Diss. ETH No. 21059
Electron fractionalization in two-dimensional quantum systems:
Majorana fermions and fractional topological insulators
DISSERTATION
submitted to
ETH ZURICH
for the degree of
DOCTOR OF SCIENCES
by
TITUS NEUPERT
Master of Science in Physics, University of Zurich, Switzerland
born May 29, 1985
citizen of Germany
accepted on the recommendation of
Prof. Dr. Manfred Sigrist, examiner
Dr. Christopher Mudry, co-examiner
Prof. Dr. Claudio Chamon, co-examiner
2013
Abstract
In condensed matter physics, two distinct notions of topological phases exist, both of which
assume a ground state that is separated from all excited states by an energy gap. On one hand,
topological band insulators are characterized by gapless excitations that propagate at the system
boundary, are universal and robust to localization by disorder. The existence of these boundary
degrees of freedom can be predicted from bulk topological invariants of the system, giving rise to
a bulk-boundary correspondence. On the other hand, incompressible and featureless many-body
phases possess non-trivial topological order, if they support deconfined particle-like excitations
with quantum numbers that are a fraction of the quantum numbers of the constituent particles
(electrons) of the state. This fractionalization is in one-to-one correspondence with a degeneracy
of the groundstate that depends on the genus of the configuration space manifold on which the
state is defined. The fractionalized excitations are generically anyons, which in two-dimensional
space can have either Abelian or non-Abelian exchange statistics.
In this Thesis, di↵erent phases of matter with topological order are studied. Microscopic
models in which these phases emerge are provided and characterized.
The first Part is concerned with topologically ordered two-dimensional superconductors.
The fractionalized excitations of these systems are non-Abelian Majorana states that are bound
to vortices in the superconducting order parameter. A Majorana state is a superposition of
an electron and a hole and possesses half the degrees of freedom of an electron. We find that
whether or not a vortex binds an isolated Majorana state depends sensitively on the normal
state band structure of the two-dimensional electron gas. We contrast the situation where the
dispersion is that of a massive fermion subject to a Rashba spin-orbit coupling that breaks the
SU(2) spin-rotation symmetry with the situation where the dispersion is that of massless Dirac
fermions. The former case pertains to two-dimensional electron gases that emerge at interfaces
between di↵erent crystals, while the latter case is realized at the surface of three-dimensional
topological band insulators. We find that isolated Majorana states can only exist in vortices of
the Dirac electron superconductor, regardless whether the superconducting order parameter is
dominantly of s-wave or p-wave type. Furthermore, we discuss the peculiar properties of the
two-dimensional superconductors without spin-rotation symmetry. They lead us to proposing a
setup for a heterostructure that binds a chain of equidistantly spaced Majorana states.
We proceed with a second type of topologically ordered states, the so-called fractional Chern
insulators and fractional topological insulators. These states emerge in two-dimensional lattice
models of repulsively interacting electrons, if the band structure of the model in absence of
electron-electron interactions satisfies two prerequisites: First, the electronic band structure
must have a nontrivial topological property. We consider the case where a band of either a
Chern insulator or a Z2 topological insulator is partially filled. After interactions are switched
on, it then yields a fractional Chern insulator and a fractional topological insulator, respectively.
Second, the electronic band structure must have a specific energetical property, namely the band
of interest must be reasonably flat as compared to the energy gap and the interaction energy
scale. We devise lattice models that have these properties and show with exact numerical
diagonalization studies of small systems that they support topologically ordered ground states.
This way, we find fractional Chern insulators in Chern bands with Chern number one and two,
as well as their spontaneous formation in spectrally flattened Z2 topological band insulators, if
the interaction breaks time-reversal symmetry by the Stoner mechanism.
The fractional Chern insulators resemble in their universal topological properties known
fractional quantum Hall states that appear in Landau levels. For the Laughlin series of filling
fractions ⌫ = 1/m, m 2 Z, of the flat band, fractional Chern insulators support chiral edge states
of anyons with the m-th fraction of the electron charge. These edge states cannot be localized by
local perturbations at the edge. In contrast, fractional topological insulators with time-reversal
ii
symmetry support Kramers pairs of counter propagating edge modes. These are not necessarily
immune to localization, even if the perturbations must obey the time-reversal symmetry. We
introduce a hierarchical topological field theory construction of fractional topological insulators
with time-reversal symmetry and use it to derive a stability criterion for their edge modes. This
criterion takes the form of a Z2 index that distinguishes the case of one from the case of no
protected Kramers pair of edge modes.
