Compito di Fisica 2
27 Giugno 2013
y
+σ
−σ/2 +σ/2
1. Si hanno quattro piani indefiniti paralleli uniformemente carichi,
disposti come in figura ( σ = 10-5C/m2 ; d = 1cm ). Determinare
l’espressione di: (a) campo elettrostatico e potenziale elettrostatico
in tutto lo spazio; mostrandoli in grafico. (b) Calcolare l’energia
elettrostatica totale del sistema.
−σ
x
-3d
-d
d
+3d
2. Si consideri un cilindro avente massa m = 200g, lunghezza 13cm,
raggio R = 4cm. Attorno al cilindro è avvolto un cavo di materiale
conduttore in modo che l’avvolgimento sia su un piano passante per
l’asse del cilindro. Il numero di spire è N = 50. Il cilindro è appoggiato
su un piano inclinato di 20° rispetto all’orizzontale. Il piano dell’avvolgimento è inclinato di 45° rispetto al piano
orizzontale. E’ presente un campo magnetico verticale uscente B = 0.5T. (a) Determinare il momento di dipolo
magnetico del sistema. (b) Calcolare la corrente che deve circolare nell’avvolgimento per evitare che il cilindro
rotoli lungo il piano inclinato. Indicarne il verso. (c) Alle condizioni del punto (a) ma in essenza di attrito tra
cilindro e piano il cilindro si muoverebbe ? Spiegare.
3. Due fili rettilinei e paralleli, con direzione dell’asse y, posti a distanza X = 8cm, molto minore della loro
lunghezza, sono percorsi da stessa corrente I = 10A in verso opposto. I fili hanno sezione circolare di raggio a =
5mm. Ricavare l’espressione e mostrare in un grafico l’andamento del campo magnetico prodotto dai due fili di
corrente in funzione di x. (b) Supponendo di poter trascurare il contributo dovuto al campo magnetico presente
all’interno dei fili si determini l’induttanza per unità di lunghezza del circuito così composto.
4. In una regione dello spazio vi è campo elettrico pari a: E(r) = axyux + bxuy + azyuz, con r = xux + yuy + zuz,
con a e b costanti note. (a) Determinare l’espressione del campo magnetico, imponendo esso sia nullo per t =
0. (b) Determinare le espressioni delle sorgenti del campo elettromagnetico.
5a. n = 3 moli di gas perfetto biatomico compiono un ciclo termodinamico, a partire dallo stato iniziale a
pressione p0 = 1 atm e temperatura t0 = 0 °C. a) La serie di trasformazioni quasi-statiche è costituita da una
prima trasformazione isocora fino al raggiungimento della pressione p1 = 3p0 , seguita da una isobara fino al
volume v2 = 2v0 e successivamente da una isocora fino alla pressione p0 ed una ulteriore isobara fino allo stato
iniziale. Calcolare il lavoro compiuto nel ciclo ed il suo rendimento. b) La serie di trasformazioni è identica alla
precedente ad eccezione dell’espansione isobara, dal volume v0 al volume v2 , che viene rimpiazzata da
un’espansione libera. Calcolare il lavoro compiuto nel ciclo.
5b. Un dipolo elettrico oscillante p=p0sen(ωt) produce il campo elettrico: , , = −
−
, dove θ è l’angolo tra il vettore posizione r e p0. (a) Determinare l’espressione del vettore di Poynting in
funzione del tempo e dello spazio; (b) Calcolare la potenza che attraversa una superficie di raggio r all’istante t
e determinarne il suo valor medio temporale.
E
Soluzioni
+σ/ε0
1. (a) per il principio di sovrapposizione tra i campi elettrici prodotti
dai piani si perviene a: E = 0 per x> 3d U x < -3d ;
+σ/2ε0
x
E = σ/ε0 per -3d < x < -d U d < x < 3d ; E = σ/2ε0 per -d < x < +d .
% "
#$
= −
ponendo V(0) = 0 :
− =
"
' #$ .
