è la moda nel caso degli sport?
3) Pensi che indagini di questo tipo potrebbe capitare di trovare due
mode? E più di due?
4) Quando si usa il termine moda nel linguaggio comune?
Scheda 12
Sport
automobilismo
atletica
calcio
ciclismo
motociclismo
nuoto
pallacanestro
pallavolo
sci
tennis
Nostra
classe
Altra
classe
La seguente
tabella riporta i
voti ottenuti dagli
sport nella nostra
classe e in
un’altra classe
1) E’ più
popolare....nella
nostra classe
o...... nell’altra?
2)qual è la
percentuale dei
voti avuti
da.....nella nostra
classe?
Nell’altra?
Ordinare i dati
Per poter studiare i dati e poter ricavare delle informazioni
nasce la necessità di poterli ordinare
Seconda indagine riguardante il numero di scarpa di ciascun
alunno
Organizzare opportunamente la raccolta dei dati numerici:
esempio per fila di banchi o in ordine alfabetico
I dati raccolti devono essere ordinati
Far cogliere la diversità che c’è di scegliere un ordine prima di
iniziare la raccolta dei dati e quella di ordinarli
Costruzione istogramma relativo all’inchiesta svolta
Scheda17
1) Calcola la percentuale di alunni che
hanno il numero .........di scarpa
2) Riferendoti alla tabella della scheda 16,
calcola quale percentuale di ragazzi ha il
numero ....di scarpa e quale percentuale
di ragazze ha lo stesso numero.
Confronta i valori ottenuti.
3) Per ogni numero di scarpa calcola le
percentuali degli alunni rispetto al totale
e mettile in graduatoria.
TERZA INDAGINE
1.35
1.43
1.48
1.35
1.37
1.38
1.38
1.40
1.42
1.42
1.43
1.44
1.44
1.46
1.46
1.47
1.47
1.48
1.50
1.50
1.51
1.53
1.55
1.55
Terza indagine in cui la
moda non appare
significativa
La tabella si riferisce alle
altezze in metri di 24
alunni
1) Trova la moda
2) Ce n’è una sola?
3) Ti sembra che la
ricerca della moda sia
importante come lo è
stata nelle indagini
precedenti?
Classi di altezze
1,35x <40
1,40 x <1,45
1,45 x <1,50
1,50 x <1,55
1,55 x <1,60
Per vedere meglio come si
distribuiscono gli alunni rispetto le
altezze, converrà raccogliere in gruppi
i valori della tabella. In modo che ti
proponiamo per effettuare questi
raggruppamenti è quello di fissare i
seguenti intervalli di altezze,
procedendo di 5cm in 5 cm
1) Conta quante altezze ci sono in
ciascun intervallo e scrivi questo
numero nella tabella a fianco di
ciascun intervallo
2) Con i numeri che hai ottenuto
costruisci un istogramma
3) Qual è il gruppo o meglio la classe
di altezze più numerosa?
Tabella
1,35
1,43
1,48
1,35
1,43
1,48
1,37
1,44
1,50
1,38
1,44
1,50
1,38
1,46
1,51
1,40
1,46
1,53
1,42
1,47
1,55
1,42
1,47
1,55
1) Trova un valore che divida a
metà la tabella cioè, tale che sia
più grande dei primi 12 dati e
più piccolo degli altri 12
2) Supponi di togliere dalla tabella
l’ultimo dato, cioè 1,55.Qual è
ora un valore che lascia prima e
dopo di sè un ugual numero di
dati? Ce n’è uno solo?
Mediana
È il valore che occupa il posto centrale tra i dati ordinati.
Se i dati sono in numero dispari x , x2,.......,x2n+1la
mediana è xn+1
1
Se i dati sono in numero pari x ,x2,.......,x2nla mediana è per
convenzione ½(xn+xn+1)
1
la mediana è un valore
la mediana è uno dei valori e può non coincidere con un “dato”,come
nel nostro caso in cui il numero dei dati è pari.
