Cap.8 – Prestazioni di salita
Si immagini un Boeing 777 (vedi Fig.
Fig 8.1)
8 1) che si sta portando alla
velocità di decollo sulla pista di un aeroporto. Esso si solleva
dolcemente a circa 180 mi/h (289.7 km/h), il muso ruota verso l’alto,
e l’aeroplano rapidamente sale fuori dalla vista. In una questione di
minuti esso sta volando a velocità di crociera a 30000 ft (9144 m).
Quanto rapidamente può salire un aeroplano? Quanto tempo impiega
a raggiungere una certa quota?
Cap.8 – Prestazioni di salita
L = W cos θ
T = D + W sin
i θ
TV∞ = DV∞ + WV∞ sin θ
TV∞ − DV∞
= V ⋅ sin θ
W
=>
TV∞ − DV∞
R/C =
W
ma
RC ≡ V∞ sin
i θ
Cap.8 – Prestazioni di salita
TV∞ − DV∞ = potenza in eccesso
potenza in eccesso
R/C =
W
- Le potenze sono assunte pari a quelle in volo livellato
- L’angolo di salita è piccolo , cioè cosθ circa =1, cioè L=W
Td − D
sin θ =
W
Td − D Eccesso di sp int a
θ≈
=
W
peso
L’equazione è approssimata
Cap.8 – Prestazioni di salita
Cap.8 – Prestazioni di salita
RC MAX =
massima p
potenza in eccesso
W
Odografo volo in salita
Cap.8 – Prestazioni di salita
Le pprestazioni pprecedenti sono da considerarsi ad una certa qquota.
Che succede al variare della quota ?
Differenze sul rateo di salita tra velivolo ad elica e a getto.
Cap.8 – Prestazioni di salita
Facciamo prima l’esempio relativo al velivolo a getto MD-80, di cui riportiamo i
dati :
W=WTO =63500 Kg
peso massimo al decollo
S=118 m2 b=33 m AR=9.23
CDo=0.018
e=0.80
CLMAX=1.5
Imp. propulsivo : 2 motori PW JT8D da 8400 Kg di spinta ciascuno, cioè
To=8400
To
8400 =16800
16800 Kg
Dai dati geometrici ed aerodinamici del velivolo ho :
EMAX=17.95
Cap.8 – Prestazioni di salita
80000
20000
60000
16000
Tno e Td
[Kg]
Pno e Pd
[hp]
12000
40000
8000
20000
4000
0
0
12
0
400
800
1200
1600
V [Km/h]
0
400
800
1200
1600
30
V [Km/h]
S/L
8
S/L
20
teta [°]
RC [m/s]
4
20000 ft
20000 ft
10
35000 ft
35000 ft
0
0
0
400
800
V [Km/h]
1200
1600
200
400
600
800
V [Km/h]
1000
1200
Cap.8 – Prestazioni di salita
Un velivolo a getto ha solitamente un massimo rateo di salita al
livello del mare intorno ai 20-25 m/s corrispondenti a circa 12001500 m/min (cioè guadagna un chilometro al minuto) o anche
circa 4000 ft/min.
Teniamo presente che il calcolo effettuato è approssimato per il
f tt che
fatto
h la
l spinta
i t disponibile
di
ibil alle
ll basse
b
quote
t per un motore
t
turbofan non è costante, come già visto nel cap.6 e 7.
Dalla fig. 8.9 si vede come per un velivolo a getto il massimo
rateo di salita si ottiene a velocità non proprio bassissime. In
effetti, per un velivolo a getto vale il principio che volando (sulla
traiettoria) a velocità elevata si sale anche veloce.
Cap.8 – Prestazioni di salita
Consideriamo sempre
p il velivolo Beechcraft Kingg Air C90.
W=4380 Kg peso massimo al decollo
S= 27.3 m2 b=15.3 m
AR=8.57
CD 0 026 e=0.78
CDo=0.026
0 78
CLMAX 1 6
CLMAX=1.6
2 Motori Pratt&Withney PT6A21 , ciascuno da 550 hp all’albero. I
motori sono turboelica.
turboelica Rendimento prop.
prop delle eliche η =0.80
=0 80
P
Cap.8 – Prestazioni di salita
1200
1400
1200
TeD
Kg
1000
Pno e Pd
hp
800
800
600
400
400
200
0
0
20 0
200
V [Km/h]
400
600
16
20
0
100
200
300 /h]
V [Km/h]
[K
400
500
600
16
R/C [m/s]
teta (°)
t t (°)
teta
12
12
8
8
4
S/L
12000 ft
20000 ft
4
0
0
0
100
200
300
V [Km/h]
400
500
600
0
100
200
300
V [Km/h]
400
500
600
Cap.8 – Prestazioni di salita
RC al liv mare circa 10-12
10 12 m/s
Angoli anche di 10-11° (anche leggermente > getto)
16
1200
1000
P disp. (turboelica)
P disp. (turboelica)
12
P disp. (cost.)
