1. Enunciare le tre leggi di Newton
I Legge. Un corpo non soggeto a forze non subisce cambiamenti di velocità,
ovvero resta fermo se era in quiete, altrimenti si muove di moto
rettilineo uniforme.
II Legge. F = ma. L’interazione del punto con l’ambiente circostante, espresso
tramite la forza F, determina l’accelerazione del punto, ovvero la
variazione della sua velocità nel tempo; m è la massa inerziale del
punto.
III Legge. A) Se un corpo A esercita una forza FA,B su un corpo B, il corpo B
reagisce esercitando una forza FB,A sul corpo A;
B) Le due forze hanno la stessa direzione, lo stesso modulo e verso
opposto, esse cioè sono uguali e contrarie: FA,B = - FB,A
C) Le due forze hanno la stessa retta d’azione.
2. Definire il vettore quantità di moto
p=mXv
3. Dimostrare il teorema dell’impulso della forza
Un punto materiale in senso stretto ha massa costante, qualsiasi sia la sua velocità
(cosa che però non vale per velocità prossime a quelle della luce). Si può quindi
scrivere:
=
=
Come forma più generale della seconda legge di Newton.
= = = − = Il termine vettoriale J, integrale della forza nel tempo, è chiamato impulso della
forza e la suddetta relazione esprime il teorema dell’impulso:
•
L’impulso di una forza applicata ad un punto materiale provoca la
variazione della quantità di moto
• Se la massa m è costante allora: J = m(v
v – v0) = mΔv
4. Ricavare la legge oraria per piccole oscillazioni del pendolo semplice
= = −senθ
#$
a = " #
#$
%
=
−
&'($
#
"
Per θ qualunque, però, la soluzione è analiticamente complicata. Considerando
invece piccoli valori di θ e sviluppando senθ in serie otteniamo che per θ≤7°, senθ si
può approssimare con θ commettendo un errore relativo sempre minore di 10-3.
Quindi per piccole oscillazioni l’equazione differenziale diventa:
#$ %
+ $ = 0
"
#
+
Ponendo *# = , l’equazione diventa quella del moto armonico semplice. È quindi
possibile ricavare la legge oraria:
$ = $ -.&* + /
NOTA: La legge oraria può essere ricavata indistintamente con il seno o il coseno.
Nel compito di Giugno tuttavia il professore l’ha scritta con il coseno.
5. Teorema dell’energia cinetica
“Qualunque sia la forza che agisce nello spostamento di un punto materiale dalla
posizione A alla posizione B, il lavoro fatto dalla forza è uguale alla variazione
dell’energia cinetica del punto materiale stesso.”
Il lavoro infinitesimo associato ad uno spostamento ds può essere anche visto come:
0 = & = 1 & = 2
&
& = 2 = 22
Per un percorso finito dalla posizione A alla posizione B abbiamo quindi che il
lavoro svolto corrisponde:
1
1
0 = 22 = 23# − 24# = 78,3 − 78,4 = 78
2
2
4
3
Dove la quantità Ek prende il nome di energia cinetica, la cui formula, come si può
dedurre dall’equazione precedente, è:
1
78 = 2 #
2
6. Ricavare l’espressione per l’energia potenziale forza peso
;<
;<
0 = −%ℎ = −% ℎ = −%ℎ# − %ℎ> = −7?
;=
7@ = %ℎ
;=
7. Ricavare l’espressione per l’energia potenziale elastica
AB3# AB4#
0 = −ABB = −A BB = − F
−
G = −7@ 2
2
CE
CE
CD
CD
AB #
7@ = 2
8. Definizione forze conservative e non conservative
Per tutte le forze conservative il lavoro si esprime sempre come l’opposto della
variazione dell’energia potenziale relativa alla specifica forza. Da una forza
onservativa non si può ricavare lavoro se il percorso è chiuso. Nelle forze
conservative il lavoro non dipende dal percorso ma solo dalle coordinate iniziali e
finali. Per le forze conservative si ha che il lavoro corrisponde alla variazione di
energia cinetica del corpo su cui la forza è applicata.
Per le forze NON conservative invece il lavoro dipende dal percorso o dalla
traiettoria effettivamente seguita. In presenza di forze NON conservative l’energia
meccanica NON si conserva.
9. Definizione energia meccanica
L’energia meccanica di un corpo viene definita come la somma dell’energia
potenziale e dell’energia cinetica possedute da un punto materiale.
Il principio di conservazione dell’energia meccanica afferma che l’energia meccanica
di un punto materiale in presenza di sole forze conservative si conserva, ovvero non
varia nel tempo.
7H = 7I + 7?
10. Definizione momento angolare (momento quantità di moto)
J = K × 11. Definizione momento della forza
M = K × 12. Dimostrare il teorema del momento della quantità di moto
“La derivata temporale del momento della quantità di moto di un punto materiale
rispetto ad un polo O è eguale al momento della forza se entrambi sono riferiti allo
stesso polo fisso O in un sistema di riferimento inerziale.”