In the last Part of the Thesis, we study the properties of electronic single-particle states in
topological band structures in two- and three-dimensional space to understand what allows for
the emergence of topologically ordered many-body states when interactions are added. A crucial
ingredient is the noncommutative geometry experienced by the electrons, that is, the nontrivial
commutation relations obeyed by the electron’s position operator projected to the topological
band. We clarify the connection between this noncommutative geometry and the topological
invariants of the band structure. As a by-product, this approach allows us to derive a formula
for the Hall-conductivity of interacting electrons populating an energetically isolated band.
Riassunto
Nella fisica della materia condensata il concetto di fase topologica viene usato in due di↵erenti
ambiti, entrambi caratterizzati da uno stato fondamentale separato da un gap energetico da tutti
gli stati eccitati. Da un lato gli isolanti di banda topologici, caratterizzati da stati eccitati posti
nella banda proibita, che si propagano ai bordi del sistema e che non possono venire localizzati
dal disordine. L’esistenza di questi stati eccitati può essere predetta per mezzo di invarianti
topologici definiti all’interno del sistema, stabilendo una corrispondenza tra l’interno e i bordi.
D’altro lato si dice che stati a molti corpi, incompressibili e senza struttura, posseggono un
ordine topologico, quando essi supportano eccitazioni nonlocalizzate di natura particellare con
numeri quantici che sono una frazione dei numeri quantici delle particelle (elettroni) costituenti lo
stato. Questa frazionalizzazione sta in relazione diretta con una dipendenza della degenerazione
dello stato fondamentale dal genere della varietà sulla quale lo stato è definito. Le eccitazioni
frazionarie sono qualunquoni, che in uno spazio bidimensionale possono avere una statistica di
scambio abeliana o non-abeliana.
In questa dissertazione vengono studiate diverse fasi topologicamente ordinate e vengono
introdotti e caratterizzati alcuni modelli microscopici in cui queste fasi emergono.
La prima parte è dedicata all’ordine topologico in superconduttori bidimensionali. Le eccitazioni frazionarie in questi sistemi sono particelle di Majorana con statistica non-abeliana, che
sono legate ai vortici del parametro d’ordine del superconduttore. Una particella di Majorana
è una superposizione di un elettrone con un buco e possiede la metà dei gradi di libertà di un
elettrone. Arriviamo alla conclusione che se un vortice si lega a una particella di Majorana
isolata, oppure no, dipende notevolmente dalla struttura a bande nello stato normale del gas
elettronico bidimensionale. In questo contesto contrapponiamo il caso della relazione di dispersione di un fermione massivo sottoposto a un’interazione spin-orbita di Rashba, che rompe la
simmetria di rotazione di spin SU(2), al caso della relazione di dispersione di un fermione di
Dirac senza massa. Il primo caso si verifica nei gas elettronici bidimensionali che si formano
all’interfaccia tra cristalli diversi, mentre il secondo caso descrive gli stati di superficie in isolanti
topologici tridimensionali. Arriviamo alla conclusione che particelle di Majorana isolate esistono
unicamente nei vortici del superconduttore con elettroni di Dirac, indipendentemente dal fatto
se il parametro d’ordine del superconduttore abbia essenzialmente il carattere di un onda di tipo
s oppure di tipo p. In conclusione discutiamo le proprietà specifiche di superconduttori bidimensionali senza simmetria di rotazione di spin. Queste ci consentono di proporre la costruzione
di una eterostruttura che permette di legare una catena di particelle di Majorana spaziate in
maniera equidistante.
In seguito trattiamo una seconda specie di stati topologicamente ordinati, i cosiddetti isolanti
di Chern frazionari e gli isolanti topologici frazionari. Questi stati emergono in modelli di reticolo
bidimensionali con elettroni che interagiscono in maniera repulsiva, quando la struttura a bande
del modello, in assenza dell’interazione tra gli elettroni, soddisfa due condizioni. In primo
luogo la struttura elettronica a bande deve essere topologicamente non-banale, cioè una banda
di un isolante di Chern o di un isolante di banda topologico di tipo Z2 è solo parzialmente
piena. Quando l’interazione viene accesa, si ottiene allora un isolante di Chern frazionario,
rispettivamente un isolante topologico frazionario. In secondo luogo la struttura elettronica a
bande deve adempiere la condizione energetica che la banda rilevante sia sufficientemente piatta
rispetto alla scala di energia dell’interazione e all’ampiezza della banda proibita. Sviluppiamo
modelli di reticolo con queste proprietà e mostriamo, per mezzo di diagonalizzazioni numeriche
esatte in piccoli sistemi, che essi posseggono stati fondamentali topologicamente ordinati. In
questo modo troviamo isolanti di Chern frazionari in bande di Chern con numero di Chern
uno e due, come pure la loro formazione spontanea in isolanti di banda topologici di tipo Z2
spettralmente piatti, a condizione che l’interazione rompa la simmetria di inversione temporale
iv
per mezzo del meccanismo di Stoner.