P disp. (cost.)
800
RC [m/s]
P [hp]
8
600
400
4
200
0
0
100
200
V [Km/h]
300
400
500
0
0
100
200
V [Km/h]
300
400
500
Cap.8 – Prestazioni di salita
Trattazione analitica
V
θ
V
θ
W
Vs=RC=V sinθ
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
TV DV
RC = Vsinθ =
−
W
W
2
2
⎡
⎤
⎛
⎞
W
W
D = q S (CDo + K CL2 ) = q S ⎢CDo + K ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ = q S CDo + K
qS
⎢⎣
⎝ qS ⎠ ⎥⎦
⎡T
S
W 2K ⎤
RC = V ⎢ − q CDo −
2⎥
W
W
S
ρ
ρV
V
⎣
⎦
VELIVOLO A GETTO
Pn=DV
Pd
A
RCmax
P
E
V
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
Approccio
pp
approssimato
pp
Un primo (approssimato) approccio analitico consiste nel
calcolare il massimo rateo di salita ad una certa quota
all’assetto
ll’
di massima
i efficienza.
ffi i
RC MAX
Td ⋅ VE − D E ⋅ VE
VE Π E
=
= Td
−
W
W W
θMAX =
VELIVOLO A GETTO
Pn=DV
Td − D MIN
W
con θ espresso in radianti.
Per avere i ggradi moltiplicare
p
pper 57.3.
Pd
A
RCmax
P
E
V
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
Approccio esatto
T ρoε f 2
2 ⎛ W ⎞ 1 ρo ε f 2
4 ⎛ W⎞ 1
⎜ 2⎟ 2 −
⎜ 2⎟ 2 = 0
−
V −
V +
W 2W
πρoε ⎝ b e ⎠ V
W
π ρoε ⎝ b e ⎠ V
2
2 ⎛ W⎞
2
6fq −2Tq - ⎜ ⎟ = 0
π ⎝ be ⎠
q RCMAX
⎡
⎤
⎢
⎥
T ⎢
3
⎥= T Γ
1+ 1+
=
2 ⎥
6f ⎢
6f
2 ⎛ T ⎞
⎢
E MAX ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣
⎝ W ⎠ ⎥⎦
⎡
⎤
⎢
⎥
3
⎥
Γ = ⎢1 + 1 +
2 ⎥
⎢
2 ⎛ T ⎞
⎢
E MAX ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣
⎝ W ⎠ ⎥⎦
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
Approccio esatto
⎡
⎤
⎢
⎥
3
⎥
Γ = ⎢1 + 1 +
2
⎢
⎥
2 ⎛ T ⎞
⎢
E MAX ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣
⎝ W ⎠ ⎥⎦
Il fattore Γ è pari a circa 2, in quanto il denominatore è solitamente >>3 e quindi
la radice è circa 1.
1
T
1
In corrispondenza della quota di tangenza
=
W
E max
e Γ=3 ( e si ha la velocità di salita rapida limite (di fatto con RC=0).
