3a Esercitazione: soluzioni
A cura di Monica Bonacina
Corso di Microeconomia A-K, a.a. 2012-2013
Questo eserciziario sostituisce gli esercizi di …ne capitolo del vostro libro di testo.
La struttura degli esercizi è analoga a quella che troverete all’esame.
Ciascun capitolo dell’eserciziario si compone di tre sezioni. Nella prima sezione,
chiamata "De…nizioni", vi si chiede di de…nire sinteticamente alcuni termini. Qualora
fosse necessario potrete avvalervi dll’aiuto di formule o/o gra…ci. Nella seconda
sezione, chiamata "Vero/Falso", vi si chiede di dire se gli enunciati riportati sono
da considerarsi veri, falsi o incerti e di fornire una spiegazione della vostra risposta.
Mi raccomando, concentratevi sulla spiegazione perchè è la parte più importante. La
terza sezione, chiamata "Esercizi", contiene degli esercizi. Gli esercizi possono essere
sia numerici che di analisi gra…ca.
Buon lavoro!!
La maggior parte dei quesiti riportati di seguito è tratta da temi
d’esame.
1
De…nizioni.
Si de…niscano sinteticamente i termini anche con l’ausilio, qualora necessario, di formule e gra…ci.
Def. 1.
Informazione nascosta.
Soluzioni. Situazione nella quale una parte del mercato non è in condizione di
valutare in maniera completa la qualità dei beni/servizi o¤ erti.
Def. 2.
Lotteria.
Soluzioni. Una lotteria è una variabile casuale i cui valori sono somme monetarie.
Def. 3.
Utilità attesa di una lotteria.
Ragazzi, se avete bisogno di contattarmi, la mia mail è [email protected]!
1
Soluzioni. L’utilità attesa è il valore atteso dell’utilità di ciascuno dei possibili
risultati di una lotteria.
Def. 4.
Valore atteso di una lotteria.
Soluzioni. Il valore atteso di una lotteria è il valore valore atteso delle vincite
monetarie che la lotteria o¤ re, ciascuna ponderata con la corrispondente probabilità.
Def. 5.
Funzione di utilità concava rispetto alla ricchezza.
Si tratta del caso in cui l’utilità marginale della ricchezza è decrescente. È la
tipica funzione di utilità di un soggetto avverso al rischio: infatti un aumento di
ricchezza di X gli arreca una variazione di utilità inferiore alla riduzione di utilità
arrecata da una eguale (X) diminuzione di ricchezza.
2
Vero/Falso.
Si stabilisca se gli enunciati sono veri, falsi, o incerti. Si fornisca una spiegazione
(anche gra…ca se opportuno) e si argomenti compiutamente la risposta.
Vero/Falso 6. Se la funzione di utilità di un soggetto è convessa, allora questi sarà
sicuramente avverso al rischio.
Soluzioni. FALSO. Per un individuo avverso al rischio, l’utilità cresce sempre
meno all’aumentare della vincita. La funzione di utilità corrispondente è quindi concava.
Vero/Falso 7. Si consideri un mercato caratterizzato dalla seguente curva di domanda: Q = 10 - p. In seguito ad un aumento dell’1% del prezzo, la quantità
domandata diminuirà dell’1%.
Soluzioni. In generale FALSO. Dalla forma della curva di domanda si ricava
la seguente elasticità della domanda al prezzo " = (@Q=@p)p=Q = p=Q che non
risulta essere costantemente uguale a -1; infatti " = 1 se e solo se -p/Q=-1 ovvero
se p=Q.
Vero/Falso 8. In presenza di informazione nascosta, uno scambio avvantaggia
sempre la parte meglio informata.
Soluzioni. FALSO. Consideriamo il caso di vantaggio informativo dei produttori sui consumatori e supponiamo che malgrado l’asimmetria informativa avvengano
scambi di prodotti sia di alta che di bassa qualità. I produttori di beni di bassa qualità
si avvantaggiano dello scambio a discapito vuoi di quella parte di consumatori (imperfettamente informati) che scoprono di aver acquistato beni di bassa qualità, vuoi
dei produttori di beni di alta qualità (perfettamente informati) che sono costretti ad
accettare un prezzo inferiore alla reale disponibilità a pagare dei consumatori per il
2
loro prodotto.
Vero/Falso 9. Si consideri il modello di scelta intertemporale. Consumo oggi (C1 )
e consumo domani (C2 ) sono per Susanna perfetti complementi. Se il tasso (r) al
quale Susanna può dare o prendere a prestito diminuisce, allora la consumatrice deciderà di diminuire il consumo in entrambi i periodi.
Soluzioni. INCERTO. L’e¤ etto della contrazione di r sulle decisioni di consumo di Susanna dipende da dove si trova il paniere delle dotazioni iniziali rispetto
alla retta dei vertici e quindi dal livello di investimento o di indebitamento iniziale
della consumatrice.
Vero/Falso 10. Si consideri una lotteria che promette due vincite monetarie (M) 0
e 10, ciascuna con probabilità 12 . Se un soggetto ha la funzione di utilità U (M ) = M 2
allora l’utilità attesa della lotteria per quel soggetto e 5.
Soluzioni. FALSO. L’utilità attesa (EU) è la media ponderata delle utilità nei
due casi (M=0 e M=10) ponderata per le probabilità che i due eventi si veri…chino
quindi
EU = 12 U (0) + 12 U (10) = 50
Vero/Falso 11. Un individuo avverso al rischio non acquisterà mai il biglietto di
una lotteria il cui prezzo è pari alla vincita attesa.