M = K × M->vettoremomentodellaforza
J = K × L->vettoremomentoquantitàdimoto
J K
=
× + K × Poiché per ipotesi il polo, rispetto al nostro sistema di riferimento, è fisso si ha che
dr/dt corrisponde alla velocità del punto materiale. Il suo prodotto vettoriale con il
vettore quantità di moto sarà quindi nullo, poiché consiste nel prodotto vettoriale di
due vettori paralleli, annullando così il primo addendo.
J
= K × = K × ] = M
13. Dimostrare teorema del momento dell’impulso
“La variazione di momento angolare è eguale al momento dell’impulso applicato al
punto”.
Se la forza viene applicata al punto per un tempo molto breve r risulta praticamente
costante:
^ = _ × ` = _ × ` = _ × a = Δb
14. Forze centrali
Si definisce forza centrale una forza agente in una certa regione dello spazio con le
seguenti proprietà:
•
In qualsiasi punto la sua direzione passa sempre per un punto fisso O, detto
centro della forza
•
Il modulo è funzione soltanto della distanza dal centro stesso
•
In un campo di forze centrali il momento angolare rispetto al centro della
forza rimane costante nel tempo, si conserva.
15.
Leggi di Keplero
I.
I pianeti percorrono orbite ellittiche intorno al Sole, che occupa uno dei due
fuochi dell’ellisse.
II.
La velocità areale con cui il raggio vettore che unisce il Sole ad un pianeta
descrive l’orbita è costante
III.
Il quadrato del periodo di rivoluzione di ogni pianeta è proporzionale al cubo
del semiasse maggiore dell’ellisse T2 = ka3
16.
Enunciare la legge di Newton della gravitazione universale.
“Date due masse qualsiasi, di dimensioni trascurabili rispetto alla distanza mutua, tra
di esse agisce una forza attrattiva diretta lungo la retta congiungente le due masse,
il cui modulo dipende direttamente dal prodotto delle masse e inversamente dal
quadrato della distanza.”
= c
> #
d#
17. Ricavare l’espressione per l’energia potenziale gravitazionale
Per ricavare qualsiasi energia potenziale bisogna prima di tutto trovare l’espressione
del lavoro svolto dalla corrispondente forza conservativa. Nel caso dell’energia
potenziale gravitazionale:
fD
e
1
1
1
e
e
0 = −c # d = −ce # = ce g − h = c
−c
d
d
d
d
d
d
3
4
3
4
fE
fE
fD
0 = − gc
7@ = −c
e
e
−c
h = −7@ d4
d3
e
d
18. Legge di Coulomb
La forza è direttamente proporzionale al prodotto delle cariche elettriche e
inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
` =
1 ll
m
4jk d #
19. Teorema di Coulomb
n o ∙ mq r = 7r =
o=
1
1
l = sr
k
k
s
m
k t
20. Legge di Gauss
Consideriamo una superficie dΣ in una regione in cui è definito un campo E ed
orientiamola fissando il verso del versore della normale un. Si definisce flusso del
campo E attraverso la superficie dΣ la quantità scalare:
/o = o ∙ mq r = 7-.&$r = 7u r
/o = o ∙ mq r
Se la superficie è chiusa il flusso si scrive:
n o ∙ mq r
r
In questo caso è convenzione orientare la normale verso l’esterno. I contributi
positivi alla circuitazione sono quelli per cui E ∙ un > 0, dovuti a quelle zone dove
anche E punta verso l’esterno: essi rappresentano un flusso di E uscente dalla
superficie. Nel caso di una distribuzione di cariche la legge di Gauss si presenta in
generale:
/o = n o ∙ mq r =
q
ε
21. Condensatori in serie ed in parallelo
• SERIE
l
y>
l
w3 − w4 = y#
wx − w3 = wx − w4 = wx − w3 + w3 − w4 = 1
1
1
= + yz{ y> y#
l
l
l
+ =
y> y#
yz{
• PARALLELO
l> = y> w
l# = y# w
l| = l> + l# = y> w + y# w = y> + y# w = yz{ w
yz{ = y> + y#
22. Resistori in serie ed in parallelo
• SERIE
wx − w3 = }> ∙ ~
w3 − w4 = }# ∙ ~
wx − w4 = wx − w3 + w3 − w4 = }> ∙ ~ + }# ∙ ~ = ~}> + }# = }z{ ∙ ~
}z{ = }> + }#
• PARALLELO
~> =
w
w
~# =
}>
}#
~ | =
w
w
w
1
1
1
+
=
= +
}> }#
}z{
}z{
}> }#
23. Legge di Ohm
In un conduttore sottoposto ad una differenza di potenziale si stabilisce, in regime
stazionario, che la densita di corrente j vale:
 = so
Con σ grandezza caratteristica del conduttore, detta conduttività elettrica. La
legge di Ohm spesso è scritta nella forma
o = €
Dove la grandezza ρ, detta resistività del conduttore vale:
€=
1
s
Applicando la legge di Ohm ad un conduttore metallico cilindrico di lunghezza h e
sezione Σ:
~ = rw = 7ℎ
7 = € =
w=
€ℎ
~
r
‚
~
r
Chiamando resistenza del conduttore la grandezza:
} = €
ℎ
r
La legge di Ohm diviene
w = }~
24. Carica e scarica di un condensatore attraverso una resistenza
k = wƒ + wx = }~ +
~=
}
l
l
y
l
l
l
= k − → =− y
l − yk
}y
l
1 l − yk
=−
→ …( g
h =− }y −yk
}y
l − yk
{
l = yk g1 − ' †ƒx h
25. Espressione energia ad unità di volume
‡z = '('d%~1'…'d.&1~-1~1%1ˆˆ~(11
‰z = '('d%~11‰(~à~2.…‰'
Š = 2.…‰''…-.('(&1.d'
ℎ = ~&1(ˆ1d1…'1d1‰d''…-.('(&1.d'
s = '(&~à~-1d~-1'…-1‚.'…'d.&1~-.
