Aprofondimenti e Applicazioni
principio di inerzia per il moto rotatorio
pendolo di torsione e pendolo composto
momento angolare
il giroscopio
1
Il Principio Di Inerzia Nel Moto
Rotatorio
• IL PRINCIPIO
• IL PENDOLO DI
TORSIONE
• IL PENDOLO
COMPOSTO
• UN ESEMPIO
2
Il terema del momento angolare

dL 

dt
3
IL GIROSCOPIO
CONSERVAZIONE del MOMENTO
ANGOLARE
4

dL 

dt


L  I
osservazione
• questa equazione implica
che in assenza di momento
meccanico esterno, il
momento angolare si
mantiene costante
• se il corpo ruota attorno ad
una asse principale,il
corpo rimane in rotazione
con velocità angolare
costante
5
Il giroscopio
Il disco G ruota rapidamente attorno ad AB (asse
principale),ed è montato in modo che il momento
meccanico totale rispetto ad O è nullo. Il momento
angolare L è costante e diretto come AB. AB può
ruotare liberamente attorno sia a z che a x. Se si
sposta il giroscopio si osserva che AB non cambia
direzione.
In assenza di momento meccanico esterno, il momento angolare
del corpo rimane costante
Prova sperimentale
Si dispone AB orizzontalmente in direzione EO.
Dopo 6 ore, l’asse e’ verticale.Questa apparente
rotazione è in realtà dovuta alla rotazione della
terra.
Il giroscopio,solidale al nostro tavolo si muove da 1 a 4,
con la terra,mentre nello spazio la direzione di AB resta
6
costante.
La rotazione della Terra
• La rotazione della Terra attorno al proprio asse
illustra il principio della conservazione del
momento della quantità di moto
• L’asse di rotazione forma un angolo di 23,50 con il
piano dell’orbita della Terra attorno al Sole
• Sulla terra non si esercitano momenti meccanici di
forze esterne, quindi il suo momento angolare
rimane costante
• Quindi , mentre la Terra si muove lungo la sua
orbita, l’asse di rotazione rimane parallelo a se
stesso
7
applicazioni
• La tendenza del giroscopio a mantenere il proprio asse di
rotazione fisso nello spazio anche se viene trasportato da
un luogo all’altro, trova molte applicazioni.
• Si usano giroscopi per stabilizzare navi,aerei, nei sistemi di
pilotaggio automatico, e nelle sonde spaziali.
• Giroscopi di alta precisione vengono usati nei sistemi di
guida inerziale per navi,automobili missili e veicoli
spaziali.
• In tali applicazioni tre giroscopi orientati secondo tre assi
mutuamente perpendicolari stabiliscono l’orientamento di
un sistema di coordinate assoluto x,y,z
8
osservazione

dL 

dt
 
dL   dt
La variazione di L, dL è diretta come 
9
PRECESSIONE
moto dell’asse di rotazione attorno
ad una asse fisso dovuto ad un
momento meccanico esterno
rotazione di un corpo rigido attorno
ad un asse rotante: trottole
10
il moto di precessione
• Il moto dell’asse di rotazione attorno ad un asse fisso,
dovuto ad un momento esterno si chiama moto di
precessione
• Se il momento applicato al giroscopio non è nullo, allora il
momento angolare subisce una variazione nel tempo
• Una variazione del momento angolare di un giroscopio
avviene sempre nella direzione del momento meccanico
• (La variazione della quantità di moto avviene sempre nella
direzione della forza)
• Quando il momento meccanico è perpendicolare all’asse di
rotazione e ad L,allora anche dL è perpendicolare L, ed L
cambia di direzione ma non di modulo
• ( simile al moto circolare sotto l’azione di una forza
centripeta)
11
precessione
Schema di un volano libero di
ruotare attorno all’asse,e attorno
al perno
Si suppone che il volano,che ruota
molto rapidamente su se stesso, sia
collocato sul perno,e abbandonato a
se stesso.

