&LUFRQIHUHQ]HFRUGHGLDPHWUL
/H]LRQH&LUFRQIHUHQ]HFRUGHGLDPHWUL
/DFLUFRQIHUHQ]D
Il terzo libro degli (OHPHQWL di Euclide è
interamente dedicato alla circonferenza e le sue
proprietà. Le principali definizioni riguardanti la
circonferenza sono le seguenti (facciamo
riferimento alla Figura 1):
• la circonferenza è una linea tale che tutti i
segmenti che hanno un estremo su di essa e
l’altro in un determinato punto (detto centro
della circonferenza, punto 2) sono uguali;
• il cerchio è la regione di piano delimitata
dalla circonferenza, che ne costituisce
quindi il contorno;
• il raggio è un segmento che ha un estremo
nel centro e l’altro in un punto della
circonferenza (come ad esempio 2));
)LJXUD/DFLUFRQIHUHQ]D
• la corda è un segmento avente gli estremi sulla
circonferenza (ad esempio ());
• il diametro è un segmento avente gli estremi sulla circonferenza e passante per il centro
(ad esempio $%);
• sono uguali i cerchi i cui diametri (o raggi) sono uguali;
• una retta è tangente a una circonferenza quando la incontra in un solo punto;
• una retta è secante a una circonferenza quando la incontra in due punti;
• due circonferenze sono tangenti quando hanno un solo punto in comune;
• il segmento circolare è una figura delimitata da un arco e dalla corda da questo sottesa
(come ad esempio la parte ombreggiata al di sopra della corda ());
• la figura delimitata dai due lati di un angolo avente vertice nel centro di un cerchio e
dall’arco che tali lati delimitano sulla circonferenza si chiama settore circolare (come la
figura ombreggiata 2&'; osserviamo che una coppia di raggi individua sempre due
archi sulla circonferenza, e quindi due settori circolari: uno corrispondente ad un
angolo minore dell’angolo piatto e l’altro corrispondente ad un angolo maggiore
dell’angolo piatto);
• l’angolo che ha il vertice nel centro di un cerchio si chiama DQJRORDOFHQWUR, quello
che ha il vertice sulla circonferenza si chiama DQJROR DOODFLUFRQIHUHQ]D.
/HSULPHSURSULHWj
Inizieremo lo studio della circonferenza con alcune semplici costruzioni geometriche
per la determinazione del centro di una circonferenza data e della circonferenza dati tre
punti di essa; mostreremo inoltre come il cerchio sia una figura convessa.
1
&LUFRQIHUHQ]HFRUGHGLDPHWUL
'HWHUPLQD]LRQHGHOFHQWURGLXQFHUFKLR
La prima proposizione del terzo libro degli (OHPHQWL è una costruzione geometrica volta
a trovare il centro di un cerchio; essa infatti recita semplicemente:
7URYDUHLOFHQWURGLXQFHUFKLRGDWR
Con riferimento alla Figura 2, in una circonferenza di cui
non si conosce il centro tracciamo una qualsiasi corda $%.
Costruiamo poi l’asse del segmento $%, che interseca la
circonferenza in & e '; il punto medio 2 del segmento &' è il
centro della circonferenza.
Infatti, procediamo per assurdo e supponiamo che il centro
della circonferenza non sia 2 ma un altro punto 3 interno al
cerchio. Uniamo 3 con gli estremi $ e % e con il punto medio
0 della corda che abbiamo tracciato. I due triangoli che si
vengono così a formare ($03 e 30%) sono uguali in virtù del
terzo criterio di uguaglianza. Infatti: $0 = 0% perché 0 è il
punto medio; 30 è in comune; 3$ = 3% perché abbiamo
supposto che 3 sia il centro della circonferenza. Ora, nei
triangoli uguali gli angoli delimitati dalle coppie di lati che si
π
corrispondono sono uguali, pertanto $0ˆ 3 = 30ˆ % = ,
2
ˆ
essendo la somma dei due pari all’angolo piatto $0% .