Soluzioni. VERO. Entrambi gli eventi garantirebbero un’analoga vincita ma
la partecipazione alla lotteria è più rischiosa (la varianza è maggiore); quindi un
soggetto avverso al rischio preferirà non acquistare il biglietto.
Vero/Falso 12. Si consideri una lotteria che promette le vincite monetarie (M) 0
e 100, ciascuna con probabilità 12 . Se un soggetto ha la funzione di utilità U(M) =
M0:5 allora l’utilità attesa della lotteria per quel soggetto e 50.
Soluzioni. FALSO. L’utilità attesa (EU) è la media ponderata delle utilità nei
due casi (M=0 e M=100) ponderata per le probabilità che i due eventi si veri…chino
quindi
EU = 12 U (0) + 12 U (100) = 5
Vero/Falso 13. Marcello trova per strada un biglietto della lotteria. La lotteria
promette una vincita di 10e con probabilità 1/2. Guido o¤re a Marcello 5e in cambio del biglietto della lotteria. Marcello, che è avverso al rischio, ri…uta.
Soluzioni. FALSO. Il valore atteso della lotteria (EV) è la media delle vincite
nei due casi (M=0 e M=10) ponderata per le probabilità che i due eventi si veri…chino
quindi
EV = 12 (0) + 12 (10) = 5
Se Marcello fosse avverso al rischio e gli si o¤ risse la possibilità di scambiare la lotteria cn una somma certa peri al valore atteso della lotteria accetterebbe sicuramente
la somma certa.
3
Vero/Falso 14. Aldo può acquistare per 12 euro il biglietto di una lotteria che
promette una vincita nulla, di 9 o di 27 euro con la stessa probabilità. Se Aldo fosse
neutrale al rischio sicuramente sceglierebbe di non acquistare il biglietto.
Soluzioni. FALSO. Il valore atteso della lotteria (EV) è la media delle vincite
nei due casi (M=9e M=27) ponderata per le probabilità che i due eventi si veri…chino
quindi
EV = 21 (9) + 12 (27) = 18
Aldo può scegliere tra una somma …ssa di 12 euro o una lotteria il cui valore atteso
è pari a 18 (superiore alla somma certa). Se Aldo è neutrale al rischio sceglie sicuramente la lotteria.
Vero/ Falso 15. Si consideri una lotteria che promette due vincite monetarie (M)
1 e 100, ciascuna con probabilità 12 . Se un soggetto ha la funzione di utilità U(M) =
p
M allora l’utilità attesa della lotteria per quel soggetto e 5,5.
Soluzioni. VERO. L’utilità attesa di una lotteria (EU) è la media delle utilità nei due casi (M=1 e M=100) ponderata per le probabilità che i due eventi si
veri…chino quindi
p
p
EU = 12 1 + 21 100 = 0; 5 + 5 = 5; 5
Vero/Falso 16. Si consideri una lotteria che promette due vincite monetarie (M)
1 e 10, ciascuna con probabilità 21 . Se un soggetto ha la funzione di utilità U(M)=M2
allora l’utilità attesa della lotteria per quel soggetto e 50,5.
Soluzioni. VERO. L’utilità attesa di una lotteria (EU) è la media delle utilità
nei due casi (M=1 e M=10) ponderata per le probabilità che i due eventi si veri…chino
quindi
EU = 12 12 + 12 102 = 0; 5 + 50 = 50; 5
Vero/Falso 17. Tontolo può scegliere tra una vincita certa di 5 euro o una lotteria.
Partecipando alla lotteria Tontolo potrebbe vincere zero, 6 o 9 euro (M0 = 0; M1 =
6; M2 = 9). Ciascun esito ha probabilità 1/3 . Sapendo che Tontolo ha accettato di
partecipare alla lotteria perché giocando ottiene un’utilità maggiore, ne concludiamo
che la sua funzione di utilità è U(M)=Ma con a <1.
Soluzioni. FALSO. Il valore atteso della lotteria (EV) è la media delle vincite
nei tre stati del mondo ponderata per le probabilità che i tre eventi si veri…chino
quindi
EV = 31 0 + 13 6 + 13 9 = 2 + 3 = 5
Se l’individuo preferisce la lotteria ad una somma certa il cui valore è lo stesso della
lotteria, allora l’individuo sarà amante del rischio. Un individuo amante del rischio
si caratterizza per una funzione di utilità convessa ovvero del tipo U(M)=M a con
a>1.
4
Vero/Falso 18. Ugo può acquistare per 35 euro il biglietto di una lotteria che
promette una vincita nulla, di 27 o di 81 euro. Ciascun esito ha probabilità 1/3. Se
Ugo fosse amante del rischio sceglierebbe di acquistare il biglietto.
Soluzioni. VERO. Il valore atteso della lotteria (EV) è la media delle vincite
nei tre stati del mondo ponderata per le probabilità che i tre eventi si veri…chino
quindi
EV = 31 0 + 13 27 + 13 81 = 36
Se l’individuo è amante del rischio preferisce una lotteria che in media paga 36 euro
ad una somma certa di 36 euro; in questo caso dove addirittura gli si o¤ re la possibilità di scegliere tra una somma certa di 35 ed una lotteria che in media paga 36
sceglierà sicuramente la lotteria ed acquisterà il biglietto.
3
Esercizi.
Si risolvano i seguenti esercizi.