q RCMAX
T
= q fc =
Γ
6f
VRCMAX = V fc =
2 ⋅ q fc
ρ
=
2 T ⋅Γ
T ⋅Γ
⋅
=
ρ 6f
3⋅ ρ ⋅ f
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
Approccio esatto
VRCMAX = V fc =
2 ⋅ q fc
ρ
=
2 T ⋅Γ
T ⋅Γ
⋅
=
ρ 6f
3⋅ ρ ⋅ f
RICORDIAMO che il rateo di salita è :
RC MAX =
Td ⋅ V fc − D fc ⋅ V fc
W
= θ fc ⋅ V fc
Ricaviamo l’espressione generica di D/W
D qS
(CDo + CDi )
=
W W
D qS ⎛
CL2 ⎞
⎜⎜ CDo +
⎟⎟
=
W W ⎝
πA Re ⎠
W
CL =
qS
D qqS
1W
1
=
⋅ CDo
CD +
W W
q S π ⋅ AR ⋅ e
2
D q
qS ⎛⎜
1 ⎛W ⎞
1 ⎞⎟
=
CD + 2 ⎜ ⎟
CDo
⎜
W W ⎝
q ⎝ S ⎠ πA Re ⎟⎠
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
Approccio esatto
1W
1
D qS
=
⋅ CDo +
W W
q S π ⋅ AR ⋅ e
Ma ricordo che :
EMAX =
π
4
AR ⋅ e
2
=> π ⋅ AR ⋅ e = 4 ⋅ CDo ⋅ EMAX
CDo
Sostituendo a q
qRCMAX =
T
Γ
6f
⎛ T ⎞ f ⎛6f ⎞ 1 W
1
⎛D⎞
⎟⎟Γ + ⎜
⎜ ⎟ = ⎜⎜
⎟
2
⎝ W ⎠ fc ⎝ 6 f ⎠ W ⎝ T ⎠ Γ S 4 ⋅ CDo ⋅ EMAX
⎞
1
⎛D⎞
⎛ T ⎞ Γ ⎛ W ⎞ 1 ⎛⎜
⎟
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + 6⎜ ⎟ ⎜
2 ⎟
⎝ W ⎠ fc ⎝ W ⎠ 6
⎝ T ⎠ Γ ⎝ 4 ⋅ EMAX ⎠
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
Approccio esatto
⎞
1
⎛D⎞
⎛ T ⎞ Γ ⎛ W ⎞ 1 ⎛⎜
⎟
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + 6⎜ ⎟ ⎜
2 ⎟
⎝ W ⎠ fc ⎝ W ⎠ 6
⎝ T ⎠ Γ ⎝ 4 ⋅ EMAX ⎠
⎛
⎞
⎜
⎟
1
D
T
3
Γ
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟ =⎜ ⎟ +
⎝ W ⎠ fc ⎝ W ⎠ 6 2 ⋅ Γ ⎜ ⎛ T ⎞ ⋅ E 2 ⎟
⎜ ⎜ ⎟ MAX ⎟
⎝ ⎝W ⎠
⎠
Ma
T ⎛D⎞
T ⎛ Γ⎞
3
1
− ⎜ ⎟ = ⎜1 − ⎟ −
W ⎝ W ⎠ fc W ⎝ 6 ⎠ 2 ⋅ Γ ⎛ T ⎞
2
⎜ ⎟ ⋅ EMAX
⎝W ⎠
⎧
⎫
⎪⎪ T ⎛ Γ ⎞
⎪⎪⎛ T ⋅ Γ
3
1
RC MAX = θ fc ⋅ V fc = ⎨ ⎜1 − ⎟ −
⎬⎜⎜
⎪W ⎝ 6 ⎠ 2 ⋅ Γ ⎜⎛ T ⎞⎟ ⋅ EMAX 2 ⎪⎝ 3 ⋅ ρ ⋅ f
⎪⎩
⎪⎭
⎝W ⎠
θ fc =
⎞
⎟
⎟
⎠
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
Approccio esatto
Con la nuova espressione per la V
⎛ T ⋅Γ
V fc = ⎜⎜
⎝ 3⋅ ρ ⋅ f
⎞
T
Γ
T
Γ
⎟=
=
⎟
3 ⋅ ρ o ⋅ σ ⋅ CDo S
3 ⋅ ρ o ⋅ σ ⋅ CDo S
⎠
Γ
V fc =
T
3 ⋅ ρ o ⋅ σ ⋅ CDo W
RC MAX
⎧
⎪⎪ T ⎛ Γ ⎞
3
= θ fc ⋅ V fc = ⎨ ⎜1 − ⎟ −
⎪W ⎝ 6 ⎠ 2 ⋅ Γ ⎛⎜ T
⎪⎩
⎝W
RCMAX
⎡ ( W / S) ⋅ Γ ⎤
=⎢
⎥
⋅
⋅
ρ
3
CDo
⎣
⎦
1/ 2
W
S
⎛T⎞
⋅⎜ ⎟
⎝W⎠
3/ 2
⎫
⎪⎪⎛
Γ
1
T
⎜
⎬⎜
W
⎞
2 ⎝ 3 ρ ⋅ CDo
⎟ ⋅ EMAX ⎪
⎪⎭
⎠
W
S
⎞
⎟
⎟
⎠
⎡ Γ
⎤
3
⋅ ⎢1 − −
⎥
2
2
6
(
)
2
⋅
(
T
/
W
)
⋅
E
⋅
Γ
MAX
⎣
⎦
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
RC MAX
⎡ ( W / S) ⋅ Γ ⎤
=⎢
⎥
⋅
ρ
⋅
3
CDo
⎦
⎣
1/ 2
⎛T⎞
⋅⎜ ⎟
⎝W⎠
3/ 2
⎡ Γ
⎤
3
⋅ ⎢1 − −
⎥
2
2
6
(
)
2
⋅
(
T
/
W
)
⋅
E
⋅
Γ
MAX
⎣
⎦
- da W/S
-dal rapporto spinta / peso (in modo forte)
-dal
dal CDo
-dall’efficienza massima
E’ importante notare come aumentare il carico alare (ad esempio riducendo la superficie alare)
per un velivolo a getto equivale ad aumentare sia la velocità massima (e la velocità di crociera)
sia il massimo rateo di salita del velivolo.
