Assicurazioni vita e mercato del
risparmio gestito
Lezione 11
Prodotti Strutturati di Tasso
Derivati di tasso
Formula di Black
• La formula di Black, che viene utilizzata per le opzioni sui futures, è in
effetti un semplice modo di riscrivere la formula di Black e Scholes
utilizzando il prezzo forward come sottostante, piuttosto che il prezzo
spot.
• Ricordando ancora che il prezzo forward è definito come F(Y,t) =
Y(t)/v(t,T) e le formule di Black e Scholes otteniamo immediatamente
Call = v(t,T)[F(Y,t)N(d1) – KN(d2)]
Put = v(t,T)[– F(Y,t)N(– d1) + KN(– d2)]
• Per motivi tecnici che non spieghiamo in questo corso l’utilizzo del
prezzo forward piuttosto che di quello a pronti è un criterio di largo
utilizzo nei derivati su tassi di interesse e su titoli obbligazionari, e
questo rende la formula di Black largamente utilizzata.
•
Opzioni su titoli di debito
Utilizzo
Opzioni su titoli di debito sono utilizzate soprattutto
per modificare il piano di rimborso dei titoli
obbligazionari (titoli extendible/retractable)
• Titoli putable: titoli che contengono una put sul titolo,
a disposizione dell’investitore, tipicamente per un
rimborso al nominale (es. i vecchi CTO)
• Titoli callable: titoli che contengono una call sul titolo,
a disposizione dell’emittente, per richiamare il debito
(presente in molti titoli corporate)
• Titoli exchangeable: cambio del piano di rimborso
2017
2016
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2008
2007
2006
2005
2004
2003
2002
2001
2000
Flussi
Exchangeable bond
BEI 20FB2017
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
S1
•
Opzioni su titoli obbligazionari
Valutazione
Il principio di fondo della valutazione di opzioni su titoli
obbligazionari è che il sottostante cui è riferita l’opzione è il
prezzo forward del titolo, piuttosto che il suo prezzo a pronti, e
anche la volatilità deve essere riferita al prezzo forward.
• Intuitivamente, questo conduce a utilizzare la formula di Black.
Un’opzione call su un coupon bond con scadenza T e cedola
fissa c, per esercizio al tempo  e strike K è dato da
Call = v(t,)[F(P(t,T;c),t)N(d1) – KN(d2)]
dove
F(P(t,T;c),t) = [P(t,T;c) – I(t, )]/v(t,)
e I(t,) è il valore attuale del flusso di interessi che verrà
maturato dal titolo tra la data corrente e quella di esercizio
dell’opzione.
Il portafoglio di replica
• Consideriamo un’opzione call su un titolo P(t,T;c)
con scadenza T e cedola c per un ammontare
nominale L e data e prezzo di esercizio  e K
rispettivamente.
• Il valore dell’opzione corrisponde a
– Una posizione lunga per LN(d1) di valore nominale del
titolo
– Una posizione corta in un flusso di cedole di
ammontare cLN(d1) con scadenze ti  
– Una posizione corta in uno ZCB per un ammontare
nominale LKN(d2) e scadenza .
La volatilità del prezzo forward
• La variabile chiave per la valutazione delle opzioni su titoli
obbligazionari è la volatilità
• Nel modello di Black la volatilità è riferita a variazioni
percentuali del fattore di sconto, nell’assunzione che
questo sia distribuito normalmente.
• Poiché sul mercato è quotata la volatilità del tasso, la
volatilità del fattore di sconto è recuperata calcolando
Vol. sconto = vol.tasso x duration x tasso
dove il tasso di rendimento e la duration sono riferiti al
contratto a termine che costituisce il vero sottostante del
contratto.
• Si noti che in generale la formula coinvolge il fattore di
rischio, che in questo caso è rappresentato dal tasso interno
di rendimento, e dalla sensitività del fattore di sconto a
questo fattore di rischio, la duration.
Contratti derivati su tassi
Cap e floor
Opzioni su tassi di interesse
Utilizzo
• Le opzioni su tassi di interesse sono utilizzate per
porre un limite superiore (cap) o inferiore (floor)
al valore di una cedola indicizzata
• Un cap/floor è un portafoglio di opzioni call/put
sul tasso di interesse, tipicamente definito sullo
scadenzario di un flusso di cedole indicizzate
• La singola opzione del portafoglio è chiamata
caplet/floorlet. L’utilizzo è
Tasso indice – max(Tasso Indice – Strike, 0)
Tasso indice + max(Strike – Tasso Indice, 0)
Call – Put = v(t,)(F – Strike)
• Ricordando la relazione di parità tra put e call e
applicandola a cap/floor otteniamo
Caplet(strike) – Floorlet(strike)
=v(t,)[cedola attesa – strike]
=v(t,)[f(t,,T) – strike]
• Questo suggerisce immediatamente che il
sottostante del caplet e del floorlet deve essere il
tasso d’interesse forward, e la volatilità deve
essere quella riferita a tale tasso.
