Università degli studi di Trento
Corso di Meccanica razionale 2
Travi e loro equilibrio
Dispense per il corso di Meccanica Razionale 2
di Stefano Siboni
1. Nozione geometrica di trave
Nell’accezione corrente per trave si intende un continuo solido a struttura tubolare, in cui
una dimensione prevale nettamente sulle altre due: la struttura geometrica della trave può
pensarsi ottenuta traslando una superficie piana lungo una curva assegnata, ortogonalmente o comunque non tangenzialmente a questa. Formalmente, la trave T è definita da
una parametrizzazione regolare C 1 della forma
ϕ : D × [0, L] −−−−−−−−→ R3
dove D è un dominio compatto(1) e connesso di R2 e [0, L] un intervallo reale limitato
e chiuso. La parametrizzazione associa ad ogni punto (u, v) ∈ D e s ∈ [0, L] un punto
ϕ(u, v, s) della trave. La condizione di regolarità significa, al solito, che
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
∧
·
(u, v, s) = 0
∂u ∂v ∂s
∀ (u, v, s) ∈ D × [0, L]
Un punto (u0 , v0 ) ∈ int(D) prefissato definisce la direttrice o generatrice della trave:
def
γ=
ϕ(u0, v0 , s)
s∈[0,L]
rappresentata per mezzo della parametrizzazione
s ∈ [0, L] −−−−−−−−→ ϕ(u0 , v0 , s) = P (s)
regolare e C 1, di cui s costituisce l’ascissa curvilinea. La direttrice è una curva regolare e
la sua lunghezza L si dice lunghezza della trave.
Per ogni s ∈ [0, L] fissato, la superficie regolare di parametrizzazione:
(u, v) ∈ D −−−−−−−−→ ϕ(u, v, s)
costituisce la sezione trasversale della trave in s e viene indicata con σ(s):
def
σ(s) =
ϕ(u, v, s) .
(u,v)∈ D
Il punto P (s) = ϕ(u0 , v0 , s) è detto centro della sezione.
(1)
Per dominio compatto si intende la chiusura di un insieme aperto limitato.
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Si intende che il diametro del dominio D sia piccolo rispetto a L, in modo che le sezioni
trasversali abbiano una estensione ridotta rispetto alla lunghezza della trave. La trave T
può pensarsi come l’unione di tutte le sue sezioni trasversali:
T =
σ(s) .
s∈[0,L]
La sezione trasversale σ(s) è una superficie orientata di versore normale:
−1
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
n̂(u, v, s) =
∀ (u, v) ∈ D
(u, v, s) ∧
(u, v, s) (u, v, s) ∧
(u, v, s)
∂u
∂v
∂u
∂v
per la quale risultano quindi definite una pagina positiva ed una pagina negativa. Si dice
pagina positiva σ + (s) della sezione quella rivolta secondo il verso delle ascisse s crescenti
e pagina negativa σ − (s) quella diretta nel senso delle ascisse decrescenti.
La definizione è ben posta in quanto la condizione di regolarità della ϕ e la continuità sul
compatto D × [0, L] delle derivate parziali prime assicurano che l’espressione
∂ϕ ∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
∧
·
(u, v, s) = ∧
(u, v, s) n̂(u, v, s) ·
(u, v, s)
∂u ∂v ∂s
∂u ∂v
∂s
si mantenga non solo diversa da zero ma anche di segno costante lungo tutto il corpo della
trave, e in particolare lungo la direttrice — (u, v) = (u0 , v0 ):
∂ϕ ∂ϕ
∧
(u0 , v0 , s) n̂(u0 , v0 , s) · P (s) = sgn n̂(u0 , v0 , s) · P (s)
sgn ∂u ∂v
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in modo che l’angolo compreso fra il versore P (s) tangente alla direttrice in P (s) e il
versore normale alla sezione trasversale σ(s) nel suo centro P (s) risulta o sempre minore
di 90◦ o sempre maggiore di 90◦ — secondo che il segno costante sia positivo o negativo.
Le sezioni σ(0) e σ(L) si dicono rispettivamente primo estremo e secondo estremo della
trave.
2. Sollecitazioni agenti sulla trave
Le sollecitazioni agenti sulla trave si assumono di 3 diverse tipologie:
(i) forze di contatto (reazioni vincolari interne),
(ii) forze attive distribuite,
(iii) forze attive concentrate.