Questo avviene perché riducendo S si riduce la superficie bagnata e così si riduce la resistenza
parassita (di attrito) importante alle alte velocità.
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
1/ 2
RC MAX
⎡ ( W / S) ⋅ Γ ⎤
=⎢
⎥
3
⋅
ρ
⋅
CDo
⎣
⎦
⎛T⎞
⋅⎜ ⎟
⎝W⎠
3/ 2
⎡ Γ
⎤
3
⋅ ⎢1 − −
⎥
2
2
6
(
)
2
⋅
(
T
/
W
)
⋅
E
⋅
Γ
MAX
⎣
⎦
3/ 2
⎡2
⎤
3
⋅⎢ −
⎥
2
2
3
(
)
2
⋅
(
T
/
W
)
⋅
E
⋅
2
MAX
⎣
⎦
Assumendo Γ=2
RCMAX
⎡ (W / S ) ⋅ 2 ⎤
=⎢
⎥
3
⋅
ρ
⋅
CDo
⎣
⎦
RCMAX
2
1
=
3 ⋅ ρ0 σ
EMAX =
RCMAX
π
be
4 f
2
1/ 2
⎛T ⎞
⋅⎜ ⎟
⎝W ⎠
⎤
3
W
T ⎛ T ⎞ ⎡2
⋅
⎜ ⎟ ⋅⎢ −
⎥
S ⋅ CDo W ⎝ W ⎠ ⎣ 3 2 ⋅ (T / W ) 2 ⋅ (EMAX )2 ⋅ 2 ⎦
2
=> EMAX =
2
1
=
3 ⋅ ρ0 σ
π be 2
4 f
⎤
W
T ⎛ T ⎞ ⎡2
3⋅ f
⋅
⎜ ⎟ ⋅⎢ −
⎥
S ⋅ CDo W ⎝ W ⎠ ⎣ 3 (T / W ) 2 ⋅ π ⋅ be 2 ⎦
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
RCMAX
2
1
=
3 ⋅ ρ0 σ
⎤
3⋅ f
W
T ⎛ T ⎞ ⎡2
⋅
⎜ ⎟ ⋅⎢ −
⎥
f
W ⎝ W ⎠ ⎣ 3 (T / W ) 2 ⋅ π ⋅ be 2 ⎦
RCMAX
2
1
=
3 ⋅ ρ0 σ
T
f
⎤
3⋅ f
⎛ T ⎞ ⎡2
⎜ ⎟ ⋅⎢ −
2⎥
2
3
W
(
T
/
W
)
⋅
π
⋅
b
⎝ ⎠ ⎣
e ⎦
RCMAX
2
1
=
3 ⋅ ρ0 σ
T
f
⎛ T ⎞ ⎡ 2 3 ⎛ f ⎞⎛ W
⎜ ⎟ ⋅ ⎢ − ⎜ ⎟⎜
⎝ W ⎠ ⎣ 3 π ⎝ T ⎠⎝ T
RCMAX
⎡ 2 2⎤ ⎛ T ⎞ T
=⎢
⎥ ⋅⎜ ⎟
⎣ 3ρ 0 3 ⎦ ⎝ W ⎠ f
⎛T ⎞ T
RCMAX = 1.54⎜ ⎟
⎝W ⎠ f
⎞W ⎤
⎟ 2⎥
⎠ be ⎦
⎛T ⎞ T 1
−⎜ ⎟
σ ⎝W ⎠ f ⎛ T
⎜
⎝W
1
⎛W ⎞
⎜ 2⎟
⎜b ⎟
1
− 2.2 ⎝ e ⎠
σ
T
σ
f
1 1 ⎛ W ⎞⎡ 2 3 ⎤
⎜ 2 ⎟⎢
⎥
⎞ ⎛ T ⎞ σ ⎜⎝ be ⎟⎠ ⎣ 3ρ 0 π ⎦
⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
⎠⎝ f ⎠
Con T e W espresse in Kg
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
1/ 2
RC MAX
⎡ ( W / S) ⋅ Γ ⎤
=⎢
⎥
3
⋅
ρ
⋅
CDo
⎣
⎦
⎛T⎞
⋅⎜ ⎟
⎝W⎠
3/ 2
⎡ Γ
⎤
3
⋅ ⎢1 − −
⎥
2
2
6
(
)
2
⋅
(
T
/
W
)
⋅
E
⋅
Γ
MAX
⎣
⎦
Quindi siamo arrivati ad un’espressione approssimata (Γ=2)
e utilizzando forze espresse in [Kg]
RCMAX
⎛T ⎞ T
= 1.54⎜ ⎟
⎝W ⎠ f
⎛W ⎞
⎜ 2⎟
⎜b ⎟
1
e ⎠
⎝
− 2.2
T
σ
σ
f
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
⎛T ⎞ T
RCMAX = 1.54⎜ ⎟
⎝W ⎠ f
⎛W ⎞
⎜ 2⎟
⎜b ⎟
1
− 2.2 ⎝ e ⎠
σ
T
σ
f
Ad
d esempio
i , considerando
id
d un velivolo
li l a getto con
Td=25000 Kg (massima totale a livello del mare)
W=100000 Kg
CDo=0.015 S=205 m2 b=37 m be=33 m (e=0.80)
Il calcolo della 8.16 fornisce :
RCMAX = 34.72-2.24=32.5 m/s = 6400 ft/min
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
⎛T ⎞ T
RCMAX = 1.54⎜ ⎟