)LJXUD 'HWHUPLQD]LRQH GHO
ˆ
Anche l’angolo 20% è retto, essendo &' l’asse del FHQWUR
segmento $%. Osserviamo allora che l’angolo 30ˆ % è contenuto in 20ˆ % e tuttavia i due
angoli sono uguali, ciò che è in contraddizione con l’ottava nozione comune per cui il tutto
è maggiore della parte. Formalizziamo i passaggi della dimostrazione:
,SRWHVL: La costruzione di Figura 2; &' è l’asse della corda $%
il punto 3 diverso da 2 è il centro della circonferenza (tesi negata)
$0 = 0% (ipotesi)
30 = 30 (identità)
3$ = 3% (1)
i triangoli $03 e 30% sono uguali (2, 3, 4, terzo criterio di uguaglianza)
π
$0ˆ 3 = 30ˆ % = (5)
2
π
20ˆ % = (ipotesi)
2
20ˆ % = 30ˆ % (6, 7)
20ˆ % > 30ˆ % (1, VIII nozione comune)
contraddizione (8, 9)
7HVL: 2 è il centro della circonferenza (10)
Da questo teorema segue immediatamente il corollario:
,QXQFHUFKLRLOFHQWURDSSDUWLHQHDOO¶DVVHGLXQDTXDOVLDVLFRUGD
2
&LUFRQIHUHQ]HFRUGHGLDPHWUL
,OFHUFKLRqXQDILJXUDFRQYHVVD
Anche la seconda proposizione del terzo libro viene dimostrata per assurdo; essa
afferma la convessità della circonferenza. Ricordiamo che una figura si dice FRQYHVVD
quando – presi comunque due suoi punti – il segmento che li unisce è tutto interno alla
figura stessa; se invece è possibile trovare almeno una coppia di punti appartenenti alla
figura tali che il segmento di cui essi sono estremi contiene anche punti non appartenenti
alla figura, diremo che questa è FRQFDYD. Vale quindi il seguente teorema:
6HLQXQFHUFKLRVLSUHQGRQRVXOODFLUFRQIHUHQ]DGXHSXQWLDSLDFHUHLOVHJPHQWRFKH
OLXQLVFHFDGUjLQWHUQDPHQWHDOFHUFKLR
Per
la
dimostrazione
facciamo
riferimento alla Figura 3 e consideriamo
su una circonferenza di centro 2 due punti
$ e %. Supponiamo che la corda $% cada
fuori dal cerchio (è la linea tratteggiata
$&% in Figura 3 che ovviamente deve
essere rappresentata come una linea curva
dato che non sarebbe possibile disegnare
un segmento rettilineo che unisce due
punti della circonferenza e cade fuori di
essa). Prendiamo poi sul minore degli
archi $% un punto ' e prolunghiamo il
raggio 2' fino ad incontrare il segmento
$% in &.
Il teorema dell’angolo esterno applicato
al triangolo $2& ci dice che 2&ˆ % > 2$ˆ &
mentre, in virtù del teorema del triangolo )LJXUD'LPRVWUD]LRQHGHOODFRQYHVVLWjGHOFHUFKLR
isoscele, 2$ˆ % = 2%ˆ $ (il triangolo 2$% è
infatti isoscele poiché 2$ = 2% in quanto raggi); avremo pertanto 2&ˆ % > 2%ˆ & . Se
adesso applichiamo il teorema sui triangoli con angoli diversi al triangolo 2&% (ad angolo
maggiore sta opposto lato maggiore) abbiamo che 2% > 2& . Ma 2% = 2' poiché sono
entrambi raggi della circonferenza, e quindi 2' > 2& . Quest’ultima disuguaglianza è
però in contraddizione con l’ottava nozione comune, per cui il tutto (2&) deve essere
maggiore della parte (2').