2.1 Forze di contatto
Le forze di contatto si esercitano sulle sezioni trasversali della trave. Per le sezioni trasversali di ascissa curvilinea s ∈ (0, L) le forze di contatto hanno il significato di reazioni
vincolari interne, dovute all’interazione a corto raggio fra la pagina negativa e la pagina
positiva della sezione σ(s) — ovvero fra l’intero tratto di trave precedente la sezione σ(s)
e quello successivo. Per le sezioni alle estremità della trave, σ(0) e σ(L), le forze di contatto sono reazioni vincolari se la sezione è in qualsiasi modo vincolata, mentre si devono
assumere nulle in caso di sezione libera. Le forze di contatto, in quanto reazioni vincolari,
sono incognite.
Il risultante delle forze di contatto che la pagina positiva della sezione σ(s) esercita su
quella negativa viene indicato con R(s)
ed è denominato sforzo della trave nella sezione
considerata. Il momento risultante delle stesse sollecitazioni rispetto al centro P (s) della
(s).
sezione è noto come momento della trave nella sezione σ(s) e si indicherà con M
La componente dello sforzo lungo la tangente alla direttrice si definisce sforzo normale, con
riferimento al fatto che di regola le sezioni sono ortogonali alla direttrice nel loro centro,
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per cui la tangente alla direttrice è normale alla sezione.
La componente dello sforzo ortogonale alla direttrice è invece chiamata sforzo di taglio,
poiché tipicamente risulta diretta parallelamente alla sezione.
La componente del momento tangente alla direttrice è nota come momento torcente perchè
il suo effetto è quello di “torcere” la trave attorno alla direttrice.
La componente del momento ortogonale alla direttrice si dice infine momento flettente in
quanto tende a flettere la trave.
R(s)
· P (s) P (s)
sforzo normale
R(s)
− R(s)
· P (s) P (s)
sforzo di taglio
(s) · P (s) P (s)
M
momento torcente
(s) − M
(s) · P (s) P (s)
M
momento flettente
2.2 Forze attive distribuite
Le forze attive distribuite sono applicate lungo la trave in modo che il loro risultante e
momento risultante vengono rappresentati mediante appropriate funzioni densità riferite
all’unità di lunghezza della direttrice: una densità di forza f(s) e una densità di momento
m(s)
nel polo P (s), che si assumono entrambe continue in [0, L]. I differenziali:
f(s) ds
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m(s)
ds
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esprimono il risultante ed il momento risultante in P (s) delle forze applicate al tratto di
trave compreso fra le sezioni σ(s) e σ(s + ds). Per una qualsiasi porzione finita di trave,
che sia compresa fra le sezioni σ(s) e σ(s + δs), il risultante delle forze attive distribuite
diventa perciò:
s+δs
dξ
f(ξ)
s
mentre il corrispondente momento risultante in P (s) è dato dall’espressione
s+δs [P (ξ) − P (s)] ∧ f(ξ) + m(ξ)
dξ
s
in cui il momento in P (s) delle forze distribuite applicate alla regione compresa fra σ(ξ) e
σ(ξ + dξ) vale:
[P (ξ) − P (s)] ∧ f(ξ) dξ + m(ξ)
dξ
per la formula di cambiamento del polo.
Le forze attive distribuite sono tipicamente esterne alla trave, ma in linea di principio
potrebbero anche risultare interne — si pensi, per esempio, al caso di una trave elettricamente carica i cui punti interagiscono elettrostaticamente fra loro. Può trattarsi, come
accade sovente, di forze di volume agenti su tutto il corpo continuo della trave; l’esempio
classico è quello delle forze peso. Può darsi il caso, infine, che le forze distribuite siano
forze superficiali agenti lungo la superficie laterale della trave — è quel che capiterebbe
qualora la trave fosse immersa in un fluido in moto, capace di esercitare forze di resistenza
viscosa o idraulica.