⎝W ⎠ f
⎛W ⎞
⎜ 2⎟
⎜b ⎟
1
− 2.2 ⎝ e ⎠
σ
T
σ
f
Rispetto al calcolo precedente andrebbe però considerato un valore di T diverso
da To. Infatti dal grafico della spinta di un turbofan a livello del mare (S/L) in
funzione della velocità (del Mach) si vede che ad un valore di M=0.4-0.6 (tipico
della velocità di salita) T/To è circa 0.50-0.60.
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica - ELICA
1200
Πd = ηp Πa =T V
1000
P disp. (turboelica)
P disp. (cost.)
⎛ Π a ⎞ 1 ρV C Do
RC = η p ⎜
⎟−
⎝ W ⎠ 2 (W/S)
3
800
P [hp]
600
2
1
−
(W / S )
π AR e ρV
400
200
0
0
Π no _ MIN
1
3
= ρ ⋅ S ⋅ (4 ⋅ CDo) ⋅VP =
2
=
4
33 / 4
2
1 W 3/2
ρ o π 3 / 4 σ 1/ 2
2
ρ
W
1/ 4
3/ 2
100
200
V [Km/h]
300
400
4C Do
1
S 1/ 2 33 / 4 π 3 / 4 AR e 3 / 4 C Do 3 / 4
1/ 4
C Do
C Do
W 3/2
= 0.95
0 95 1/ 2
3/ 4
1/2
σ AR e 3 / 4 S1/2
AR e S
500
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica - ELICA
Π no _ MIN =
4
33 / 4
2
1 W 3/2
ρ o π 3 / 4 σ 1/ 2
1/ 4
1/ 4
C Do
C Do
W 3/2
=
0.95
3/ 4
σ 1/ 2 AR e 3 / 4 S1/2
AR e S1/2
1/ 4
Πa
C Do
W
RC _ max = 76 ⋅η p
− 2.97
W
σ ARe 3 / 4 S1/2
Con potenza in [hp] e W in [Kg]
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica - ELICA
1/ 4
Πa
C Do
W
− 2.97
RC _ max = 76 ⋅η p
W
σ ARe 3 / 4 S1/2
Con potenza in [hp] e W in [Kg]
ma
C Do1/ 4
3/ 4
2
⎛ be ⎞
1/2
⎜
⎟
⎝ S ⎠
S
( CDo S)
1/ 4
=
b e 3/ 2 S -3/4 S1/2 S1/4
Πa
W f
= 76 ⋅ ηp
− 2.97
3/ 2
W
σ be
1/ 4
RCMAX
f 1/ 4
= 3/ 2
be
Con potenza in [hp] e W in [Kg]
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica - ELICA
Si può anche ricavare una espressione più semplice:
RC MAX
Π MIN
Π d Π MIN
=
−
W
W
VE W
VE
W 2
VE W
= Π P = VP ⋅ D P =
⋅
=
⋅
= 0.875
⋅
1.32 E P 1.32 E MAX 3
E MAX
RC MAX =
RC MAX
Πd
V
− 0.875 E
W
E MAX
⎡2 W 1 ⎤
Πa
= ηP
− 0.875⎢
⎥
W
ρ
S
CL
E⎦
⎣
1/ 2
1
E MAX
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica - ELICA
RCMAX
RC MAX
Πa
W f1/ 4
= 76 ⋅ ηp
− 2.97
W
σ be3 / 2
⎡2 W 1 ⎤
Πa
= ηP
− 0.875⎢
⎥
W
S
CL
ρ
E⎦
⎣
1/ 2
PARAMETRO
FONDAMENTALE
1
E MAX
Un’altra importantissima informazione che si ricava dalla 8.19 è che per un
velivolo ad elica il massimo rateo di salita si riduce all’aumentare del carico
alare.