Per lo stesso motivo non può neanche essere il punto & appartenente alla circonferenza,
quindi deve essere necessariamente interno. Formalizziamo i passaggi della dimostrazione:
,SRWHVL: La costruzione di Figura 3
il segmento $% passa esternamente alla circonferenza (tesi negata)
2&ˆ % > 2$ˆ & (teorema dell’angolo esterno, ipotesi)
2$ = 2% (ipotesi)
2$ˆ % = 2%ˆ $ (teorema del triangolo isoscele, 3)
2&ˆ % > 2%ˆ & (2, 4)
2% > 2& (teorema triangoli con angoli diversi, 5)
2% = 2' (ipotesi)
2' > 2& (6, 7)
2' < 2& (VIII nozione comune, 1)
contraddizione (8, 9)
3
&LUFRQIHUHQ]HFRUGHGLDPHWUL
7HVL: il segmento $% è interno alla circonferenza (10)
&RVWUX]LRQHGHOODFLUFRQIHUHQ]DSHUWUHSXQWL
Il corollario del teorema visto nel paragrafo 2.1 ci suggerisce un metodo per
determinare una circonferenza essendone dati alcuni punti; in particolare tre punti non
allineati identificano univocamente una e una sola circonferenza.
Abbiamo infatti visto che il centro della circonferenza
appartiene all’asse di una qualsiasi corda; se dunque
prendiamo tre punti non allineati $, % e & (Figura 4) essi
formeranno tre segmenti, di cui ne consideriamo due, ad
esempio $% e %&. Gli assi V ed U delle due corde non sono
paralleli e quindi si incontreranno in un unico punto 2. Ora,
il punto 2 appartiene all’asse di $% ed è quindi equidistante
da $ e da %, inoltre esso appartiene all’asse di %& ed è quindi
equidistante da % e da &; pertanto: $2 = %2 = &2 . Ciò
significa che i tre punti – essendo equidistanti da 2 –
appartengono ad una stessa circonferenza di centro 2.
Inoltre, poiché i due assi V ed U possono incontrarsi in un )LJXUD &LUFRQIHUHQ]D SHU WUH
solo punto, non vi sarà una seconda circonferenza diversa da SXQWL
quella di centro 2 e raggio $2 = %2 = &2 alla quale
appartengano $, % e &.
Questa costruzione geometrica è sostanzialmente la dimostrazione della decima
proposizione del terzo libro degli (OHPHQWL che recita:
8QDFLUFRQIHUHQ]DQRQWDJOLDXQ¶DOWUDFLUFRQIHUHQ]DLQSLGLGXHSXQWL
Una conseguenza importante di questo teorema è espressa dalla proposizione 24 del terzo
libro (la cui dimostrazione viene lasciata per esercizio), che recita:
6HJPHQWL FLUFRODUL SRVWL VX FRUGH XJXDOL GL XQD VWHVVD FLUFRQIHUHQ]D R GL
FLUFRQIHUHQ]HXJXDOLVRQRXJXDOLWUDORUR
A sua volta, da questa proposizione ne discende un altro gruppo, di cui non diamo la
dimostrazione, e che riassumiamo nella seguente proprietà:
,QXQDVWHVVDFLUFRQIHUHQ]DRLQFLUFRQIHUHQ]HXJXDOLDUFKLXJXDOLLQVLVWRQRVXDQJROL