2.3 Forze attive concentrate
Le forze attive concentrate sono forze applicate ad una generica sezione trasversale σ(s)
e caratterizzate per mezzo del loro risultante e momento risultante nel centro P (s) della
sezione. Si assume che le forze concentrate, se presenti, siano applicate ad un numero finito
di sezioni della trave. Nella sezione σ(si ), si ∈ [0, L], risultante e momento risultante in
P (si ) delle forze attive concentrate sono indicati da:
i
F
e
i
M
rispettivamente. Possono identificarsi con forze attive applicate in punti isolati della trave.
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3. Problema fondamentale delle travi
Di regola, la trave si assume in quiete in una sua configurazione di equilibrio, che sarà
descritta dalla relativa parametrizzazione. In particolare si intenderà nota la parametrizzazione della direttrice. Al sistema sono applicate forze attive distribuite di densità note:
f(s)
e
m(s)
∀ s ∈ [0, L]
ed eventuali forze attive concentrate, di risultanti assegnati, su un numero finito n di sezioni
trasversali:
i
i
e
M
∀ i = 1, . . . , n .
F
Incogniti sono invece gli sforzi e i momenti, ossia i risultanti ed i momenti risultanti delle
forze di contatto lungo l’intero corpo della trave.
Il problema fondamentale delle travi consiste pertanto nel determinare le funzioni incognite:
R(s)
(s)
M
e
∀ s ∈ [0, L]
nell’ipotesi che la trave sia in equilibrio in una configurazione assegnata e soggetta a forze
attive note, introducendo le appropriate condizioni al contorno.
Alla soluzione del problema si provvedere tramite le equazioni cardinali della statica applicate ad un arbitrario tratto di trave compreso fra due generiche sezioni trasversali σ(s)
e σ(s + δs). Va sottolineato che diversamente dal caso dei fili, la cui sezione si assume
comunque trascurabile, le equazioni cardinali della statica per una trave sono soltanto necessarie e non sufficienti all’equilibrio, a meno che la trave non costituisca essa stessa un
unico sistema rigido. Si pretende infatti di caratterizzare le forze agenti tramite i soli risultanti e momenti risultanti, senza specificare quali siano i risultanti ed i momenti risultanti
delle reazioni vincolari interne — forze di contatto — effettivamente esplicabili dal sistema.
4. Prima equazione cardinale della statica
Per la porzione di trave compresa fra le sezioni trasversali σ(s) e σ(s + δs) la prima
equazione cardinale della statica si ottiene uguaglianzo a zero la somma di tutte le forze
esterne applicate, vale a dire:
− il risultante R(s+δs)
delle forze di contatto esercitate sulla sezione σ(s+δs) dal tratto
di trave successivo a σ(s + δs);
− il risultante delle forze di contatto esercitate sulla sezione σ(s) dalla porzione di trave
precedente a σ(s). Per il principio di azione e reazione dette forze sono opposte a
quelle che σ + (s) esercita su σ − (s), sicché il risultante richiesto si scrive
−R(s)
;
− il risultante delle forze attive distribuite che agiscono sullo stesso tratto di trave, ossia:
s+δs
f(ξ) dξ ;
s
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− il risultante delle forze attive concentrate, che assume la forma:
i .
F
i : s≤si ≤s+δs
La prima equazione cardinale della statica diventa perciò:
−R(s)
+
s+δs
Fi +
+ δs) = 0 .
f(ξ) dξ + R(s
s
i : s≤si ≤s+δs
4.1 Derivabilità degli sforzi.
Forma differenziale della
1a equazione cardinale
Si supponga che sul tratto di trave compreso fra σ(s) e σ(s + δs) non siano applicate forze
attive concentrate. La prima equazione cardinale della statica si riduce allora a:
s+δs
−R(s)
+
+ δs) = 0
f(ξ) dξ + R(s
s
e dividendo membro a membro per δs diventa
s+δs
+ δs) − R(s)
1
R(s
dξ = 0 .
+
f(ξ)
δs
δs s
(4.1)
D’altra parte, la continuità della densità di forza ed il teorema della media integrale implicano che per θ1 , θ2 , θ3 ∈ (0, 1) opportuni si abbia:
1
δs
s+δs
f(ξ) dξ =
s
3
f(s + θi δs) · êi êi
i=1
in modo che esiste il limite:
1
lim
δs→0 δs
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s+δs
f(ξ) dξ = lim
s
δs→0
3
i=1
f(s + θi δs) · êi êi =
3
f(s) · êi êi = f(s)
i=1
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e per la (4.1) esiste anche la derivata dello sforzo in s:
s+δs
+ δs) − R(s)
R(s
dR
1
.