Esercizio 1. Supponete che la domanda di attraversamenti del tunnel sotto la
Manica sia Q = 1000 100P . (1) Se il pedaggio è P = 6 euro, qual è la spesa
totale in attraversamenti? Se ne fornisca una rappresentazione gra…ca. (2) Si calcoli
l’elasticità della domanda al prezzo in corrispondenza dell’equilibrio individuato al
punto 1. (3) E’possibile ridurre la spesa totale per attraversamenti aumentando il
prezzo del pedaggio? Perchè? Si risponda con l’ausilio di un gra…co.
Soluzioni. (1) Stante il pedaggio per gli attraversamenti ( P = 6), la domanda di
attraversamenti sarà pari a
Q = 1000
100P = 400
da cui una spesa totale (ST)
ST = Q P = 2400
(2) L’elasticità della domanda di attraversamenti al prezzo in corrispondenza dell’equilibrio
individuato al punto (1) è
"=
@Q P
@p Q
=
6
100 400
=
3
2
=
1; 5
(3) Dal momento che la domanda è elastica, un aumento nel prezzo degli attraversamenti dell’1% comporterà una diminuzione più che proporzionale nella domanda di
attraversamenti; è quindi possibile ridurre la spesa totale in attraversamenti aumentando il prezzo. La spesa totale è
Q
100
ST = P Q = Q 10
= 10Q
Q2
100
ed è massima quando
@ST
@Q
= 0 ! 10
Q
50
= 0 ! Q = 500; P = 5
5
C2
110
Paniere delle dotazioni
Vincolo di bilancio
-1,1
100
P
10
C1
Curva di domanda inversa
Tratto elastico della curva di domanda
Equilibrio iniziale
6
5
Tratto anelastico della
curva di domanda
Elasticità unitaria
400
500
1000
Q
Andamento della spesa totale
ST
2500
2400
400
500
1000
Q
Esercizio 2. Il signor Tettys Cicada non ha alcun reddito nel 2010 (M1 = 0), ma
sa già che nel 2011 guadagnerà un reddito pari a 110 (M2 = 110). Il pane del 2010
(C1 , in ascissa) e quello del 2011 (C2 ) hanno prezzo pari a 1; il tasso di interesse è
del 10% (r = 10%); le preferenze di Tettys sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U (C1 ; C2 ) = C10:7 C20:7 . (1) Rappresentate gra…camente il vincolo di
bilancio intertemporale di Tettys, indicando i valori di intercetta, l’inclinazione ed il
paniere delle dotazioni. (2) Individuate la scelta ottima di Tettys. Dite anche quanto
risparmia, o di quanto si indebita Tettys nel 2010. (3) Calcolate la domanda di pane
nel 2010 in funzione di M2 ed r.
Soluzioni. (1) Il vincolo di bilancio intertemporale (in valore futuro) del consumatore è
(1 + r)C1 + C2 = (1 + r)M1 + M2
da cui
C2 =
1; 1C1 + 110
6
(2) Stante la forma delle preferenze di Tettys, da cui si ricava un saggio marginale
di sostituzione
0;7 C2
UC1
C2
M RS = M
M UC2 = 0;7 C1 = C1 ;
il paniere ottimo è ottenuto risolvendo il sistema
vincolo di bilancio
!
condiz di tangenza
C2 =
C2
C1
1; 1C1 + 110
!
=1+r
2; 2C1 = 110
C2 = 1; 1C1
da cui
C1 = 50
C2 = 55
ed il livello di indebitamento di Tettys è quindi pari a
S = M1
C1 =
C2
110
50
Paniere delle dotazioni
Vincolo di bilancio
55
E*
-1,1
50
100
C1
(3) La domanda di pane del 2010 si ottiene risolvendo un sistema analogo a quello
al punto (2), mantenendo incogniti il reddito nel secondo periodo ( M2 ) e il tasso di
interesse (r) da cui
vincolo di bilancio
!
condiz di tangenza
C2 =
(1 + r)C1 + M2
! C1 =
=1+r
C2
C1
M2
2(1+r)
Esercizio 3. La Medium Job fa settimanalmente colloqui di lavoro per assumere
i dipendenti del suo nuovo stabilimento. I candidati si presentano tutti vestiti allo
stesso modo e con lo stesso curriculum, ma metà di essi sono più e¢ cienti degli altri. La Medium Job sa questa cosa ma non riesce in alcun modo a distinguere tra
le due tipologie di candidati. (1) Discutete il problema fronteggiato dalla Medium
Job e rappresentate questa situazione con le categorie economiche che conoscete. (2)
L’incapacità di distinguere tra le tipologie di candidati incida sui contratti o¤erti
dalla Medium Job? In che modo? Rispondete alla domanda speci…cando le differenze tra quanto vi aspettate che accada nella situazione qui descritta e quanto
si veri…cherebbe se la Medium Job riuscisse a distinguere i candidati. (3) Quale
soluzione potrebbero ideare la Medium Job e i candidati più e¢ cienti per tentare di
risolvere il problema discusso al punto precedente?
Soluzioni. (1) Questo è chiaramente un problema di informazione asimmetrica, in particolare di informazione nascosta. Una delle due parti dello scambio
7
(l’acquirente, Medium Job) è meno informata dell’altra (i candidati) circa la qualità dell’oggetto che si sta per scambiare (l’e¢ cienza delle prestazioni lavorative). La
prima parte (Medium Job) ottiene risultati diversi a seconda della qualità dell’oggetto
scambiato (lavoro), ma non è in grado di conoscere tale qualità, a di¤ erenza dell’altra
parte, verosimilmente a causa di un comportamento di coloro che sono caratterizzati da qualità bassa (bassa e¢ cienza). Da non confondere il caso di con “azione
nascosta” (asimmetria di informazione sul comportamento tenuto da una delle parti
durante l’esecuzione di un contratto).