Definizione di mediana:
un valore che divide a metà una raccolta ordinata di dati
la mediana nel secondo caso è 1,44m,
nel primo caso qualsiasi valore compreso tra 1,44 e 1,46 divide a
metà la tabella
ciascuno di essi è mediana
Per semplicità, si sceglie come mediana il valore che sta in mezzo a
questi due, cioè:
1,44+1,46
—————=1,45
2
Scheda24
Con la mediana abbiamo suddiviso i 24 dati ordinati della
scheda 21 in due gruppi di 12 dati ciascuno.
Vogliamo ora, allo stesso modo, suddividere la medesima
popolazione in quattro gruppi, ciascuno con un ugual
numero di dati (nel nostro caso 6 per ogni gruppo).
1) Quanti valori occorrono per ottenere tale suddivisione?
2) Uno di questi valori lo conosci già. Qual è?
3) Quali sono gli altri?
I numeri che hai trovato si chiamano quartili
I quantili
I quantili dividono in n parti una raccolta di dati.
I quantili rispettano le stesse convenzioni della
mediana
INell’esempio fatto precedentemente
q
uil primo quantile è
1,40 + 1,42
a
n
————————==1,41
t
i
l
i
d
i
v
i
d
o
n
o
i
n
n
p
a
r
t
2
Il secondo quantile è la mediana
Il terzo quantile è 1,48 + 1,50
————————==1,49
2
Media aritmetica
Se abbiamo n dati che indichiamo, x1 , x2 , ........,xn la
media aritmetica è:
x1+ x2+.......+xn
——————————
n
Stipendi di 10 dipendenti
Reddito
Numero
Qualifica
mensile in euro dipendenti
646,00
800,50
1007,50
5
1
2
1524,00
1808,00
1
1
Impiegati
Dirigenti
I
In una
piccola
azienda lavorano
10 dipendenti:
loro redditi
mensili netti(cioè
gli stipendi) sono
riportati nella
tabella:
Domande
1) Se lo stesso reddito totale dei dipendenti fosse
suddiviso in parti uguali fra loro, cioè se tutti avessero
lo stesso stipendio, quanto prenderebbe ciascun
dipendente?
2) Come si chiama il valore che hai calcolato?
Uso critico degli indici statistici
La media aritmetica nel nostro esempio è di 937,75 euro
Ti sembra esatto dire che la metà dei dipendenti percepisce meno di
937,75 e l’altra metà percepisce più di 937,75 euro?
Se si decidesse di aumentare lo stipendio più elevato, questo
cambiamento non altererebbe per nulla né la mediana ,né la
moda della nostra popolazione , mentre avrebbe ovviamente
influenza sulla media
Nell’azienda di cui si parla, l’ultimo dipendente elencato riceve un
aumento di stipendio e passa da 18008,00 a 2000,00 euro; tutti
gli altri stipendi rimangono invariati.
1) E’ cambiata la mediana?
2) E’ cambiata la media?
3) E’ cambiata la moda?
Discussione sulla diversa
natura degli indici statistici
Non ci sono regole meccaniche sulla
scelta dell’indice da utilizzare
Altezze in metri di 24 alunni
1,46
1,54 1,58 1,62 1,65
1,46
1,54 1,58 1,64 1,67
1,48
1,54 1,60 1,64 1,70
1,50
1,56 1,60 1,64 1,70
1,50
1.57 1,60 1,64
a) Costruisci una
tabella con le
frequenze
relative.Come si
potrebbe fare per
dividere i ragazzi
in “bassi “e
“alti”?
b) Un ragazzo alto
1,50m come è
considerato?
c) A quale indice
statistico hai fatto
riferimento?
