Idrodinamica (a.a. 2011/2012)
Profili di moto
permanente
1
Marco Toffolon
Introduzione
Derivazione dell’equazione dei profili di moto permanente
 Q

0
t x
(ipotesi:
stazionario)
Q
0
x
Q   Q 2 
h
  g  gj  0
  
t x   
x
Fr2 d dh


 j0
b dx dx
d 
 dh 
dh



b
dx x h h x dx x h
dx
Fr2 
2 dh

 1  Fr
 j0
b x h
dx

Fr2 

j
dh
b x h

dx
1  Fr2

Q  costante

Q 2 d
 2 dx
 g
dh
 gj  0
dx
Fr2 d dY


 if  j  0
b dx dx
d 
dY

b
dx x Y
dx
Fr2 
2 dY

 1  Fr
 j  if  0
b x Y
dx


Fr2 

 if  j
dY
b x Y

dx
1   Fr2
Introduzione
Equazione dei profili
dh

dx
generale
Fr2b 1 , x h  j
j
1  F
2
r
U2
C h2 gRh
Q
U
Fr 

 g b
gY
dY i f  j

dx 1  Fr2
riferita al fondo,
alveo prismatico (e  =1)
condizioni critiche
Yc  3
Q2
gb 2
i f  Ch2
Fr  1
Fr  1
j  if
moto uniforme
(alveo rettangolare)
pendenza critica
(alveo rettangolare)
j  if
(alveo rettangolare,
coeff. Chézy)
dY
0
dx

Q

Yu 
 bCh gi f

QY   Ch gRh i f




2
3
(alveo rettangolare
largo,
coeff. Chézy)
Profili di moto permanente:
condizioni al contorno
Cond. cont.
Condizioni al contorno
monte: condizione di moto supercritico (veloce)
Fr>1  celerità di propagazione dell’informazione solo verso valle
Fr<1
Y critica
Fr>1
zona «utile»
(in cui possono essere
applicate le condizioni
al contorno)
valle: condizione di moto subcritico (veloce)
Fr<1  celerità di propagazione dell’informazione
anche verso monte
Fr<1
Y critica
Fr>1
Cond. cont.
Casi possibili
alveo fluviale: if<ic
alveo torrentizio: if>ic
monte: corrente veloce
valle: corrente lenta
s1
Y critica
s2
moto unif.
Y critica
moto unif.
s3
m1
moto unif.
moto unif.
Y critica
m3
m2
Y critica
Cond. cont.
Alvei critici (if=ic)
alveo fluviale: if<ic
alveo torrentizio: if>ic
monte: corrente veloce
moto unif.
valle: corrente lenta
Y critica
c3s3
c1m1
moto unif.
Y critica
Cond. cont.
Alvei piani (if0)
valle: corrente lenta
alveo torrentizio: if>ic
monte: corrente veloce
alveo fluviale: if<ic
moto unif.
moto unif.
h2  m2
Y critica
h3m3
Y critica
Profili di moto permanente:
cambi di pendenza
Cambi
Cambi di pendenza
moto uniforme
Q  k s i f Rh2 3
Yu
Q
F

1
profondità critica
r
 g b
quattrocambi
Yc Q  3
Plan: Plan 02
Q2
gb 2
(alveo rettangolare)
19/04/2012
cambi unico
8
Legend
b = 10 m
s1 = 0.005
s2 = 0.05
ks = 1/0.03
= 33.3 m1/3/s
Q = 10 m3/s
Elevation (m)
6
Yu = 0.63 m
U = 1.60 m/s
Fr = 0.64
Yc = 0.47 m
S/r = 35 m4/s2
Yu = 0.31 m
U = 3.26 m/s
Fr = 1.88
Yc = 0.47 m
S/r = 37 m4/s2
EG PF 1
WS PF 1
Crit PF 1
Ground
4
s1 = 0.005
2
s2 = 0.05
0
0
s1 = 0.005 50
100
150
200
Main Channel Distance (m)
250
300
350
Cambi
Localizzazione risalto
spinta
Q2 1

 gbY 2
r bY 2
S
S  rQU  pG 
quattrocambi
Plan: Plan 02
(alveo rettangolare)
19/04/2012
cambi unico
8
6
Elevation (m)
Legend
b = 10 m
s1 = 0.005
s2 = 0.05
ks = 1/0.03
= 33.3 m1/3/s
Q = 50 m3/s
EG PF 5
S2 > S1  il risalto si situa
nel tratto di valle (2)
WS PF 5
Crit PF 5
Ground
4
s1 = 0.005 Yu = 1.77 m
U = 2.82 m/s
Fr = 0.68
Yc = 1.37 m
S/r = 295 m4/s2
2
s2 = 0.05
0
0
s1 = 0.005 50
100
150
200
Main Channel Distance (m)
250
Yu = 0.84 m
U = 5.97 m/s
Fr = 2.08
Yc = 1.37 m
S/r = 333 m4/s2
300
350
Profili di moto permanente:
problema dell’imbocco
Imbocco
Portata derivata da un lago/serbatoio
energia specifica totale
H  E  zimb
energia specifica rispetto al fondo
moto uniforme nel tratto di valle
U 0
Q2
E Y 
2 g 2
 Q
Yu  
 bk s i f

Q  k s i f R
23
h
E
H  hL
z sm
if




3
5
(rettangolare
largo)
Imbocco
Approccio energetico
energia specifica totale
H  E  zimb
Q2
U2
E Y 
Y 
2
2 g
2g
energia specifica
rispetto al fondo
 k s2i f 4 3
 alveo
Yu  Yu  E0  0 rettangolare

 2 g
 largo
k s2i f
2g
Ru4 3 Yu   Yu  E0  0
U  k s i f Rh2 3
moto uniforme
Yu
Y
E0
punto di funzionamento
se il tratto di valle è in
corrente lenta
Yu Q | i f ,...
if
Fr<1
se la pendenza è maggiore il sistema
va verso le condizioni critiche
(portata massima derivabile data
l’energia di monte)
Qmax
Q
Imbocco
Portata massima derivabile (alveo veloce)
profondità critica
(a energia fissata)
Yc
E
2
 E0
3
in corrente veloce la condizione di valle
non influenza la portata derivata a monte
Y
U c  gYc
condizioni critiche
Qmax  bYc gYc
portata massima
derivabile con
l’energia di monte
il sistema si adatta aumentando l’energia specifica (profilo s2)
E1
E0
condizioni di funzionamento
(moto uniforme veloce)
Fr>1
Yu Qmax 
Qmax
Q
Yu ,Q max
 Q
  max
 bk s i f





3
5
(profondità di moto uniforme
con portata massima,
alveo rettangolare largo)
Imbocco
Metodo di verifica
Y
QYc   Qmax
Yu Q | i f ,...
E0
moto uniforme lento
Yu Q | i f ,...
Fr<1
Yc
QYc   Qmax
Y

Yu Qmax 
moto uniforme veloce
E1
E0
Yc
Fr>1
Yu Qmax 
Qmax
Q
Qmax
QYc   bk s i f Yc5 3
Q
imbocco
P lan: Plan 05
19/04/2012
lago_fiume unico
3.0
HEC-RAS
Legend
moto uniforme lento
EG PF 4
WS PF 4
Crit PF 4
2.5
Ground
Elevation (m)
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0
50
100
Main Channel Distance (m)
imbocco
P lan: Plan 04
19/04/2012
lago_fiume unico
Legend
EG PF 4
moto uniforme veloce
3.0
Crit PF 4
WS PF 4
Ground
2.5
Elevation (m)
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0
5
10
Main Channel Distance (m)
15
20
150
200
Imbocco