(2) Se la Medium Job potesse distinguere i candidati, sarebbe disposta a pagare di
più i lavoratori più e¢ cienti: si formerebbero due mercati separati per le due qualità,
e sul mercato della qualità migliore sia la curva di domanda sia quella d’o¤ erta sarebbero spostate più in alto rispetto all’altro mercato, con un conseguente maggior prezzo
di equilibrio. Non potendo distinguere i candidati, per ogni diversa quantità di lavoro
la Medium Job sarà disposta ad o¤ rire una paga pari ad una media ponderata fra il
prezzo alto e quello basso che vorrebbe pagare in caso di informazione simmetrica: i
pesi della media sono inizialmente 1/ 2 e 1/ 2, poiché Medium Job sa che questa è la
proporzione dei due tipi. In altri, termini, la Medium Job si presenta sui due mercati
con la medesima curva di domanda. Ma ora i lavoratori più e¢ cienti si o¤ riranno in
minor numero, perché si vedono o¤ rire una paga inferiore a quella che avrebbero nel
caso di informazione simmetrica. In maniera simmetrica i lavoratori meno e¢ cienti
si o¤ riranno in maggior numero, perché si vedono o¤ rire una paga superiore a quella
che avrebbero nel caso di informazione simmetrica. Dunque le proporzioni dei due
tipi di lavoratori assunti cambiano, a favore della quota dei meno e¢ cienti: se, dopo
aver sperimentato l’e¤ ettiva qualità dei suoi lavoratori, la Medium Job deduce che la
probabilità di trovare lavoratori e¢ cienti è inferiore a 1/ 2, la settimana successiva
abbasserà la paga o¤ erta. Procedendo così, sul mercato potrebbero rimanere solo lavoratori poco e¢ cienti e con paga bassa (“selezione avversa”): è scomparso il mercato
dei lavoratori più e¢ cienti, e con esso il relativo surplus sociale, che sarebbe invece
esistito in caso di informazione simmetrica.
(3) E’ interesse dei lavoratori più e¢ cienti convincere la Medium Job di essere
tali. Un modo ‘economicamente’e¢ cace per fornire una ‘garanzia’alla Medium Job
è essere disposti ad accettare un contratto in cui, per esempio, vengono inizialmente
pagati con paga elevata, ma poi accetteranno un’ampia riduzione di paga (scendendo
sotto la paga di un lavoratore non e¢ ciente) se si scopre che non sono e¢ cienti.
I lavoratori non e¢ cienti non accetterebbero un contratto di questo tipo, in quanto
sono certi che dovranno poi accettare una paga inferiore al loro valore. Accettare quel
contratto è dunque un ‘segnale’ credibile di qualità elevata.
Esercizio 4. Si discuta del modello di scelta sotto incertezza. In particolare: (1)
si de…niscano le nozioni di variabile casuale, o lotteria, valore atteso e varianza, spiegando quali caratteristiche del problema di scelta le due ultime misurano; (2) si
de…nisca la nozione avversione al rischio, usando solo le nozioni individuate al punto
precedente e senza fare gra…ci; (3) si de…nisca la nozione di utilità attesa; utilizzando
il “principio dell’utilità attesa”, si dimostri che una funzione di utilità concava rappresenta e¤ettivamente le preferenze di un avverso al rischio.
Soluzioni. (1) Si parla di scelta sotto incertezza quando gli esiti delle proprie
scelte non sono noti con certezza nel momento in cui le si prende, vale a dire che
dopo aver compiuto una scelta interviene ancora qualche evento casuale in grado
di in‡uenzare l’esito. L’esito stesso, dunque, può essere visto come una variabile
8
casuale, cioè una variabile che potrà assumere uno tra un certo numero di valori,
ciascuno con una certa probabilità. La probabilità di ognuno dei valori è un numero
compreso fra zero e uno; una probabilità maggiore indica che c’è maggior …ducia che
nella possibilità che quel valore si veri…chi. Una lotteria è una variabile casuale i cui
valori sono somme monetarie. Il valore atteso (VA) di una lotteria è il valore che in
media ci si aspetta di vincere, e si calcola come media ponderata dei diversi valori,
con pesi dati dalle corrispondenti probabilità. La varianza di una lotteria misura il
suo rischio, vale a dire il fatto che con quella lotteria si possa vincere molto ma anche
perdere molto; la varianza è la media ponderata (con le probabilità) delle distanze al
quadrato dei diversi esiti dal loro valore atteso.
(2) Si dice avverso al rischio un soggetto che fra due lotterie con il medesimo
valore atteso preferisce quella con minor varianza.