Perché?
d) Ora considera la tabella ordinata delle altezze dei 24
ragazzi, se vuoi dividere i ragazzi in “bassi”, “medi” e
“alti” a quali indici ti riferisci? Un ragazzo alto 1,62m
come è considerato?
e) Trova la moda, la mediana e la media giustificando e
indicando i procedimenti anche generalizzando
f) Costruisci una nuova tabella formata da 5 classi di
altezze e le corrispondenti frequenze relative. Costruisci il
relativo istogramma
1,46 1,54 1,58
1,62
1,65
1,46 1,54 1,58
1,64
1,67
1,48 1,54 1,60
1,64
1,70
g)Se alla tabella dei dati fossero
aggiunte due nuove altezze
1,50m e 1,66m, quale degli
indici statistici tra quelli
calcolati precedentemente
cambierebbe? Perché?
1,70
E se tutte e due le altezze
introdotte fossero di 1,66m?
1,50 1,56 1,60
1,64
1,50 1.57 1,60
1,64
Campione
Scelta del campione
Indagine statistica sull’intera popolazione nella maggior parte dei casi
non è possibile, è necessario, limitarsi all’esame di una parte della
popolazione e cercare di trarre da questa informazioni
Si dice che si lavora su “ campione”.
Quella parte della Statistica che formula delle ipotesi sulla struttura di
una popolazione a partire da un campione prende il nome di
“Statistica inferenziale”.
La maggior parte delle indagini viene svolta su un campione,è
importante, che un ragazzo, al termine della scuola dell’obbligo,
abbia qualche idea sul problema
Campione attendibile e
rappresentativo
Un campione deve essere il più possibile “attendibile”, il
campione deve essere “rappresentativo”
E’ importante convincere i ragazzi che il campione è utile
quando la popolazione non è conosciuta
Tuttavia per introdurre il concetto di campione ai ragazzi
affinché possano cogliere informazioni da un campione si può
partire da una popolazione interamente conosciuta.
Si propone di fare un’indagine sulla lunghezza delle parole di
un brano di Calvino di 700 parole
Si contano le lettere di ciascuna parola
Si costruisce un istogramma con la frequenza delle lunghezze delle
parole
Il lavoro richiede molto tempo e suggerisce l’idea di esaminare un
numero inferiore di parole
Bisogna scegliere un campione
Si pone il problema di decidere:
Come estrarre il campione
Quanto deve essere grande
Primo punto: la scelta degli elementi che formeranno il campione
deve essere casuale
Secondo punto: dimensione del campione
Si procede per tentativi:
Si costruisce dapprima un campione di 10 parole
non permette di farsi un’idea della frequenza delle lunghezze
delle parole di tutta la popolazione
Campioni di 50 parole
Campioni di 50 parole e di 100 parole danno
un’idea sempre “più precisa”dell’intera popolazione.
Il campione per essere rappresentativo deve essere
“abbastanza grande”
Si potrà notare che un campione costruito per
estrazione semplice per essere rappresentativo, dovrà
essere, ad esempio,circa 1/10 della popolazione
L’insegnante tuttavia farà notare come nelle
indagini fatte da mass-media su popolazioni grandi
non ricorra al 10% della popolazione.
Ad esempio se ci interessa conoscere un dato sulla
intera popolazione nazionale, si vede subito che 1/10
di 60milioni è ancora un numero troppo elevato
Campione stratificato
Il campionamento casuale è necessario quando la popolazione è
completamente sconosciuta, ma quando si opera sulla popolazione
nazionale non si lavora su una popolazione completamente
sconosciuta, ma su una popolazione che precedenti rilevamenti
hanno reso possibile di suddividerla in classi
(strati:sesso,età,condizione sociale e così via).
Si costruisce il così detto “campione stratificato”
Si scelgono a caso un predeterminato numero di individui all’interno
di opportuni “strati”nei quali si è suddivisa la popolazione.
Le tecniche usate sono particolari e continuamente affinate.