Quindi, mentre per un velivolo a getto il rateo massimo di salita cresce al
crescere del carico alare, per un velivolo ad elica succede il contrario !
Quindi ridurre la superficie alare per un velivolo ad elica non comporta per il
rateo di salita un vantaggio come per i velivoli a getto.
Per i velivoli ad elica è molto importante ll’apertura
apertura alare per avere
buone capacità di salita !!
Cap.8 – VOLO LIBRATO
L = W cosθ
D = W sinθ
sin θ
D
=
cosθ
L
1
T θ =
Tan
L/D
Tanθ min
1
=
(L / D )max
Cap.8 – VOLO LIBRATO
Tanθ min
1
=
(L / D )max
L’angolo di planata minimo non dipende dalla quota, dal carico
alare o cose simili, ma
SOLO dall
dall’EFFICIENZA
EFFICIENZA MASSIMA !
Cap.8 – VOLO LIBRATO
Tanθ min
1
=
(L / D )max
1
L = ρ ∞V∞2 SC L
2
1
ρ ∞V∞2 SC L = W cosθ
2
V∞ =
2 cosθ W
ρ ∞CL S
Cap.8 – VOLO LIBRATO
V∞ =
2 cosθ W
ρ ∞CL S
è la velocità di planata di equilibrio. Chiaramente essa dipende dalla
quota) e dal carico alare.
alare Il valore di CL nell
nell’Eq
Eq. [8.24]
[8 24] è quel valore
particolare che corrisponde al valore specifico di L/D usato nell’Eq.
[8.22]. Ricordiamo che sia CL che L/D sono caratteristiche
aerodinamiche
di
i h dell’aereo
d ll’
che
h variano
i
con l’angolo
l’
l d’attacco,
d’ tt
come
mostrato in
Fig. 5.41. Si noti dalla Fig. 5.41 che un determinato
valore di L/D, indicato con (L/D), corrisponde ad un determinato angolo
d’attacco , che successivamente impone il coefficiente di portanza (CL).
Se L/D è mantenuto costante per tutta la traettoria di planata, allora CL è
costante lungo la traiettoria. Comunque la velocità di equilibrio cambierà
con la quota lungo questa traiettoria, diminuendo al diminuire della
quota.
Cap.8 – VOLO LIBRATO
V∞ =
2 cosθ W
ρ ∞CL S
T θ min
Tan
1
=
(L / D )max
Consideriamo di nuovo il caso di minimo angolo di planata
come trattato con l’Eq.
q [[8.23].
] Per un tipico
p
aeroplano
p
moderno, (L/D)max = 15, e per questo caso, dall’Eq. [8.23],
θ min = 3.8°
è un angolo piccolo. Quindi possiamo ragionevolmente cosθ
⎛L⎞
⎜ ⎟ =
⎝ D ⎠ max
1
4CD ,0 K
V( L / D )max
⎛ 2
=⎜
⎜ ρ∞
⎝
K W ⎞⎟
CD , 0 S ⎟⎠
1
2
=1
Cap.8 – VOLO LIBRATO
V∞ =
2 cosθ W
ρ ∞CL S
T θ min
Tan
1
=
(L / D )max
Rateo di discesa RD
RD = VV = V∞ sin θ
DV∞ = W ⋅ V∞ sin θ = W ⋅ VV
DV∞
VV =
W
Cap.8 – VOLO LIBRATO
RD MINIMO => POTENZA Minima
CL3 / 2
è massimo
CD
(V∞ )min velocità di affondata
⎛ 2
=⎜
⎜ ρ∞
⎝
1/ 2
K W
3CD , 0 S
⎞
⎟
⎟
⎠
Cap.8 – VOLO LIBRATO
ASSETTO di minimo RD e di minimo angolo sono diversi !!
L = W cosθ
1
W cosθ = L = ρ ∞V∞2 SC L
2
ODOGRAFO VOLO LIBRATO
Cap.8 – VOLO LIBRATO
La curva di RD è la curva della ppotenza necessaria ribaltata.