(3) Se un soggetto può fruire di una certa somma monetaria, per valutare il suo
benessere non usiamo la somma monetaria, ma l’utilità che quel soggetto ricava dalla
somma monetaria stessa. Una funzione di utilità è una funzione che dice qual è il
livello di utilità (un numero) che corrisponde al possesso di ogni possibile somma
monetaria. È ragionevole supporre che una funzione di utilità sia crescente. Allora,
un soggetto che a¤ ronta una lotteria è interessato non tanto alle somme monetarie
che potrà ottenere quanto alle utilità che ne deriveranno. Ecco allora che la variabile
casuale che davvero interessa a quel soggetto è in termini di utilità: una variabile casuale con valori pari alle utilità delle diverse somme monetarie, e con probabilità pari
alle corrispondenti somme monetarie stesse. Essendo l’utilità una variabile casuale,
se ne può calcolare il valore atteso, che si chiama utilità attesa (UA). Il principio
dell’utilità attesa a¤ erma che ogni soggetto, di fronte a diverse lotterie, sceglie quella
che gli dà massima utilità attesa. Se la funzione di utilità di un individuo è concava,
gli archi giacciono sopra la corrispondente corda (vedi gra…co)
U
U(A)
U(VA)
UA
U(B)
B
VA
A
M
In questo caso l’individuo preferisce strettamente disporre con certezza della somma
VA piuttosto che partecipare ad una lotteria con analogo valore atteso; infatti
U (V A) > U A
Dato che la varianza associata all’opzione "disporre con certezza della somma VA" è
nulla mentre la varianza associata all’opzione "partecipare ad una lotteria con esito
atteso VA" è positiva, l’individuo è e¤ ettivamente avverso al rischio.
9
p
Esercizio 5. La funzione di utilità di Antonio è data da U (X) = Xdove X
indica il reddito percepito. Antonio ha due possibilità lavorative: diventare un
impiegato di banca ed ottenere 100 euro/ora; avviare un’attività in proprio
ed ottenere 400 euro/ora nel 20% dei casi (25 euro/ora altrimenti). (1) Caratterizzate l’atteggiamento di Antonio rispetto al rischio e calcolate il reddito orario che
Antonio si aspetta di ottenere nelle due opzioni lavorative. (2) De…nite e calcolate
l’utilità attesa di Antonio in corrispondenza delle due opzioni lavorative. In base ai
risultati ottenuti, quale carriera verrà scelta? (3) Mario è neutrale al rischio mentre
Alberto è amante del rischio. Qualora venissero loro o¤erte le medesime opzioni lavorative presentate ad Antonio, cosa deciderebbero di fare? Argomentate la risposta.
Soluzioni. (1) Dal momento che Antonio si caratterizza per una funzione di
utilità crescente e concava,
dU (X)
dX
= 21 X
0:5
> 0e
d2 U (X)
(dX)2
=
1
4X
1:5
< 0;
egli è avverso al rischio. Nel caso in cui scelga la prima opzione lavorativa Antonio
otterrà con certezza 100 euro/ora. Il valore atteso del reddito in corrispondenza della
seconda opzione è invece
EV2 = (400)
20% + 25
80% = 80 + 20 = 100
(2) L’utilità attesa associata alle due opzioni lavorative è
EU1 = U (100) = 10
EU2 = U (400)
20% + U (25)
80% = 4 + 4 = 8
Dato che EU1 > EU2 Antonio preferirà la carriera di impiegato di banca. Trattandosi
di individua avverso al rischio, dovendo scegliere tra due lotterie caratterizzate dal
medesimo valore atteso sceglie sempre quella a minor varianza.
(3) Dato che le due carriere si caratterizzano per il medesimo valore atteso, gli
individui neurali al rischio, come Mario, saranno indi¤ erenti tra le due prospettive
lavorative mentre quelli amanti del rischio, come Antonio, preferiranno certamente
la seconda prospettiva alla prima.
Esercizio 6. Nel Paese A ci sono due gruppi di consumatori
p (gruppo 1 e gruppo 2)
caratterizzati dalla medesima funzione di utilità U (M ) = M , dove M = 36 euro è
il livello iniziale di ricchezza di ciascun consumatore. Entrambi i gruppi sono esposti
ad una perdita di 20 euro ma la stessa si veri…cherà nel 50% dei casi per i consumatori
del primo gruppo e solo nel 10% dei casi per quelli del secondo gruppo. (1) Come
si può caratterizzare l’atteggiamento dei due gruppi di consumatori rispetto al rischio? Calcolate il valore atteso e l’utilità attesa per le due categorie di consumatori.
(2) Fornite una rappresentazione gra…ca della funzione di utilità dei due gruppi di
consumatori e riportate i valori calcolati al punto precedente. (3) Qual è la massima cifra che i consumatori appartenenti al primo gruppo sono disposti a versare
per assicurarsi integralmente contro il rischio di subire la perdita? Vi aspettate che
i consumatori del secondo gruppo siano disposti a versare la stessa cifra, una cifra
maggiore o una cifra inferiore? Argomentate la risposta.
10
Soluzioni. (1)-(2) Dal momento che i due gruppi di consumatori si caratterizzano per la medesima funzione di utilità e che la suddetta risulta crescente e concava,
dU (M )
dM
= 12 M
0:5
> 0e
d2 U (M )
(dM )2
1
4M
=
1:5
< 0;
si tratta di individui avversi al rischio. Il valore atteso (EV) è de…nito come a somma
di tutti i possibili risultati di una lotteria, ponderata in funzione delle rispettive probabilità di veri…carsi. Per quanto concerne il primo gruppo di consumatori, essi si
attendono una ricchezza pari a
EV1 = (M
20)
50% + M
50% = 36
10 = 26
90% = 36
2 = 34
mentre il secondo gruppo di consumatori
EV2 = (M
20)
10% + M
Con riferimento all’utilità attesa, il primo gruppo di consumatori ha
EU1 = U (M
20)
50% + U (M )
50% = 2 + 3 = 5
mentre il secondo
EU2 = U (M
20)
10% + U (M )
90% =
2
5
+
27
5
=
29
5
Gra…camente
U(M)
Funzione di
utilità
6
EU2
EU1
4
16
EV1
EV2 36
M
(3) Dal momento che i consumatori del primo gruppo otterrebbero un’utilità pari
ad EU1 avendo a disposizione con certezza una somma pari a 25
p
EU1 = U (X) ) 5 = X ) X = 25;
ne consegue che saranno disposti a versare …no ad un massimo di 11 euro
M
X = 36
25 = 11
per assicurarsi contro il rischio di perdite. Tale assicurazione infatti garantirà loro
una ricchezza disponibile pari a 25 in qualunque stato del mondo.