− 0 = &
"
"
→ = $ − − #$ = − $
= 3 =
x > 3d
= −
;
− =
d < x ≤ 3d
"
"
#$
+"
x <-3d = −3 = # $ .
( "
& $ ;
"
#$
V [Volt]
− = . -d ≤ x ≤ d
-d
-3d
.
+3d
5.00E+04
4.00E+04
3.00E+04
2.00E+04
1.00E+04
0.00E+00
-0.02
-1.00E+04 0.00
-0.04
"
' #$ ;
0.02
0.04
x[cm]
-2.00E+04
"
− $ 3
d
"
' #$ =
*+ "
# $
-3.00E+04
;
-4.00E+04
-5.00E+04
-
-
" #
-
"
#
" #
4
(b) , = # .% # / = # .% 0$ 1 233 − ' # .% 0#$ 1 23 = .% 3 0$ 1 .
2. (a) Area delle N spire: A = 2LR. Momento di dipolo magnetico del pacchetto di spire: m = N I A un .
(b) All’equilibrio la somma dei momenti sul sistema deve essere pari
a zero. Sul sistema agisce un momento meccanico dovuto alla
presenza del dipolo magnetico: 56 = 7 6 → N I A B sen 45° = mg
sen20° R → 8 = :;#%°=
>+°
m
B
= 0.073A. La corrente scorre in senso
20°
antiorario guardando la sezione del pacchetto di spire dall’alto.
(c) Se non ci fosse la forza di attrito statico il corpo scivolerebbe lungo il piano con accelerazione a = g sen20°.
3. (a) Utilizzando la legge di Biot-Savart si perviene all’espressione per il campo B fuori dai fili:
@
0
# A
-
− A*B1 CD
0.0005
B [T]
6? =
Con grafico come in figura.
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
-5.00E-02
0
0.00E+00
-0.0001
5.00E-02
1.00E-01
-0.0002
-0.0003
-0.0004
-0.0005
y[m]
1.50E-01
(b) presa una lunghezza del filo b Il flusso attraverso la porzione relativa di circuito è:
EF = FG =
4. (a) M N = −
(6
(O
@
#
B*J -
H J
-
0A − A*B1 ? =
= GPQR ' H − G QS →
@
#
HI 0
B*J
J
1 e quindi K =
L
@
=
#
HI 0
B*J
J
1
6T, = 6T, 0 − GPQR + H − G QS →
6T, = −GPQR ' H − G QS .
(b) M ∙ N =
V
$
→ ρ = 2 ε0 a y ; M 6 = W% 0X ' .%
(N
1
(O
= W% X
→ J = -2 a t / µ0 uy .
5a. V0 = nRTA / p0 = 6.72x10-2 m3. Inoltre valgono: TB = 3TA; TC = 6TA; TD = 2TA.
p
3p0
B
p0
A
D
V0
2V0
C
4
(a) W = 2p0V0 = 1.36x10 J. QDA = ncp(TA-TD) = -ncpTA < 0 ;
QBC = ncp(Tc-TB) = 3ncpTA > 0; QCD = ncv(TD-TC) = -4 n cvTA < 0 ;
QAB = ncv(TB-TA) = 2ncvTA > 0; quindi Y =
Z
[\]]
=2
^
c
f
_`ab # de =
#-
= 19%.
(b) se la trasformazione BC diviene una espansione libera il lavoro scambiato
in tale trasformazione è nullo. Poiché e’ nullo anche nelle due isocore il lavoro
scambiato nel ciclo è pari a quello della sola trasformazione DA: W = -p0V0 = - 6.81x103 J.
5b. (a) g =
N
6 ; h = .% i # F = (b) m, = hG = j
j
k l
O*nk l
#
V
# − .
% % # # E dove si è preso:
da = r2senθ dθ dφ.
Considerato
#
e
− siqt% =
che:
e
#
-
#
% % e E = 2o % e = 2o p− e # iqr + e % =
la potenza istantanea diviene: m, =
Infine, sapendo che : < # − >=
#
u # vj
%
− .
abbiamo la potenza media: < m >=
u -#j
.