L
r

mg
Il momento angolare giace lungo l’asse di
rotazione .
Come agisce la gravità sul sistema?
Il momento della forza  è dovuto alla forza
di gravità che agisce sul centro di massa.
Per calcolarlo,assumeremo come origine il
perno
  rmg

r
mg
La gravità applica un momento meccanico
al giroscopio
12

dL 

dt
 
dL   dt
r

  rmg
mg
La variazione di L, dL è diretta come , è perpendicolare
alla forza applicata


dL
L  dL dL
tan   d 
dL  dt  rmgdt

L
L
dL farà deviare l’asse in direzione perpendicolare alla
forza peso
velocità
m = massa volano
d rmg


angolare di
r = distanza dal perno del CM
dt
L
precessione
 = angolo tra L e L+dL
il giroscopio continua a ruotare su se stesso attorno ad un
suo asse di rotazione,diretto come L, ma questo asse
ruota attorno ad un asse fisso
13
Velocità angolare
di precessione 
rmg
L
m = massa volano
r = distanza dal perno del CM
L= momento angolare
g= accelerazione di gravità

Sebbene la velocità angolare di
precessione sia stata ottenuta nel
caso che l’asse di rotazione sia
inizialmente orizzontale , si ha lo
stesso risultato se l’asse è inclinata
di un certo angolo .
14
Formula generale della velocità di precessione
di un giroscopio attorno alla verticale
M massa giroscopio
b distanza CM centro di rotazione
s velocità di spin
I momento di inerzia giroscopio
  s
Mgb

I s
dimostriamo questa relazione
15
in un intervallino di tempo dt il
vettore momento angolare L si
sposta dalla posizione OA a OB
Z
Z0
la variazione dL=AB è parallela al
momento .
Il raggio della circonferenza
descritta da L=OA è AD
AD  OA sin   L sin 

A
 D
dLd

L
Y0
B

O
Y
 è l’angolo tra Zo e Z
la velocità di precessione
 è la velocità con la quale
l’asse OZ0 del corpo ruota
attorno all’asse OZ.
d

dt
X0
X
 è un vettore diretto come Z
16
AD  L sin 
dL  ADd  L sin d
Z
Z0

L sin 
dL  dt
d
L sin 

dt
L sin d  dt
d

dt
L  Mgb
A
 D
dLd
B

L
CM
b
L sin   
b= OCM è la
distanza del
CM dal polo O
Mgb Mgb


L
I
Y0

O

Y
X0
X
17
giroscopio
Il risultato è valido solo se la velocita angolare di
rotazione  è molto maggiore della velocità
angolare di precessione 
La ragione è che abbiamo trascurato il momento
angolare rispetto all’asse di precessione
Il momento angolare L pertanto non è I, in quanto
la velocità risultante è +. Se la precessione è
molto lenta , >>, allora il momento angolare attorno
a OZ può essere trascurato
18
giroscopio
• Abbiamo visto che, nei calcoli precedenti è
essenziale è che il giroscopio ruoti ad alta velocità.
Se il giroscopio è lento o fermo, quando viene
abbandonato a se stesso, casca.
• Nei calcoli precedenti è stato trascurato il piccolo
momento angolare associato al moto della massa
attorno alla circonferenza orizzontale.
• Questo piccolo momento angolare supplementare
spiega le oscillazioni verticali dell’asse di
rotazione che si osservano, se il giroscopio non
ruota a velocità abbastanza elevata.
19
Un esempio
20
cosa dovete assolutamente ricordare
Una variazione infinitesoma del
 
momento angolare di un giroscopio
dL   dt
avviene sempre in direzione del
momento meccanico
 
L 
Quando momento angolare e momento della
forza sono perpendicolari, L varia in direzione


ma non in modulo.
L  dL

dL 
  0
dt
precessione
Il moto dell’asse di rotazione attorno ad una
asse fisso, dovuto ad un momento
meccanico esterno
21
cosa dovete assolutamente ricordare
La nutazione
22