E’ come RC con potenza disponibile=0
TV DV
DV
RC =
−
=−
W
W
W
ODOGRAFO VOLO LIBRATO
Cap.8 – VOLO LIBRATO
L = W cosθ
D = W sinθ
W cosθ = L =
V∞ =
1
ρ ∞V∞2 SC L
2
2W cosθ
ρ∞ SCL
2 cosθ W
ρ ∞CL S
VV = V∞ sin θ = (sin θ )
sin θ =
Dividendo tra loro le 2 equazioni di equilibrio
VV =
2 cos3 θ W
ρ ∞ CL3 / CD2 S
(
)
=> VV =
D
C
cosθ = D cosθ
L
CL
2
W
ρ ∞ CL3 / CD2 S
(
)
((cosθ)=1
)
Cap.8 – VOLO LIBRATO
VV =
L = W cosθ
D = W sinθ
2
W
ρ ∞ CL3 / CD2 S
(
)
L’Equazione mostra esplicitamente che
(VV )min
=>
(C
3/ 2
L
/ CD
)
max
.
Essa mostra inoltre che la velocità di discesa diminuisce al
diminuire della quota e aumenta come la radice quadrata del carico
alare.
l
Cap.8 – QUOTA TANGENZA
Quote di tangenza per il CP-1
9000
8000
7000
Quota
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
2
4
Massimo R/C [m/s]
6
8
Cap.8 – QUOTA TANGENZA
TANGENZA
Cap.8 – QUOTA TANGENZA
Tangenza Teorica (RC=0)
Tangenza pratica (RC
(RC=0
0.5
5 m/s)
(circa 100 ft/min)
Q uote di tange nz a pe r il CJ-1
16000
14000
12000
Quota [m
m]
10000
JET
8000
6000
Quota di tangenza teorica (R/C = 0) = 14935.2 m
Quota di tangenza pratica (R/C = 0.5
0 5 m/s) = 14630.4
14630 4 m
4000
2000
0
0
10
20
30
Massimo R/C [m/s]
40
50
Cap.8 – QUOTA TANGENZA
Based on maximum climb rates
Absolute Ceiling = 0 ft/min ROC (quota tangenza teorica)
Service Ceiling = 100 ft/min ROC (quota tangenza pratica)
Cruise Ceiling = 300 ft/min ROC
Combat Ceiling = 500 ft/min ROC
Cap.8 – TEMPO DI SALITA
dh
dt =
t=
RC=dh/dt
R/C
h2
h2
dh
∫h R / C
1
dh
t=∫
R/C
0
Partendo da S/L
0,7
0,6
(R/C)^-1
0,5
0,4
Il tempo è l’integrale
(area sottesa)
0,3
0,2
01
0,1
0
0
1000
2000
3000
4000
Q uota [m]
5000
6000
7000
Cap.8 – TEMPO DI SALITA
0,7
0,6
h2
dh
t=∫
R/C
0
(R/C)^-1
05
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
1000
2000
3000
4000
Q uota [m]
Se assumiamo come legge di RCmax(h) una legge lineare:
RC
CMAX = a + b ⋅ h
h
t min
h
dh
dh
=∫
=∫
RCMAX 0 a + b ⋅ h
0
t MIN
1
= [ln
l (a + b ⋅ h ) − ln(
l (a ) ]
b
5000
6000
7000
Cap.8 – QUOTA ENERGIA ED ECCESSO DI POTENZA
SPECIFICO
Overview
•
•
•
•
Energy Height (quota energia)
Specific Excess Power
Ps Charts
Applicazioni
– Minimo
Mi i
tempo
t
di salita
lit
– Confronto velivoli
Motivo di He e Ps
• Il diagramma V-n mostra i limiti delle
prestazioni
t i i dei
d i velivoli
li li
• Ad ogni
g modo, mostra solo una pprestazione
istantanea. Non si può determinare la
sostenibilità di una manovra dal V-n
diagram
• Energy height e specific excess power sono
una misura di “sustained performance”
Energy Height
Energy Height è misura dell’energia meccanica totale posseduta
(potenziale + cinetica) da un velivolo.
1
2
E = mgh + mV
2
Per confrontare velivoli possiamo normalizzare rispetto al peso(mg).
2
V
He = h +
2g
Energy Height
Energy Height
Plot di curve a costante energy height.
h
H e = const
1
2
3
V
E’ quello che ogni pilota sa: si può trasformare velocità in quota
E
e viceversa e più si ha di entrambe le cose meglio è !
Specific Excess Power
Un pilota vuole iniziare un combattimento con quanta maggiore
energia possibile.