Punto di vista didattico
Far sorgere il problema e far costruire il campione
partendo da una popolazione interamente sconosciuta
Dare l’idea che nelle indagini di cui si sente parlare i
metodi seguiti sono diversi da quello usato da noi con il
lavoro sulle parole
Distorsione del campione
Tipiche situazioni:
intervistare amici o parenti, incontreremo più facilmente persone
che hanno le nostre abitudini, gli amici che hanno la stessa età, non
sarebbe un campione rappresentativo della popolazione italiana.
Intervistare persone scegliendo dall’elenco telefonico si esclude chi
non ha il telefono.
Ogni campione scelto a caso per strada può non essere
rappresentativo (a seconda del luogo, del giorno della settimana,
dell’ora vi saranno rappresentate in maggioranza alcune categorie
quali casalinghe, studenti, lavoratori,...e non altre)
Esercizi
1) In un’altra classe hanno costruito il campione di 100
parole scegliendole puntando il dito a caso sulle pagine
del racconto e hanno ottenuto che le parole di 7 lettere
sono le più frequenti. Sai spiegare perché questo
campione, pur essendo numeroso quanto il nostro, non
è rappresentativo?
2) Per stabilire con quale frequenza gli abitanti di un paese
vanno al cinema ci mettiamo all’uscita di una sala
cinematografica e chiediamo a ciascuno di 130 spettatori
scelti a caso di dire quante volte al mese va al cinema.
Dai risultati della nostra inchiesta concludiamo che gli
abitanti di quel paese vanno al cinema in media 5 volte al
mese.
E’ ben fatta questa inchiesta?
correlazione
Nelle indagini statistiche spesso si raccolgono dati relativi a due o
più caratteri della stessa popolazione.
Questi possono essere esaminati separatamente oppure ci si può
chiedere se esistono legami tra di essi ossia se esiste una
“correlazione statistica”.
indagine
Popolazione: un gruppo di adulti dello stesso sesso, che praticano
la stessa attività sportiva.
Rileviamo statura e peso.
Riportiamo su piano cartesiano,
in ascissa le altezze espresse in cm.
in ordinata, i pesi in kg.
Ogni individuo risulta rappresentato sul piano cartesiano da un
punto che ha come ascissa la sua statura e come ordinata il suo
peso
statura peso
175
70
180
72
170
60
178
70
182
75
176
74
175
72
181
76
170
65
185
75
tabella
statura peso
172
180
184
186
174
176
178
173
175
182
68
70
76
80
70
70
71
65
66
72
Nuvola
L’orientamento della ”nuvola“ è da “sud-ovest” a “nord-est”o
da ” sinistra in basso” a “destra-in alto”
In quella popolazione tra le due caratteristiche prese in esame
esiste una “correlazione positiva”
Se l’orientamento della nuvola è quello opposto ”nord-ovest””sud-est” si dice che la “correlazione è negativa”.
Se la nuvola non presenta alcun particolare orientamento si
dice che non esiste correlazione
Esempi
Correlazione negativa fra:
•Età di un’automobile e suo valore commerciale
•Temperatura media annua e latitudine di una località (a parità di
altre condizioni climatiche)
•Spesa per consumi alimentari mensili pro capite e numero dei
componenti di una famiglia
Correlazione positiva fra:
•Cilindrata di un’automobile e consumo a una prefissata velocità
(a parità di altre condizioni, es.tipo di alimentazione)
•Reddito familiare e spesa per consumi alimentari
•Statura e apertura delle braccia (in individui adulti)
Non esiste correlazione fra:
•valore energetico di un alimento e suo prezzo sul mercato
•colore degli occhi e peso di un individuo
•numero di scarpa e numero dei fratelli
Se esiste correlazione...
