ESERCIZI SU COULOMB (PARTE 2)
6.
(Walker p38 n12,13) Dati q = 12 μC e d = 16 cm trova il verso ed il modulo della forza elettrostatica
esercitata sulla carica puntiforme q1 . Trova verso e modulo della forza elettrostatica esercitata su
q2 . Dire come cambierebbe la precedente risposta se la distanza d fosse triplicata.
Risposta:
La forza su q1 si calcola applicando il principio di sovrapposizione e considerando di volta in volta
le coppie q1 , q2 come se q 3 non ci fosse, e poi q1 , q 3 come se q2 non ci fosse. Dopo sommeremo i
due contributi:
q1 = q
| (−2q )q | 2kq 2
F12 = k
= 2
d2
d
F12
d
q 2 = − 2q
F21
F13
q 3 = 3q
d
F23
| (3q )q | 3kq 2
F13 = k
=
ù
(2d )2
4d 2
Scegliendo un asse delle ascisse orientato verso destra abbiamo:
F1 = F12x + F13x = −
2kq 2
3kq 2
5kq 2
+
=− 2
2
2
d
4d
4d
Calcolando il fattore
F1 = −
kq 2
8.99 × 109 × 122 × 10−12
8.99 × 122
=
=
× 10−12+9+4 = 50.5 , si ha:
2
−2 2
d2
16
(16 × 10 )
5kq 2
= −1.25 × 50.5 = −63.1 N
4d 2
Per la carica q2 abbiamo:
| (−2q )q | 2kq 2
F21 = k
= 2
d2
d
F2 = F21x + F23x = −
cioè F1 = −63.1 xˆ
| (−2q )(3q ) | 6kq 2
F23 = k
= 2
d2
d
2kq 2 6kq 2
4kq 2
+ 2 = 2 = 4 × 50.5 = 202 N
2
d
d
d
Triplicando la distanza il fattore d 2 fa scendere F2 ad
cioè
1
del valore
9
precedente.
7.
F2 = 202 xˆ
d
Due palloncini sferici, di raggio r = 0.2 m , sono pieni di un gas molto
più leggero dell’aria. Le loro superfici vengono caricate negativamente
per strofinio su di un panno di lana, e poi sono legati in terra come
indicato in figura. Se su ciascuno di essi si deposita una carica di
Q = −3.2 × 10−7 C , e se i due fili formano un angolo α tale che
α
tan = 0.3 , calcolare la distanza fra i centri dei due palloncini. Si
2
assuma per la densità dell’aria il valore ρ = 1.29 Kg/m 3 e si trascuri il
α
peso dei palloncini.
Risposta:
Vista la simmetria del problema, la forza elettrica FE fra i due palloncini deve essere diretta
orizzontalmente e all’equilibrio bilanciata dalla componente orizzontale della tensioneT del filo.
Verticalmente avremo la spinta di Archimede A diretta verso l’alto, pari al peso dell’aria spostata, e
poi e l’altra parte della tensione del filo.
A
Direzione verticale:
ρ Vg
α
4 πr 3g ρaria
A
= aria
=
A − T cos = 0 ⇒ T =
2
cos(α 2) cos(α 2) 3 cos(α 2)
Direzione orizzontale:
α
−FE + T sin = 0 ⇒
2
e tenendo conto che tan
d=
2
1 Q
4
α
= πr 3 ρaria g tan
4πε0 d 2
3
2
FE
α
= 0.3 possiamo ricavare:
2
α
2
T
Q2
3
⋅
=
3
4πε0 4πgr ρaria tan(α / 2)
= 9 × 109 ×
3 × (3.2 × 10−7 )2
≅ 0.09 m
12.56 × 9.8 × 0.23 × 1.29 × 0.3
(Analogo Walker p41 n59)
8.
Un palloncino sferico, pieno di aria, ha una massa di m = 4 × 10−3 Kg ed è
α
carico con una quantità Q1 = 1.5 × 10−6 C . Esso è appeso al soffitto in modo in
cui possa orbitare attorno ad una carica puntiforme negativa Q2 ancorata al
pavimento come in figura. Sapendo che l’angolo che il filo forma con la
verticale è α = 45° , che il filo è lungo a = 2.5 m e che il palloncino compie 30
a
Q1
Q2
giri in un minuto, trovare il valore di Q2 .
Risposta:
La forza elettrica F12 che Q2 esercita su Q1 deve, assieme alla componente orizzontale della tensione
T del filo, fornire la forza centripeta affinché Q1 compia 30 giri al minuto su di
un’orbita il cui raggio vale r = a sin 45° = 1.73 m .
Fotografando il moto sul piano del foglio, come in figura si ha sull’asse verticale:
T cos α − mg = 0 da cui T =
T
mg
.
cos α
Sull’asse orizzontale abbiamo: T sin α + FE = m
v2
.
r
Ricaviamo ora la velocità: sapendo che 30 giri al minuto sono 0.5 giri in un
secondo, il che corrisponde ad un periodo di 2 secondi, basterà dividere la
2πr
lunghezza 2πr di un giro per 2 secondi ed avere che v =
= πr m/s .
2
α
FE
mg
Sostituendo abbiamo:
mg
sin α
1 | Q1Q2 |
π2r 2
+
=m
2
cos α 4πε0 r
r
che risolta rispetto a
| Q2 |=
Q2 produce:
4πε0r 2
1.732
(mg tan α + m π2r ) =
× 4 × 10−3 (9.8 + 3.142 × 1.73) = 13.5 × 10−6 C
Q1
9 × 109 × 1.5 × 10−6
e quindi Q2 = −13.5 × 10−6 C
9.
(Walker p39 n59) Due palline di plastica
sono appese ad un filo di massa
trascurabile. Ogni pallina ha una massa
di 0.12 Kg ed una carica di intensità q .
Le palline sono attratte l’una dall’altra e
i fili a cui esse sono attaccate formano
un angolo di 20.0° con la verticale.
Trova il modulo della forza su ogni
pallina, la carica su ogni pallina e la
tensione di ognuno dei fili.
T
T
20.0°
20.0°
FE
2.05 cm
−FE
Risposta:
mg
mg
Per il principio di azione e reazione la forza elettrica è la stessa su entrambe le cariche. La simmetria
di tutto l’apparato impone poi che siano le stesse tanto la carica quanto la tensione sui due fili.
In direzione verticale abbiamo:
T cos 20.0° − mg = 0
T =
da cui
mg
0.12 × 10−3 × 9.8
=
= 1.3 × 10−3 N .
cos 20.0°
0.94
In direzione orizzontale, scegliendo la pallina a destra:
T sin 20.0° − FE = 0
(
)
FE = T sin 20.0 = 1.3 × 10−3 N × 0.34 = 4.3 × 10−4 N .
da cui
Uguagliando questo risultato all’espressione fornita dalla legge di Coulomb:
kq 2
8.99 × 109 q 2
=
= 4.34 × 10−5
2
d
(2.05 × 10−2 )2
da cui:
2
q=
4.3 × 10−4 (2.0 × 10−2 )
8.99 × 109
=
4.3 × 4.1 −4−4−9
10
= 1.96 × 10−17 = 0.191 × 10−16 = 0.44 × 10−8 C
8.99