DO FHQWUR XJXDOL H DUFKL FKH LQVLVWRQR VX DQJROL DO FHQWUR XJXDOL VRQRXJXDOLLQROWUH
DUFKLXJXDOLVRWWHQGRQRFRUGHXJXDOLHJOLDUFKLVRWWHVLGDFRUGHXJXDOLVRQRXJXDOLWUD
ORUR
5HOD]LRQHWUDXQDFRUGDHLOGLDPHWURSHUSHQGLFRODUH
Prendiamo in considerazione una qualsiasi corda di una circonferenza; la terza
proposizione del terzo libro degli (OHPHQWL asserisce che tra tutti i diametri che la
incontrano quello che passa per il suo punto medio è ad essa perpendicolare e, viceversa, il
diametro perpendicolare ad una corda la taglia nel suo punto medio. Vale cioè il seguente
teorema:
4
&LUFRQIHUHQ]HFRUGHGLDPHWUL
6HLQXQFHUFKLRXQDUHWWDFKHSDVVDSHULOFHQWURFLRqXQGLDPHWURGLYLGHSHUPHWj
XQD FRUGD FKH QRQ SDVVL SHU LO FHQWUR q DG HVVD SHUSHQGLFRODUH H VH q DG HVVD
SHUSHQGLFRODUHODGLYLGHDQFKHSHUPHWj
La dimostrazione di questo teorema si gioca tutta
sull’uguaglianza dei triangoli 2$( e 2%( (Figura
5), dove 2 è il centro della circonferenza. Nella
prima parte del teorema assumiamo per ipotesi che
$( = %( , inoltre 2$ = 2% in quanto raggi della
circonferenza e 2( è in comune. I triangoli 2$( e
2%( sono quindi uguali in virtù del terzo criterio.
π
Sarà dunque 2(ˆ $ = 2(ˆ % =
(poiché i due angoli
2
uguali, sommati insieme, formano un angolo
piatto).
Nella seconda parte del teorema sappiamo per
π
ipotesi che 2(ˆ $ = 2(ˆ % = , ciò che ci permette di
2
affermare che i triangoli 2$( e 2%( sono uguali, )LJXUD 'LDPHWUR SHUSHQGLFRODUH D XQD
essendo ancora 2$ = 2% in quanto raggi della FRUGD
circonferenza e 2( in comune (stavolta dobbiamo
invocare il secondo criterio di uguaglianza dei triangoli). Formalizziamo i passaggi della
dimostrazione iniziando dalla prima parte:
,SRWHVL: La costruzione di Figura 5 in cui $( = %(
2$ = 2% in quanto raggi (ipotesi)
2( = 2( (lato in comune)
i triangoli 2$( e 2%( sono uguali (terzo criterio di uguaglianza, ipotesi, 1, 2)
π
7HVL: 2(ˆ $ = 2(ˆ % = (E.C.T.U., 3)
2
Per quanto riguarda la seconda parte abbiamo:
π
,SRWHVL: La costruzione di Figura 5 in cui 2(ˆ $ = 2(ˆ % =
2
2$ = 2% in quanto raggi (ipotesi)
2( = 2( (lato in comune)
i triangoli 2$( e 2%( sono uguali (secondo criterio di uguaglianza, ipotesi, 1, 2)
7HVL: $( = %( (E.C.T.U., 3)
3URSULHWjGHOOHFRUGHLQUHOD]LRQHDOODORURGLVWDQ]DGDOFHQWUR
Le proposizioni 14 e 15 del terzo libro degli (OHPHQWL stabiliscono alcune importanti
proprietà delle corde di una circonferenza che si possono dedurre dalla loro distanza dal
centro, proprietà esprimibili in termini di uguaglianze e di disuguaglianze.