(4) Pur essendo caratterizzati dalla medesima avversione al rischio, i consumatori del secondo gruppo sono meno esposti al rischio di perdite; conseguentemente la
somma massima che saranno disposti a versare per un’assicurazione contro il rischio
di perdite sarà certamente inferiore a quella trovata al punto 3.
11
Esercizio 7. Il signor Pavido possiede una ricchezza iniziale W=15, ma quest’anno
potrebbe evadere le tasse ottenendo un incremento di ricchezza pari a 8. Se però
venisse scoperto, fermo restando l’aumento di ricchezza, subirebbe una multa pari
a 16. La probabilità di essere scoperto è 34 . Le preferenze di Pavido per la ricchezza sono rappresentate dalla funzione di utilità U(W) =W2 : (1) Rappresentare
in un opportuno gra…co la funzione di utilità di Pavido, il livello di utilità derivante
dalla ricchezza iniziale (W=15), e l’utilità attesa derivante dall’evasione. Determinate se Pavido sceglie di evadere o meno. (2) Rappresentate sul medesimo gra…co
l’equivalente certo della scelta di evadere da parte di Pavido, e il suo premio per il
rischio. (3) Supponete ora che la multa che Pavido deve pagare se la sua evasione è
scoperta sia 8, e non 16: la scelta di Pavido cambia? Perché?
Soluzioni (1). L’utilità derivante dalla ricchezza iniziale, cioè nel caso di non
evasione è 152 = 225: Se Pavido evade può …nire con ricchezza …nale 23 oppure 7,
con probabilità rispettivamente 14 e 43 (come visto prima, la ricchezza attesa EV è
11). Le utilità dei due casi sono 23 2 =529 e 7 2 =49, per cui l’utilità attesa in caso
di evasione è
1
3
EU = 529
+ 49
= 169 :
4
4
L’utilità attesa nel caso in cui Pavido decida di evadere è inferiore a quella associata
allìevasione; quindi Pavido, pur essendo propenso al rischio, deciderà di non evadere.
Gra…camente:
(2) L’equivalente certo di una situazione incerta è il livello di ricchezza che, se
posseduto con certezza, darebbe al decisore la medesima utilità della situazione incerta. Nel nostro caso l’utilità attesa della situazione incerta (evadere) è 169, e
dunque l’equivalente certo è una cifra CE tale che U(CE) = 169, cioè CE 2 = 169,
da cui CE = 13. Il premio per il rischio relativo ad una certa situazione incerta è la
di¤ erenza fra il suo valore atteso EV e il suo equivalente certo CE, quindi nel nostro
caso è EV-CE = 11-13 = -2. Si veda il gra…co precedente.
(3) Se la multa fosse 8, in ogni caso la ricchezza minima con cui Pavido potrebbe
rimanere sarebbe 15 (se evadendo fosse scoperto). Dunque i due livelli di utilità in
caso di evasione sarebbero 15 2 =225 e 23 2 =529, la cui media (EU) è comunque maggiore di 225, l’utilità di non evadere. Quindi evaderebbe.
Esercizio 8. Il signor Ardito possiede una ricchezza iniziale W=169, ma quest’anno
potrebbe evadere le tasse ottenendo un incremento di ricchezza pari a 120. Se però
12
venisse scoperto, fermo restando l’aumento di ricchezza, subirebbe una multa pari
a 240. La probabilità di essere scoperto è 12 . Le preferenze di Ardito per la ricchezza sono rappresentate dalla funzione di utilità U(W) =W0:5 . (1) Rappresentare
in un opportuno gra…co la funzione di utilità di Ardito, il livello di utilità derivante
dalla ricchezza iniziale (W=169), e l’utilità attesa derivante dall’evasione. Determinate se Ardito sceglie di evadere o meno. (2) Rappresentate sul medesimo gra…co
l’equivalente certo della scelta di evadere da parte di Ardito, e il suo premio per il
rischio. (3) Supponete ora che la multa che Ardito deve pagare se la sua evasione è
scoperta sia 120, e non 240: la scelta di Ardito cambierebbe, e perché?
p
Soluzioni. (1) L’utilità derivante dalla ricchezza iniziale è 169 = 13. Come
argomentato sopra, questa è anche l’utilità del valore atteso (EV) della “lotteria” di
evadere. Se evade potrebbe …nire con ricchezza …nale 169+120=289
oppurep169+120p
240=49, con probabilità 12 : le utilità in questi due casi sono 289=17 e 49=7 per
cui l’utilità attesa in caso di evasione è
EU = 17
1
+ 7
2
1
= 12 :
2
Dunque l’utilità attesa in caso di evsione è inferiore a quella in caso di non evasione.
Gra…camente
(2) L’equivalente certo di una situazione incerta è il livello di ricchezza che, se
posseduto con certezza, darebbe al decisore la medesima utilità della situazione incerta. Nel nostro caso l’utilità attesa della situazione incerta (evadere)
è 12, e dunque
p
l’equivalente certo è una cifra CE tale che U(CE) = 12, cioè CE = 12, da cui CE
= 144. Il premio per il rischio relativo ad una certa situazione incerta è la di¤ erenza
fra il suo valore atteso EV e il suo equivalente certo CE, quindi nel nostro caso è
EV-CE = 169-144 = 15. Si veda il gra…co precedente.