(s) = lim
= lim −
f(ξ) dξ = −f(s)
δs→0
δs→0
ds
δs
δs s
Concludendo, in tutti i punti s ∈ (0, L) corrispondenti a sezioni σ(s) dove non agiscono
forze attive concentrate lo sforzo R(s)
è una funzione derivabile e soddisfa l’equazione
differenziale:
dR
(s) + f(s)
= 0
(4.2)
ds
che costituisce la forma differenziale della prima equazione cardinale della statica.
4.2 Sforzi agli estremi della trave
Qualora nel primo estremo della trave (s = 0) non siano applicate forze attive concentrate,
la prima equazione cardinale della statica per il tratto di trave compreso fra le sezioni σ(0)
e σ(δs), con δs > 0, si scrive
δs
Φ
+
f(ξ) dξ + R(δs)
= 0
R
0
0
Φ indica il risultante delle eventuali reazioni vincolari esterne
espressione nella quale R
0
agenti sulla (pagina negativa della) sezione σ(0). Considerando il limite di ambo i membri
dell’equazione per δs tendente a zero da destra, si ha allora che
δs
0
Φ
Φ
Φ
f (ξ) dξ = R0 +
f(ξ) dξ = R
lim R0 +
0
δs→0+
0
0
per la supposta continuità di f, e che di conseguenza esiste finito il limite destro
+ 0) :=
R(0
Φ .
lim R(δs)
= −R
0
δs→0+
Poichè lo sforzo R(s)
non è definito a sinistra di s = 0, si può sempre convenire di identificare il precedente limite destro in 0 con il valore dello sforzo nel primo estremo della
trave:
+ 0) ,
R(0)
:= R(0
(4.3)
per cui
Φ
R(0)
= −R
0
(4.4)
e lo sforzo in s = 0 può interpretarsi come il risultante dei cimenti statici applicati al
primo estremo della trave (opposto del risultante delle reazioni vincolari esterne).
In modo analogo, se sul secondo estremo della trave (s = L) non agiscono forze attive
concentrate si può esprimere la prima equazione cardinale della statica per il tratto di
trave compreso fra σ(s) e σ(L) nella forma
L
Φ = 0 ,
−R(s) +
f(ξ) dξ + R
L
s
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Φ rappresenta il risultante delle eventuali reazioni vincolari esterne agenti
dove s < L e R
L
sulla (pagina positiva della) sezione σ(L). Prendendo il limite per s → L da sinistra si
ottiene cosı̀
L
L
Φ
Φ = R
Φ
f (ξ) dξ + R =
f(ξ) dξ + R
lim
s→L−
L
L
s
L
L
per cui esiste anche il limite sinistro
Φ .
− 0) := lim R(s)
= R
R(L
L
s→L−
Pure in questo caso, non essendo definito lo sforzo a destra di s = L, nulla vieta di definire
il precedente limite come il valore dello sforzo nel secondo estremo della trave:
− 0)
R(L)
:= R(L
(4.5)
Φ .
R(L)
= R
L
(4.6)
e di concludere pertanto che
Lo sforzo in s = L costituisce il risultante delle reazioni vincolari esterne applicate sul
secondo estremo della trave.
4.3 Continuità/discontinuità degli sforzi
Poiché f è per ipotesi continua, il risultato precedente implica che se le forze attive concentrate sono applicate nelle sezioni di ascisse si ed si+1 ma non lo sono in alcuna sezione
intermedia, allora lo sforzo costituisce una funzione di classe C 1 nell’intero intervallo aperto
(si , si+1 ) ed è una funzione continua e limitata nel corrispondente intervallo chiuso [si , si+1 ].