&RUGHXJXDOPHQWHGLVWDQWLGDOFHQWUR
In un cerchio possiamo tracciare molte corde uguali in posizioni diverse sulla
circonferenza, come pure possiamo tracciare molte corde aventi la stessa distanza dal
centro, anch’esse in posizioni diverse sulla circonferenza. La proposizione 14 stabilisce
5
&LUFRQIHUHQ]HFRUGHGLDPHWUL
che le due condizioni – stessa lunghezza e stessa distanza dal centro – sono equivalenti, nel
senso che se si verifica la prima si verifica anche la seconda e viceversa. Vale cioè il
seguente teorema:
,Q XQ FHUFKLR FRUGH XJXDOL GLVWDQR XJXDOPHQWH GDO FHQWUR H TXHOOH FKH GLVWDQR
XJXDOPHQWHGDOFHQWURVRQRXJXDOLWUDORUR
Per la dimostrazione facciamo riferimento alla Figura 6 Supponiamo dapprima che le
due corde abbiano la stessa lunghezza, cioè che $% = &' . Dai punti medi + e . delle due
corde tracciamo le perpendicolari alle corde stesse che – in base al teorema dimostrato nel
precedente paragrafo – passano per il centro della circonferenza. Consideriamo adesso i
triangoli rettangoli 2+% e 2.': i cateti +% e .' sono uguali perché metà delle corde
uguali per ipotesi, mentre le ipotenuse 2% e 2' sono uguali perché raggi della
circonferenza. I due triangoli saranno pertanto uguali in virtù del criterio di uguaglianza
generalizzato dei triangoli rettangoli e quindi lo saranno anche gli elementi corrispondenti
2+ e 2., distanze delle corde dal centro. Formalizziamo i passaggi della prima parte della
dimostrazione:
,SRWHVL: La costruzione di Figura 6 in cui $% = &'
2+ ⊥ $% (teorema precedente)
2. ⊥ &' (teorema precedente)
+% = .' (ipotesi)
2% = 2' in quanto raggi (ipotesi)
2+ˆ % = 2.ˆ ' (1, 2)
2+% = 2.' (criterio generalizzato uguaglianza triangoli rettangoli, 3, 4, 5)
7HVL: 2+ = 2. (E.C.T.U., 6)
Supponiamo invece di sapere per ipotesi
che 2+ = 2. . Nuovamente, prendiamo in
considerazione i triangoli 2+' e 2.' che –
sempre per il teorema dimostrato nel
precedente paragrafo – sono rettangoli.
Essendo i cateti 2+ = 2. per ipotesi e le
ipotenuse 2% = 2' poiché raggi, i due
triangoli sono uguali in base al criterio di
uguaglianza generalizzato dei triangoli
rettangoli. Saranno quindi uguali gli elementi
corrispondenti +% e .'. Ora, sempre in base
al teorema dimostrato nel precedente
paragrafo, la perpendicolare condotta dal
centro a una corda la divide a metà; pertanto
$% è il doppio di +% e &' è il doppio di .'.
&RUGH XJXDOPHQWH GLVWDQWL GDO
Ma abbiamo dimostrato che +% = .' , da cui )LJXUD
FHQWUR
si deduce che $% = &' . Ecco anche la
formalizzazione della prima parte della dimostrazione:
,SRWHVL: La costruzione di Figura 6 in cui 2+ = 2.
2+ ⊥ $% (teorema precedente)
2. ⊥ &' (teorema precedente)
2+ = 2. (ipotesi)
2% = 2' in quanto raggi (ipotesi)
6
&LUFRQIHUHQ]HFRUGHGLDPHWUL
2+ˆ % = 2.ˆ ' (1, 2)
2+% = 2.' (criterio generalizzato uguaglianza triangoli rettangoli, 3, 4, 5)
+% = .' (E.C.T.U., 6)
$% = 2 ⋅ +% (teorema precedente, ipotesi)
&' = 2 ⋅ .' (teorema precedente, ipotesi)
7HVL: $% = &' (8, 9)
&RUGHGLYHUVDPHQWHGLVWDQWLGDOFHQWUR
Se le corde che hanno la stessa distanza dal centro sono uguali, è logico aspettarsi che
corde diversamente distanti dal centro non lo siano. La proposizione 15 del terzo libro si
occupa proprio di questa situazione e fornisce un criterio per stabilire quale sia la maggiore
tra due corde diversamente distanti dal centro. Essa stabilisce inoltre il fatto che il diametro
sia maggiore di ogni altra corda non passante per il centro. Vale quindi il seguente
teorema:
,Q XQ FHUFKLR LO GLDPHWUR q OD FRUGD PDVVLPD H GHOOH DOWUH FRUGH TXHOOD FKH q SL
YLFLQDDOFHQWURqVHPSUHPDJJLRUHGLTXHOODSLORQWDQD
Separiamo la dimostrazione in due parti, iniziando
dalla deduzione che il diametro sia la corda massima.