Opzioni su tassi di interesse
Valutazione
• Ciascuna delle opzioni sui tassi di interesse caplet
/floorlet sono prezzate individualmente e sommate
per ottenere il valore del cap/floor
• Una ricetta semplice consiste nell’utilizzare la
formula di Black & Scholes avendo cura di
– Considerare il tasso forward e la volatilità
corrispondente anziché il tasso spot
– Il valore così ottenuto viene scontato utilizzando il
fattore di sconto corrispondente alla data di esercizio
Cap/Floor: copertura
• Utilizzando la formula di Black, otteniamo
Caplet = (v(t,tj) – v(t,tj+1))N(d1) – v(t,tj+1) KN(d2)
Floorlet =
(v(t,tj+1) – v(t,tj))N(– d1) + v(t,tj+1) KN(– d2)
• La formula suggerisce immediatamente una
strategia di replica o copertura basata su posizioni
lunghe (corte) sulla scadenza tj e corte (lunghe)
sulla scadenza tj+i per caplet (floorlet)
Cap/Floor
Convezioni di mercato
• I contratti tipicamente scambiati sul mercato
sono con cadenza trimestrale sotto la
scadenza di un anno e semestrali per
scadenze più lunghe
• Un cap/floor è detto at-the-money se il
prezzo strike è uguale al tasso forward swap
definito sullo stesso scadenzario del
contratto.
Swaption
• Le swaption sono opzioni che consentono di
entrare in un swap fisso contro variable a un
tasso strike, ad una data prefissata.
• Una payer-swaption dà il diritto a entrare in
un payer swap e corrisponde a un’opzione
call, mentre una receiver-swaption dà diritto
a entrare in un receiver swap e corrisponde
a un’opzione put.
Cap/floor e swaption
• Come cap e floor, anche la swaption è definita atthe-money se lo strike è uguale al tasso forward
swap su un contratto per lo stesso scadenzario.
• Si noti che mentre un cap è un portafoglio di
opzioni, una swaption è un’opzione su un
portafoglio (un’opzione basket).
• Per questo motivo una swaption vale sempre meno
del corrispondente cap (stesso scadenzario e
strike)
Swap e forward start swap
• Un swap permette al detentore di scambiare un flusso di
pagamenti fissi con un flusso di pagamenti indicizzati.
• Il tasso swap è il tasso fisso stabilito all’origine, in modo
che, scambiato con pagamenti indicizzati, rende il valore
del contratto pari a zero.
• Un swap forward è un swap che inizia ad una data futura,
diciamo tn
• Il tasso forward swap è il tasso fisso, stabilito in t, che,
scambiato con un flusso di cedole indicizzate, rende il
valore del swap forward pari a zero.
Swaption
• Una swaption fornisce al detentore il diritto, ma non
l’obbligo, di entrare in un contratto swap ad una
data futura tn con un tasso swap pari a Rs.
• Date di reset {tn , tn+1,……tN} per il swap, con
pagamenti dovuti alle date {tn +1 , tn +2,……tN + 1}
• Definiamo i = ti +1– ti il tempo tra le date di
pagamento e di reset delle cedole ed una
combinazione lineare di fattori di sconto
N
At ; n, N     i vt , ti 1 
i n
Il pay-off di una swaption…
• Una swaption con strike Rs dà al detentore il
diritto di entrare in un swap nel quale paga fisso e
riceve variabile può essere vista come una
sequenza di pay-off…
i max[R(tn;n,N) - Rs ,0]
dove R(tn;n,N) è il tasso swap che verrà osservato
al tempo di esercizio tn mentre il valore attuale del
pay-off sarà,
A(tn;n,N) max[R(tn;n,N) - Rs ,0]
…e la valutazione
• Il valore della swaption è calcolato quindi usando
Swaption = A(t;n,N) EA{max[R(tn;n,N) - Rs ,0]}
• Notate che il sottostante dell’opzione è un tasso,
piuttosto che un prezzo. Se assumiamo che esso
abbia distribuzione log-normale, possiamo
recuperare il prezzo utilizzando ancora una volta
la formula di Black
Swaption = A(t;n,N) Black[S(t;n,N),K,tn,(n,N)]
Swaption: ricetta di valutazione
• La valutazione della swaption è complessa, ma la
ricetta finale è simile a quella utilizzata per la
valutazione di cap e floor.
• Possiamo utilizzare la formula di Black, avendo
cura di
– Considerare il tasso forward swap e la volatilità
corrispondente anziché il tasso swap
– Scontare il risultato così ottenuto utilizzando la somma
dei fattori di sconto sullo scadenzario del swap
sottostante.
Swaption: copertura
• Utilizzando la formula di Black, otteniamo
Swaption =
(v(t,tj) – v(t,tN))N(d1) – iv(t,ti) KN(d2)
• La formula suggerisce immediatamente una
strategia di replica, suggerita o copertura basata su
– Una posizione lunga sulla scadenza di pagamento del
primo flusso per un ammontare N(d1)
– Una posizione corta in corrispondenza del pagamento
dell’ultimo flusso per un ammontare N(d1)
– Una posizione corta in un portafoglio di titoli sullo
scadenzario per un ammontare N(d2)
Esercizio su un contratto swap
• Scadenzario:
–
–
–
–
Data iniziale 24/12/2001
Prima scadenza 24/12/2002
Seconda scadenza 24/12/2003
Scadenza finale 24/12/2006
• Periodicità cedole: trimestrale, act/360
• Data primo fixing Euribor: 20/12/01
• Data primo fixing Libor US $: 20/12/02
I flussi di pagamento
• La banca paga: Euribor 3 mesi, posticipato
• Il cliente paga:
– Dalla data iniziale alla 1a scadenza: 2.85%
– Dalla 1a alla 2a scadenza
• 4.20% se Libor US < 5.25%
• Libor US se Libor US  5.25%
– Dalla 2a scadenza alla scadenza finale
• 5.20% se Libor US < 6.25%
• Libor US pagato in Euro se Libor US  6.25%