Stabilito che tra due caratteri di una popolazione
esiste correlazione si pongono due problemi:
a) Come interpretarla ( Non va confusa con quella di un
rapporto di causa-effetto)
b) Come misurarla (Si calcola il così detto ”coefficiente di
correlazione”)
Rette di regressione
statura peso
170
60
170
65
172
68
173
65
174
70
175
66
175
70
175
72
176
70
176
74
Ordiniamo la tabella
per altezza,dividendo
la popolazione in due
parti. Primo gruppo
a sinistra e secondo a
destra.
statura peso
178
70
178
71
180
70
180
72
181
76
182
72
182
75
184
76
185
75
186
80
Retta di previsione per
prevedere il peso conoscendo
l’altezza
Determiniamo due punti rappresentativi:
Il primo, in ascissa la media aritmetica delle altezze e in ordinata
quella dei pesi del 1° gruppo, P di altezza 173,6 e peso 68
Il secondo, in ascissa la media aritmetica delle altezze e in ordinata
quella dei pesi del 2° gruppo, Q di altezza 181,6 e peso 73,7
Congiungiamo i due punti P e Q otteniamo la nostra retta di previsione,
possiamo utilizzarla per prevedere il peso data l’altezza di un individuo
di una popolazione omogenea a quella di partenza.
Retta di previsione per prevedere
l’altezza conoscendo il peso
Ordiniamo la popolazione in ordine crescente rispetto il peso,
ripetiamo lo stesso procedimento e otteniamo:
P’ di peso 67,4 e altezza 174,3 e Q’ di peso 74,3 e altezza 180,9
Congiungiamo i due punti P’ e Q’ otteniamo la nostra retta di
previsione, possiamo utilizzarla per prevedere l’altezza, dato il peso,
di un individuo di una popolazione omogenea a quella di
partenza.
misura
Tracciando le due rette si vede che sono diverse: il loro angolo ci
fornisce la “misura” della correlazione:
Tanto più piccolo è l’angolo quanto maggiore sarà la
correlazione
Volendo avere a disposizione una sola retta che ci consenta, dato
un peso di prevedere l’altezza e viceversa, data un’altezza
prevedere il relativo peso, si può tracciare la bisettrice dell’angolo
formato dalle due rette.
Esercizio n°1
sezione
A
B
C
D
E
F
G
H
I
N°alunni
24
20
22
18
20
17
21
24
22
la tabella riporta il numero degli alunni delle classi seconde di
una scuola media:
a) determina moda, mediana e media.
b) Calcola la percentuale delle classi con un n° di alunni non
inferiore a 20
c) Spiega cosa suggerisce ciascun indice
d) Quali contenuti del programma di matematica possono
essere richiamati?
Esercizio n°2
voto
3
4
5
6
7
8
9
N°alunni
2
6
5
10
3
1
1
In una prova di verifica i 28 alunni di una scuola superiore
hanno riportato i seguenti voti
a) Determina moda, media e mediana
b) Ha senso parlare di mediana in questo caso? Perché?
c) Quale percentuale di alunni ha superato il 5?
d)
Spiega cosa suggerisce ciascun indice
Esercizio n°3
24
24
25
25
26
27
27
28
28
28
29
30
30
30
30
32
33
34
34
35
36
38
38
39
40
41
41
42
44
45
47
48
48
50
51
51
52
52
53
53
In tabella sono riportate l’età di 40 dipendenti di un’azienda;
a) Trova, moda, mediana e media
b) Se pensi di dividere i dipendenti in due gruppi: “giovani” e
“anziani“a quale indice statistico ti puoi riferire? In base alla tua
divisione un dipendente di 36 anni a quale gruppo appartiene?
c) Successivamente la stessa azienda assume due nuovi dipendenti,
uno di 29 e l’altro di 37, quali indici statistici cambiano quali
rimangono invariati? E se tutti e due avessero 28 anni? Rispondi
senza fare calcoli.
Quale correlazione pensi
esista tra
a) temperatura del corpo e frequenza dei battiti del
polso?
b) Quantità di fragole raccolte e loro prezzo sul
mercato?
c) Numero di autovetture circolanti sull’Autostrada
del Sole e numero di incidenti?
d) Peso di un alunno e numero dei suoi fratelli?