Per un condensatore ad armature piano parallele vale la seguente
relazione:
w = 7 ∙ ℎ
7=

‘
perilteoremadiCoulomb
l
lk srk
rk
=
=
ℎ=
w sℎ
s
ℎ
l# y #w # 1 #
‡z =
=
= yw 2y
2y
2
‡z
1 rk
rk 7 # ℎ#
k 7 # rℎ
k 7 # Š 1
#
‰z =
= g
h 7ℎ =
=
=
= k 7 # 2Š
2Š
Š
2Š ℎ
2ℎŠ
2
y=
26. Forza di Lorentz
Su di una particella in moto all’interno di un campo magnetico agisce la forza
` = l” × •
La cui direzione è ortogonale a quella della velocità. Nel caso della presenza
contemporanea di un campo elettrico la forza di Lorentz assume la forma:
` = lo + ” × •
27. Legge di Ampere
“L’integrale di linea del campo magnetico B lungo una linea chiusa, è uguale alla
somma delle correnti concatenate moltiplicata per µ0.”
28. Legge di Faraday
“Ogni qualvolta il flusso del campo magnetico Φ(B) concatenato con un circuito varia
nel tempo, si ha nel circuito una forza elettromotrice indotta data dall’opposto della
derivata del flusso nel tempo.”
k– = −
Φ•
Se R è la resistenza del circuito, in essa circola la corrente:
~=
k–
1 Φ•
=− }
} 29. Legge di Ampere-Maxwell
“I campi magnetici sono prodotti sia dalle correnti di conduzioni che da variazioni
temporali del campo elettrico.”
30. Equazioni di Maxwell
a. ∮ o ∙ mt Σ =
{
‘
b. ∮ • ∙ mt Σ = 0
c. ∮ o ∙ š = −
›œ•
›
d. ∮ • ∙ š = μ ži + ε
›œo
›
Ÿ
31. Onde elettromagnetiche piane
Tutte le funzioni d’onda piane soddisfano all’equazione differenziale di d’Alembert.
In sisntesi devono assumere una delle due forme:
E(x-vt)
,
E(x+vt)
32. Onde piane armoniche
7B, = 7 &'(AB ± 2.‚‚‰d'7B, = 7 -.&AB ± 2
7B, = 7 &'(AB ± *.‚‚‰d'7B, = 7 -.&AB ± *
* = AB
2j
¡=
= 2¢
A
2j
¢=
*
33. Vettore di Poynting
£ = k - # 7¤m¥ =
1
oו
¦
Il vettore S è chiamato vettore di Poynting. Esso ha direzione e verso coincidenti con
quelli della velocità di propagazione ed il suo modulo rappresenta l’energia
elettromagnetica che per unità di tempo passa attraverso l’unità di superficie
ortogonale alla direzione di propagazione. S si misura in W/m2. Il valore medio del
vettore di Poynting invece prende il nome di intensità dell’onda elettromagnetica
piana.
•
L’intensità di un’onda elettromagnetica piana è la potenza media per unità
di superficie trasportata dall’onda
•
L’ntensità è data dal prodotto della densità d’energia media per la velocità
di propagazione c.
34. Onde elettromagnetiche sferiche
L’ampiezza di un’onda sferica è inversamente proporzionale alla distanza. Di
conseguenza maggiore sarà la distanza minore sarà l’ampiezza (questo perché la
potenzia media della superficie sferica dell’onda dev’essere pari alla potenza media
emessa dalla sorgente).
L’intensità invece è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dalla
sorgente.
35. Leggi di riflessione e rifrazione di Cartesio
1) i, r, k ed n appartengono allo stesso piano, detto piano d’incidenza
2) L’angolo d’incidenza corrisponde all’angolo di riflessione, ovvero θi = θr
3) Il rapporto tra il seno dell’angolo di incidenza ed il seno dell’angono di
rifrazione è costante e dipende dai due materiali.
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= -.&
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