(3) Se la multa fosse 120, in ogni caso la ricchezza minima con cui Ardito potrebbe
rimanere sarebbe 169 (se evadendo
fosse p
scoperto). Dunque i due livelli di utilità in
p
caso di evasione sarebbero 289=17 e 169=13, la cui media (EU) è comunque
maggiore di 13, l’utilità di non evadere. Quindi evaderebbe.
Esercizio 9. Esistono due qualità di bulbi di tulipano: qualità alta e bassa. Il
costo marginale di produzione (lineare crescente in entrambi i casi [cioè le curve di
o¤erta sono crescenti e lineari]) e la disponibilità a pagare (lineare decrescente in
entrambi i casi [cioè le curve di domanda sono decrescenti e lineari]), sono maggiori
per la qualità alta che per quella bassa. (1) Individuate l’equilibrio dei due mercati
13
nel caso di informazione simmetrica. (2) Immaginate invece che i consumatori non
sappiano distinguere la qualità dei bulbi che stanno per acquistare, ma che lo scoprano solo dopo la …oritura. Essi sanno che i bulbi possono essere sia di alta sia di
bassa qualità, e inizialmente ritengono che la probabilità di trovarne uno buono sia
1
2 . Spiegate che problema si crea, e come si modi…ca l’equilibrio dei mercati rispetto
al punto precedente. (3) Dite cosa possono fare i venditori di bulbi di buona qualità
per risolvere il problema di cui al punto precedente.
Soluzioni. (1) Dalla descrizione precedente, e dai commenti tra le parentesi
quadre, ricaviamo facilmente i gra…ci per i due mercati:
Il gra…co di sinistra rappresenta il mercato della qualità alta, dove o¤ erta e domanda
(rispettivamente S A e D A ) sono curve più alte rispetto a o¤ erta e domanda del gra…co
di destra (rispettivamente S B e D B ). Le quantità di equilibrio sui due mercati sono,
rispettivamente, X e Y; il prezzo di equilibrio della qualità alta è maggiore di quello
della qualità bassa.
(2) È il caso tipico di informazione nascosta. Non potendo distinguere le qualità, i consumatori saranno disposti a pagare, per ogni bulbo, un prezzo intermedio
(esattamente a metà, data l’ipotesi sulle probabilità pari a 1/2) fra il prezzo alto e
quello basso che pagherebbero per le due qualità sa sapessero individuarle. Dunque su
entrambi i mercati esiste ora una sola curva di domanda D M , intermedia fra la D A
e la D B dei due precedenti mercati. Come si vede dal gra…co successivo, le quantità
di equilibrio si modi…cano
Infatti, la domanda che si presenta sul primo (secondo) mercato è ora più bassa
(alta) di prima, e dunque la quantità di equilibrio del primo (secondo) mercato è ora
inferiore (superiore) a prima. Questo cambiamento induce i consumatori a pensare
14
che ora la probabilità di trovare un bulbo di bassa qualità sia maggiore, e dunque
la curva di domanda intermedia D M si sposta ulteriormente verso il basso, facendo
diminuire la quantità di equilibrio su entrambi i mercati. Ma sul mercato della bassa
qualità la quantità scambiata in proporzione si riduce meno che sull’altro mercato
(provare sul gra…co per credere), e dunque la proporzione di bulbi di bassa qualità
scambiati aumenta ulteriormente, facendo ancora abbassare la curva D M . Il fenomeno continua sino al punto in cui la D M si sposta così in basso che sul mercato della
qualità alta non si scambiano più bulbi. Questo problema è noto come problema di
selezione avversa: solo i bulbi di bassa qualità vengono scambiati.
(3) Possono chiedere un prezzo elevato, ma o¤ rendo in cambio una garanzia: se,
una volta …orito, il tulipano sarà brutto gli acquirenti verranno rimborsati (magari
con gli interessi). Siccome per i venditori della bassa qualità non è conveniente o¤ rire
tale garanzia, visto che di sicuro il tulipano sarà brutto, ecco che questo meccanismo
di segnalazione può risolvere il problema e ristabilire un esito analogo a quello che si
aveva in presenza di informazione simmetrica.
Esercizio 10. Il signor Bonaventura sa che quest’anno avrà un reddito pari a 2.000
(M1 = 2.000), e l’anno prossimo un reddito pari a 2.340 (M2 = 2.340). Con tali redditi Bonaventura può acquistare pane odierno (C1 ) e pane futuro (C2 ). Il prezzo dei
beni di consumo è costante nel tempo e pari a 1 (p1 =p2 = 1). Il tasso di interesse è
l’8% (r = 8%; cioè r = 0,08). Le preferenze di Bonaventura sono rappresentate dalla
funzione di utilità U (C1 ; C2 ) = C10:6 C20:4 . (1) Si rappresenti gra…camente il vincolo
di bilancio intertemporale di Bonaventura, indicando con precisione le “dotazioni iniziali”, l’inclinazione e le intercette. (2) Si calcolino le quantità di pane odierno e
pane futuro scelte da Bonaventura per massimizzare la sua utilità, riportandole sul
gra…co di cui al punto precedente; spiegare se Bonaventura risparmia o si indebita,
motivando ciò sulla base della forma della sua funzione di utilità. Se la funzione di
utilità di Bonaventura fosseU (C1 ; C2 ) = C10:4 C20:6 , vi aspettereste che la sua scelta in
termini di risparmio o indebitamento sia la stessa? Non occorre rifare i calcoli.