Facendo riferimento alla Figura 7 sia $% una
qualunque corda non passante per il centro 2.
Consideriamo adesso il triangolo $2% e applichiamo ad
esso la disuguaglianza triangolare: $% < 2$ + 2% .
Riconosciamo facilmente che la somma dei due raggi 2$
e 2% è pari al diametro, pertanto la disuguaglianza scritta
è proprio la tesi della prima parte del teorema. .
Formalizziamo i passaggi di questa prima parte della
dimostrazione:
,SRWHVL: La costruzione di Figura 7 in cui la corda $% )LJXUD ,O GLDPHWUR q OD FRUGD
PDVVLPD
non passa per il centro 2
$% < 2$ + 2% (disuguaglianza triangolare, ipotesi)
2$ + 2% è il diametro
7HVL: la corda $% è minore del diametro
Per quanto riguarda la seconda parte del teorema,
consideriamo due corde $% e &' tali che la distanza 2+
della prima dal centro sia maggiore della distanza 2.
della seconda dal centro 2. Per prima cosa tracciamo una
corda $( di lunghezza pari a &' la cui distanza dal
centro sia 2/. Il teorema prima dimostrato sulle corde
ugualmente distanti dal centro (proposizione III, 14) ci
garantisce che 2/ = 2. ; potremo quindi sviluppare la
dimostrazione facendo riferimento la corda $( anziché a
&'. Essendo %2 = %( in quanto raggi, il triangolo %2(
è isoscele; pertanto %(ˆ 2 = 2%ˆ ( . D’altro canto
$(ˆ % < %(ˆ 2 essendone una parte, mentre $%ˆ ( > 2%ˆ ( )LJXUD /D FRUGD SL YLFLQD DO
poiché il primo angolo è dato dalla somma del secondo FHQWURqPDJJLRUHGHOODSLORQWDQD
7
&LUFRQIHUHQ]HFRUGHGLDPHWUL
con $%ˆ 2 . Riassumendo: $%ˆ ( > 2%ˆ ( = 2(ˆ % > $(ˆ % . Se dunque prendiamo in
considerazione il triangolo $%( possiamo applicare il teorema che dice che ad angolo
maggiore sta opposto lato maggiore e dedurre che $( > $% , e poiché era $( = &' ,
avremo infine &' > $% . Formalizziamo anche i passaggi della seconda parte della
dimostrazione:
,SRWHVL: La costruzione di Figura 8 in cui 2+ > 2. e $( = &'
2/ = 2. (teorema precedente, ipotesi)
%2 = 2( in quanto raggi (ipotesi)
%(ˆ 2 = 2%ˆ ( (teorema del triangolo isoscele, 2)
$(ˆ % < %(ˆ 2 (VIII nozione comune, ipotesi)
$%ˆ ( = 2%ˆ ( + $%ˆ 2 (ipotesi)
$%ˆ ( > 2%ˆ ( (5)
$%ˆ ( > $(ˆ % (6, 2, 4)
$( > $% (teorema triangolo con angoli disuguali, 7)
7HVL &' > $% (8, ipotesi)
9HULILFKHGLFRPSUHQVLRQH
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
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10.
11.
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14.
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18.
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20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
Quale libro degli (OHPHQWL è interamente dedicato alla circonferenza?
Come è definita la circonferenza?
Come è definito il cerchio?
Come è definito il raggio di una circonferenza?
Come è definita la corda di una circonferenza?
Come è definito il diametro di una circonferenza?
Quando due cerchi sono uguali?
Quando una retta è tangente a una circonferenza?