Le proprietà topologiche universali degli isolanti di Chern frazionari corrispondono a quelle
degli stati Hall quantistici frazionari che appaiono nei livelli di Landau. Nel caso della sequenza di
Laughlin, con fattori di riempimento razionali ⌫ = 1/m, m 2 Z della banda piatta, gli isolanti di
Chern frazionari posseggono stati di bordo qualunquonici chirali con la m-sima parte della carica
di un elettrone. Questi stati di bordo non possono venire localizzati per mezzo di perturbazioni
locali. In contrasto, gli isolanti topologici frazionari con simmetria di inversione temporale
posseggono coppie di Kramers di modi di bordo che si propagano in direzioni opposte. Questi
non sono necessariamente immuni alla localizzazione, anche quando sono permesse unicamente
perturbazioni che preservano la simmetria di inversione temporale. Sviluppiamo una descrizione
gerarchica degli isolanti topologici frazionari nel contesto di una teoria di campo topologica e la
usiamo per derivare un criterio di stabilità per gli stati di bordo. Questo criterio è dato nella
forma di un indice Z2 , che distingue il caso di un unica dal caso di nessuna coppia di Kramers
di modi di bordo protetta.
Nell’ultima parte della dissertazione ci occupiamo delle proprietà di stati elettronici a una
particella in strutture a bande topologiche nello spazio bi- e tridimensionale, per capire quale
fattore permette l’emergere di stati a molti corpi topologicamente ordinati quando vengono
incluse le interazioni. Un ingrediente cruciale è la geometria non-commutativa dello spazio in cui
gli elettroni si trovano, cioè le non-banali relazioni di commutazione obbedite dagli operatori di
posizione degli elettroni, quando essi vengono proiettati sulla banda topologica. Chiarifichiamo
la relazione tra la geometria non-commutativa e gli invarianti topologici della struttura a bande.
Inoltre questo approccio ci permette di derivare una formula per la conduttività di Hall per
elettroni interagenti in una banda energeticamente isolata.
Zusammenfassung
Der Begri↵ einer topologischen Phase wird in der Festkörperphysik gewöhnlich in zwei verschiedenen Zusammenhängen verwendet, die beide von einem Grundzustand ausgehen, der durch
eine Energielücke von allen angeregten Zuständen getrennt ist. Auf der einen Seite stehen
topologische Bandisolatoren, die sich durch Anregungen innerhalb der Energielücke auszeichnen, welche sich am Rand des Systems bewegen können und nicht durch Unordnung lokalisiert
werden können. Die Existenz dieser Anregungen kann mittels topologischen Invarianten, die im
Inneren des Systems definiert sind, vorhergesagt werden. Auf der anderen Seite sagt man, dass
inkompressible und strukturlose Vielteilchenzustände topologische Ordnung besitzen, wenn sie
ungebundene teilchenartige Anregungen tragen, deren Quantenzahlen ein Bruchteil der Quantenzahlen der Teilchen (Elektronen) sind, die den Zustand ausmachen. Diese Fraktionalisierung
steht in einem direkten Zusammenhang mit einer Abhängigkeit der Grundzustandsentartung
vom Genus der Mannigfaltigkeit, auf der der Zustand definiert ist. Die fraktionellen Anregungen sind Anyonen, die in zweidimensionalem Raum entweder abelsche oder nicht-abelsche
Austauschstatistik haben können.
In dieser Dissertation werden verschiedene topologisch geordnete Phasen von Materie untersucht. Es werden mikroskopische Modelle, in denen solche Phasen auftreten, eingeführt und
charakterisiert.
Der erste Teil widmet sich topologischer Ordnung in zweidimensionalen Supraleitern. Die
fraktionalen Anregungen dieser Systeme sind nicht-abelsche Majorana-Zustände, die in Flussschläuchen des supraleitenden Ordnungsparameters gebunden sind. Ein Majorana-Zustand ist
eine Superposition eines Elektrons mit einem Loch und besitzt die Hälfte der Freiheitsgrade eines
Elektrons. Wir kommen zu dem Ergebnis, dass es entscheidend von der Bandstruktur im Normalzustand abhängt, ob ein Flussschlauch einen isolierten Majorana-Zustand bindet oder nicht.