Soluzioni. (1) Il vincolo di bilancio intertemporale (espresso in valori futuri) è
dato da:
M1 (1 + r) + M2 = C1 p1 (1 + r) + C2 p2
vale a dire, usando i dati proposti nell’esercizio:
C2 = 4500
C1
1; 08
Non si riporta il gra…co, ma solo i numeri: in ascissa e ordinata ci sono rispettivamente le quantità dei due beni C 1 e C 2 . Ne segue che: l’intercetta verticale del
vincolo di bilancio intertemporale è (0; 4500); l’intercetta orizzontale è (4166,67; 0);
la pendenza è -(1+r) = -1,08; il paniere delle dotazioni iniziali coincide con il valore
dei redditi nei due periodi (2000; 2340).
(2) La scelta ottima di Bonaventura si ottiene risolvendo il seguente sistema
C2 = 4500 C1 1; 08
! C1 = 2500; C2 = 1800
M RS = 1 + r
Dato che C1 >M1 , Bonaventura si indebita per 500.
(3) Invertendo i due esponenti, le preferenze di Bonaventura si invertono, e il
consumatore dà maggiore importanza al consumo futuro: ci si attende allora che
15
Bonaventura voglia trasferire consumo al futuro, dunque risparmiando nel primo periodo anziché indebitandosi.
Esercizio 11. Un individuo dispone di 24 ore di tempo libero, di cui può godere
oppure a cui può rinunciare lavorando. Se lavora, la paga oraria è w; con il reddito
ottenuto può comprare un bene il cui prezzo è p. Per il nostro individuo tempo libero
e bene di consumo sono complementi perfetti. (1) Rappresentate il vincolo di bilancio dell’individuo, esplicitandone inclinazione e intercette. (2) Rappresentate alcune
curve di indi¤erenza dell’individuo, spiegando bene il perché di quella forma. Individuate la scelta ottima dell’individuo. (3) Supponete che il prezzo del bene di consumo
aumenti passando a p’> p . Come si modi…ca la scelta ottima dell’individuo?
Soluzioni. (1) Il vincolo di bilancio del nostro individuo è costituito da tutte
le combinazioni dei bue beni (tempo libero e consumo) che egli si può permettere
tenendo conto dei dati, cioè della sua dotazione di 24 ore di tempo libero, del salario
orario e del prezzo del bene. Il vincolo di bilancio si rappresenta in un gra…co i cui
assi misurano le quantità di tempo libero (ascissa) e di bene di consumo (ordinata).
Indichiamo con N il tempo libero, con Y il consumo di tutti gli altri beni, e con L le
ore dedicate ad attività lavorativa. Il vincolo di bilncio è
wL = pY ! Y = (w=p)L
dove, ricodando che L=24-N e sostituendo
Y = (w=p)(24
N)
L’intercetta orizzontale è (24;0); questo è anche il paniere delle dotazioni del nostro
consumatore. L’intercetta verticale è (0; 24w/p). La pendenza del vincolo di bilancio
è –w/p. Lascio a voi la rappresentazione gra…ca.
(2) Se i beni sono complementi perfetti, l’utilità dell’individuo non aumenta se (a
partire dal vertice di una curva di indi¤ erenza) viene aumentata la quantità di uno
solo dei due beni. Data l’usuale forma della funzione di utilità per questo caso (forma
a "L") ovvero U(N, Y) = min(aN;bY), dove a e b sono parametri positivi. Ad esempio
se il consumatore volesse consumare un’ora di tempo libero con un’unità di bene di
consumo la funzione di utilità risultarebbe U(N,Y)=min(N;Y) e si caratterizzerebbe
per una retta dei vertici coincidente con la bisettrice del primo quadrante. Una volta
tracciata la retta dei vertici - che nel caso di consumo in rapporto …sso 1:1 coincide
con la bisettrice e ha pendenza 1 - possiamo rappresentare la mappa di curve di
indi¤ erenza richiesta dall’esercizio.
La scelta ottima dell’individuo consiste nel paniere appartenente al vertice dell
curva di indi¤ erenza più alta raggiungibile stante il suo vincolo di bilancio e si ottiene
risolvendo il sistema
Y = (w=p)(24 N )
Y =N
da cui si ottiene N = 24w=(w + p) = Y .
(3) Se il prezzo del bene Y aumenta, l’inclinazione del vincolo di bilancio in
valore assoluto, w/p’, diminuisce; il vincolo di bilancio, cioè, diviene più orizzontale.
Si noti però (vedi il punto a) che l’intercetta orizzontale non si modi…ca, perché non
dipende dal prezzo del bene Y, mentre quella verticale diminuisce diventando pari
a (0; 24w/p’). Dato che il prezzo del ebne Y è aumentato, il potere d’acquisto del
consumatore si è ridotto. Per la legge della domanda essendo aumentato il prezzo del
bene Y il consumatore ne acquistarà meno unità. Inoltre, dato che il consumatore
16
consuma il bene Y ed il tempo libero in un rapporto …sso (beni complementari) e
potendo acquistare un minor numero di unità di bene Y, il consumatore ridurrà anche
le unità di tempo libero consumate. La nuova scelta ottima si caratterizza quindi per
un minor quantitativo sia di bene di consumo che di tempo libero. Ancora una volta,
lascio a voi il gra…co.
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