Quando una retta è secante a una circonferenza?
Quando due circonferenze sono tangenti tra loro?
Che cos’è il segmento circolare?
Che cos’è il settore circolare?
Quanti sono i settori circolari individuati su una circonferenza da una coppia di
raggi?
Come sono definiti l’angolo al centro e l’angolo alla circonferenza?
Cosa dice la prima proposizione del terzo libro degli (OHPHQWL?
Illustra la costruzione per trovare il centro di un cerchio dato.
Dimostra la prima proposizione del terzo libro degli (OHPHQWL.
Quale corollario segue dalla costruzione espressa nella prima proposizione del terzo
libro degli (OHPHQWL?
Che cos’è una figura convessa?
Come si chiama una figura non convessa?
Enuncia e dimostra il teorema che asserisce la convessità del cerchio.
Illustra la costruzione della circonferenza passante per tre punti non allineati.
Enuncia la decima proposizione del terzo libro degli (OHPHQWL.
Enuncia e dimostra il teorema sulla relazione tra una corda e il diametro ad essa
perpendicolare.
Enuncia e dimostra il teorema riguardante le corde equidistanti dal centro.
Qual è la massima corda che si può tracciare in una circonferenza?
Enuncia e dimostra il teorema sulle corde diversamente distanti dal centro.
8
&LUFRQIHUHQ]HFRUGHGLDPHWUL
3UREOHPL
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Dimostra che due corde di una circonferenza che non siano diametri non possono
mai dividersi scambievolmente per metà (6XJJHULPHQWR XQLVFL LO FHQWUR GHOOD
FLUFRQIHUHQ]DFRQLOSXQWRGLLQWHUVH]LRQHGHOOHGXHFRUGHHSURFHGLSHUDVVXUGR).
Dimostra che se da un punto interno a un cerchio si possono tracciare più di due
segmenti aventi l’altro estremo sulla circonferenza, che siano uguali tra loro, quel
punto è il centro del cerchio.
Dimostra che segmenti circolari posti su corde uguali di una stessa circonferenza
sono uguali tra loro (6XJJHULPHQWRSRUWDOHGXHFRUGHDFRLQFLGHUHHSURFHGLSHU
DVVXUGRVXSSRQHQGRFKHXQRGHLGXHDUFKLLQWHUVHFKLO¶DOWUR).
Dimostra che gli archi compresi tra due corde parallele sono uguali.
Considera due rette perpendicolari U ed V che si incontrano in un punto 3 interno a
una circonferenza di centro 2. Le intersezioni di U ed V con la circonferenza siano
rispettivamente $ e % e & e '. Dimostra che la somma dei due archi $% e &' è una
semicirconferenza (6XJJHULPHQWR WUDFFLD L GLDPHWUL SDUDOOHOL D U H V H DSSOLFD LO
ULVXOWDWRGLPRVWUDWRQHOO¶HVHUFL]LRSUHFHGHQWH).
Data una circonferenza considera un suo diametro, e dai suoi estremi traccia due
corde tra loro parallele; dimostra che tali corde sono uguali.
Dimostra che una retta non può incontrare una circonferenza in più di due punti.
Consideriamo una circonferenza di centro 2, un suo diametro $% e una retta U che
incontra $% in un punto interno alla circonferenza. Siano 3 e 4 i punti in cui la retta
U incontra la circonferenza, e & e ' le proiezioni ortogonali rispettivamente di $ e %
su U. Dimostra che 3& = 4' (6XJJHULPHQWR WUDFFLD LO GLDPHWUR SHUSHQGLFRODUH
DOODUHWWDUHFRQVLGHUDLWULDQJROL$%'H$'&).
Consideriamo una circonferenza di centro 2, un suo diametro $% e una retta U,
secante la circonferenza, che incontra $% in un punto esterno alla circonferenza.