Dabei stellen wir den Fall der Dispersionsrelation eines massebehafteten Fermions mit Rashba
Spin-Bahn-Wechselwirkung, welche die SU(2) Spinrotationsinvarianz bricht, dem Fall der Dispersionsrelation eines masselosen Dirac-Fermions gegenüber. Der erste Fall tritt bei zweidimensionalen Elektronengasen an der Grenzfläche zwischen verschiedenen Kristallen auf, während
der zweite Fall die Oberflächenzustände dreidimensionaler topologischer Isolatoren beschreibt.
Wir kommen zu dem Schluss, dass isolierte Majorana-Zustände nur in den Flussschläuchen
des Supraleiters mit Dirac-Elektronen existieren, unabhängig davon, ob der supraleitende Ordnungsparameter hauptsächlich s- oder p-Wellencharakter hat. Schließlich diskutieren wir die
spezifischen Eigenschaften zweidimensionaler Supraleiter ohne Spinrotationssymmetrie. Diese
ermöglichen uns, den Aufbau einer Heterostruktur vorzuschlagen, welche eine Kette von gleichmäßig verteilten Majorana-Zuständen bindet.
Im Weiteren behandeln wir eine zweite Art topologisch geordneter Zustände, die sogenannten fraktionalen Chern-Isolatoren und fraktionalen topologischen Isolatoren. Diese Zustände
findet man in zweidimensionalen Gittermodellen repulsiv wechselwirkender Elektronen, wenn
deren Bandstruktur ohne die Elektron-Elektron-Wechselwirkung zwei Vorraussetzungen erfüllt:
Zum einen muss die elektronische Bandstruktur topologisch nichttrivial sein, das heißt es handelt sich um partiell gefüllte Bänder entweder eines Chern-Isolators oder eines Z2 topologischen
Bandisolators. Wenn die Wechselwirkungen eingeschaltet werden, kann dann ein fraktionaler
Chern-Isolator beziehungsweise ein fraktionaler topologischer Isolator entstehen. Zum anderen
muss die elektronische Bandstruktur die energetische Voraussetzung erfüllen, dass das relevante
Band verglichen mit der Bandlücke und der Energieskala der Wechselwirkung ausreichend flach
ist. Wir entwickeln Gittermodelle mit diesen Eigenschaften und zeigen mittels numerischer exakter Diagonalisierung kleiner Systeme, dass sie topologisch geordnete Grundzustände besitzen.
Auf diese Weise finden wir fraktionale Chern-Isolatoren in Chern-Bändern mit Chern-Zahl eins
und zwei, sowie deren spontane Entstehung in spektral flachen Z2 topologischen Bandisolatoren,
vi
sofern die Wechselwirkung mittels des Stoner-Mechanismus die Zeitumkehrsymmetrie bricht.
Die universellen topologischen Eigenschaften fraktionaler Chern-Isolatoren entsprechen denen fraktionaler Quanten-Hall-Zustände in Landau-Niveaus. Im Falle der gebrochenrationalen
Füllungen ⌫ = 1/m, m 2 Z, der Laughlin-Sequenz besitzen sie chirale anyonische Randzustände
mit dem m-ten Teil der Elektronenladung, die nicht durch lokale Störungen am Rand lokalisiert
werden können. Im Gegensatz dazu besitzen fraktionale topologische Isolatoren mit Zeitumkehrsymmetrie Kramers-Paare gegenläufiger Randmoden. Diese sind nicht notwendigerweise
immun gegenüber Lokalisierung, selbst wenn nur zeitumkehrsymmetrische Störungen zugelassen
sind. Wir entwickeln eine hierarchische Beschreibung fraktionaler topologischer Isolatoren im
Rahmen einer topologischen Feldtheorie und benutzen diese, um ein Stabilitätskriterium für die
Randmoden herzuleiten. Dieses Kriterium ist in Form eines Z2 Index gegeben, der den Fall eines
einzelnen vom Fall keines geschützten Kramers-Paares von Randmoden unterscheidet.
Im letzten Teil der Dissertation beschäftigen wir uns mit den Eigenschaften elektronischer
Einteilchenzustände in topologischen Bandstrukturen in zwei- und dreidimensionalem Raum, um
zu verstehen, was beim Einbeziehen von Wechselwirkungen das Entstehen topologisch geordneter Vielteichenzustände ermöglicht. Von zentraler Bedeutung ist, dass sich die Elektronen
in einer nichtkommutativen Geometrie befinden, die von nichttrivialen Kommutationsrelationen der elektronischen Ortsoperatoren herrührt, wenn diese in das topologische Band projiziert
werden. Wir klären die Beziehung zwischen der nichtkommutativen Geometrie und den topologischen Invarianten der Bandstruktur. Nebenbei erlaubt uns diese Herangehensweise eine Formel
für die Hall-Leitfähigkeit wechselwirkender Elektronen in einem isolierten Band herzuleiten.