Il velivolo che riesce a cambiare la propria “Energy height” più
rapidamente avrà un significativo vantaggio:
Guardiamo la derivata rispetto al tempo di He:
dHe dh V dV
= +
dt
dt g dt
Questa è una misura della capacità del velivolo di salire e/o
accelerare.
l
Specific Excess Power
dHe
dh V dV
≡ Ps =
+
dt
dt g dt
(T − D)V
=
W
(TA − TR )V
≈
W
PA − PR
≈
W
Specific
Excess
Power,
Ps
Specific Excess Power
• Se Ps è positiva,
positiva il velivolo può:
– Salire
– Accelerare
– O entrambe le cose
• If Ps is negative, il velivolo può:
– Scendere (perdere quota)
– Decelerare
– O entrambe le cose
• Se Ps =0, il velivolo si stabilizza in volo
di itt e livellato,
diritto
li ll t non accelerato.
l t
• Noi plottiamo Ps al di sopra di un plot di
He (visto prima) (energy height plot).
Ps Charts
F-16C
Ps Charts
80000
70000
Lines of Constant Energy Height
50000
Ps
qL
im
it 8
00
KC
AS
80
0f
t/s
10000
=
20000
t/s
f
0 Minimum Time to
0
2
Climb Profile
=
Ps
t/s
f
0
40
=
Ps
t/s
f
0
60
=
Ps
s
30000
=
t/s
f
0
P
40000
Maxi
mum
Lift
Altitude and Energy Heig
A
ght, ft
60000
CONFIGURATION
50% Internal
I t
l Fuel
F l
2 AIM-9 Missiles
Maximum Thrust
Weight:
We
g : 21737
737 lbs
bs
n=1
0
0
200
400
600
800
True Airspeed, V, knots
1000
1200
Ps Charts
Un Ps chart è valido pper:
• 1 Peso (ad es. 21737 lbs)
– Se incremento il peso Ps=0 contour “shrinks”
shrinks
• 1 configurazione (ad es. 2 AIM-9 missiles)
– “Dirty” configuration shrinks plot
• 1 Throttle setting
g (Maximum
(
power)
p
)
– Lower throttle setting shrinks plot
• 1 Load factor (1 g)
– Increased “g” shrinks plot
Ps Charts
Che informazioni posso ricavare da un Ps chart?
•
•
•
•
•
Absolute ceilings (subsonic and supersonic)
Maximum speed
Maximum “zoom” altitude
“Reachability” (sinistra di max He)
Sustainability (On or inside Ps
Ps=0)
0)
Applicazione:
Minimum Time to Climb
R ll
Recall:
dHe dh V dV
Ps =
=
+
dt
dt g dt
Per ottenere
P
tt
il minimo
i i
t
tempo
di salita
lit bisogna
bi
massimizzare il climb rate (dHe/dt). Quindi bisogna
attraversare
tt
ognii energy height
h i ht curve (curva
(
a costante
t t
He) alla massima possibile specific excess power Ps.
Applicazione:
Mi i
Minimum
Time
Ti to
t Climb
Cli b
F 16C
F-16C
Applicazione:
Maneuvering
M
i Ps
P
(Come cambia il Ps plot in caso di n=5)
80000
80000
CONFIGURATION
50% Internal Fuel
2 AIM-9 Missiles
Maximum Thrust
Weight: 21737 lbs
n=1
20000
im
10000
qL
0
=
2
40 00
0 f ft/
t/s s
Ps
s
80
=
s
P
10000
30000
s
ft/
0
=
=
Ps
0
60
s
ft /
0f
t/s
=
s
s
Lift
Ps
mum
20000
4
ft/
40000
P
=
00
Climb Profile
50000
Lift
30000
Altitude and Ene
ergy Height, ft
Ps
s
ft/ Minimum Time to
AS
=
0
20
KC
40000
s
00
Ps
0
=
ft/
60000
it 8
50000
Maxi
Altitude and Ene
ergy Height, ft
60000
P
Lines of Constant Energy Height
70000
Maxi
mum
70000
CONFIGURATION
50% Internal Fuel
2 AIM-9 Missiles
Maximum Thrust
Weight: 21737 lbs
n=5
0
0
200
400
600
800
True Airspeed, V, knots
1000
1200
0
200
400
600
800
True Airspeed, V, knots
1000
1200
Applicazione:
Confronto fra velivoli
• Overlay(Sovrapporre) Ps charts per 2
velivoli
li li
• Determinare chi ha un vantaggio
gg
• Dove può volare e come ad esempio un
velivolo vuole combattare.
• Tanti altri fattori da considerare
80000
Both Aircraft
Max Thrust
50% Internal Fuel
2 x IR Missiles
n=1
70000
50000
B
No Advantage
for
40000
30000
Ad
va
nta
ge
for
A
Ex
clu
siv
e
Altitude and Energy Heig
A
ght, ft
60000
Advantage
Ad
t
for B
20000
Exclusive
for A
10000
0
0
200
400
600
800
True Airspeed, V, knots
1000
1200