Siano 3 e 4 i punti in cui la retta U incontra la circonferenza, e & e ' le proiezioni
ortogonali rispettivamente di $ e % su U. Dimostra che 3& = 4' (6XJJHULPHQWR
SURFHGLLQPDQLHUDDQDORJDDOSUHFHGHQWHSUREOHPD)
Due cerchi hanno lo stesso centro 2 ma raggi diversi. Sia U una retta che li interseca
entrambi e che incontra il primo cerchio in $ e % e il secondo in & e '. Dimostra
che $& = %' .
In una circonferenza di centro 2 siano $% e &' due corde uguali che si incontrano
in (. Dimostra che 2(ˆ $ = 2(ˆ ' (6XJJHULPHQWR WUDFFLD L GXH VHJPHQWL
SHUSHQGLFRODULGDOFHQWURDOOHFRUGH).
In una circonferenza di diametro $% sia &' una corda parallela ad $%. Dette + e .
le proiezioni ortogonali di & e ' rispettivamente su $% dimostra che $+ = %. .
Sul diametro $% di una circonferenza di centro 2 prendiamo un generico punto 3
diverso da 2. Dimostra che tra tutte le corde passanti per 3 quella perpendicolare
ad $% ha lunghezza minima.
Date due circonferenze, una di centro $ e l’altra di centro %, che si intersecano in &
e ', traccia la retta U passante per & e parallela da $%, che incontra la prima
circonferenza in ( e & e la seconda in & e ). Dimostra che () = 2 $%
(6XJJHULPHQWRWUDFFLDOHSHUSHQGLFRODULDOODUHWWD$%SDVVDQWLSHU(&)).
Sia $% una qualsiasi corda in una circonferenza di centro 2. Traccia la bisettrice
dell’angolo 2$ˆ % che incontra la circonferenza in $ e '. Dimostra che 2' è
perpendicolare al diametro passante per il punto medio di $%.
9
&LUFRQIHUHQ]HFRUGHGLDPHWUL
16. Dimostra che la retta che unisce i centri di due circonferenze secanti è
perpendicolare alla corda comune.
17. Date due circonferenze con lo stesso raggio, che si incontrano nei punti $ e %,
dimostra che una qualsiasi retta perpendicolare alla corda comune $% stacca sulle
due circonferenze corde uguali (6XJJHULPHQWR XQLVFL L FHQWUL GHOOH FLUFRQIHUHQ]H
FRQLSXQWLPHGLGHOOHFRUGH).
18. Date due circonferenze secanti, di centri 3 e 4, sia $ uno dei due punti di
intersezione e 0 il punto medio del segmento 34. Tracciata per $ la perpendicolare
ad $0, siano % e & i punti in cui tale retta incontra rispettivamente la prima e la
seconda circonferenza oltre ad $. Dimostra che le corde $% e $& sono uguali
(6XJJHULPHQWRWUDFFLDOHGLVWDQ]H3.H4+GHLFHQWULGD$%H$&).
19. Data una circonferenza di centro 2, sia $% una sua qualsiasi corda ed U bisettrice
dell’angolo 2$ˆ % . Indichiamo con & l’ulteriore punto in cui la retta U incontra la
circonferenza. Dimostra che le rette 2& e $% sono parallele.
20. In una circonferenza di centro 2 sia $% una qualsiasi corda. Prolunga $% di un
segmento %& pari al raggio e, dopo aver tracciato la retta per & e 2, indica con ' il
punto non appartenente al segmento 2& in cui tale retta incontra la circonferenza.
Dimostra che $2ˆ ' = 3%&ˆ 2 (6XJJHULPHQWRULFRUGDFKHLQXQWULDQJRORO¶DQJROR
HVWHUQR q XJXDOH DOOD VRPPD GHJOL DQJROL LQWHUQL QRQ DGLDFHQWL H FRQVLGHUD
GDSSULPDLOWULDQJROR2%&SRLLOWULDQJROR$2%HLQILQHLOWULDQJROR$2&).
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