Ne deriva che i soli candidati al ruolo di punti di discontinuità di R(s)
sono le ascisse di
applicazione delle forze attive concentrate. Per accertare il sussistere o meno della discontinuità, si consideri un tratto di trave compreso fra σ(s) e σ(s + δs) in modo che su
di esso le forze attive concentrate siano applicate soltanto in un’unica sezione σ(si ), con
0 ≤ s < si < s + δs ≤ L. In tal caso è escluso che possa aversi si = 0 o si = L, ipotesi
che verranno esaminate successivamente. La prima equazione cardinale statica assume la
forma:
s+δs
+ δs)
i +
f(ξ) dξ + R(s
R(s)
= F
s
e, ricordando la continuità della f(s), il limite per s → si − del secondo membro è definito
e porge:
s+δs
dξ + R(s
+ δs)
lim R(s) = Fi +
f(ξ)
s→si −
si
per cui esiste anche il limite del primo membro
s+δs
+ δs) .
f(ξ) dξ + R(s
i − 0) = lim R(s)
i +
R(s
= F
s→si −
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si
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Si ha peraltro, sempre per la continuità di f,
f(ξ) dξ =
lim
s+δs→si+
s+δs
si
si
dξ = 0
f(ξ)
si
e di conseguenza deve esistere anche il limite destro:
i + 0) =
R(s
lim
s+δs→si +
i − 0
+ δs) = R(s
i − 0) − F
R(s
in modo che il limite destro e sinistro dello sforzo in s = si sono legati dalla semplice
relazione:
i − 0) + F
i + R(s
i + 0) = 0 .
−R(s
(4.7)
0 (caso
Qualora sul primo estremo della trave agiscano forze concentrate di risultante F
si = 0), la condizione di raccordo si ricava considerando la porzione di trave compresa fra
σ(0) e σ(δs), con δs > 0, e calcolando il solo limite per δs → 0+. In tal caso la condizione
si riduce a
0 + R(0
+ 0) = 0
Φ + F
R
0
⇐⇒
Φ + F
0 + R(0)
R
= 0
0
in virtù della definizione (4.3). Questa relazione è ancora del tipo (4.7) a patto di porre
formalmente
− 0) = R
Φ ,
−R(0
0
per quanto il limite da sinistra in s = 0 non abbia alcun significato matematico — lo sforzo
non è definito a sinistra di s = 0, dove la trave non si esiste.
Analogamente, se nel secondo estremo sono applicate forze attive concentrate di risultante
L (caso si = L), la condizione di raccordo va determinata a partire dell’equazione carF
dinale della statica per il tratto di trave compreso fra le sezioni σ(s) e σ(L), con s < L
e prossimo a L. Preso il limite per s → L− e tenuto conto della definizione (4.5), si ha
allora:
− 0) + F
L + R
Φ = 0
Φ = 0 .
−R(L
⇐⇒
−R(L)
+ FL + R
L
L
Anche questa equazione è della forma (4.7), purchè si ponga
+ 0) = R
Φ .
R(L
L
Si tratta, di nuovo, di una definizione puramente formale poichè il limite da destra in
s = L matematicamente è privo di significato — non sono definiti valori di sforzo a destra
di s = L, dove la trave non ha alcun punto.
4.4 Forma generale dello sforzo
Assegnato che sia il valore dello sforzo in una data sezione σ(s0 ), s0 ∈ [0, L], sulla quale
non agiscano forze attive concentrate, la forma differenziale della prima equazione cardinale
statica (4.2) e le condizioni di raccordo (4.7) consentono di ricavare l’intero campo degli
sforzi lungo la trave. Per fissare le idee si consideri il caso in cui si abbia soltanto una sezione
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1 .
σ(s1 ), con 0 < s1 < L sulla quale agiscono forze attive esterne concentrate, di risultante F
Scelto ad esempio s0 ∈ (0, s1 ), si integra l’equazione (4.2) su tutto l’intervallo 0 < s < s1 :
s
0) −
R(s)
= R(s
f(ξ) dξ
0 < s < s1
s0
ottenendo in particolare i valori limite
0
f(ξ) dξ
0) −
+ 0) = lim R(s)
= R(s
R(0)
= R(0
s→0+
1 − 0) =
R(s
s
0) −
lim R(s)
= R(s
s→s1 −
0 s1
f(ξ) dξ .
s0
1 + R(s
1 + 0) = 0 si ricava allora il limite
1 − 0) + F
Dalla condizione di raccordo −R(s
destro dello sforzo in s1 :
1 − 0) − F1
1 + 0) = R(s
R(s
che può infine essere usato come condizione iniziale per integrare l’equazione (4.2) nell’intervallo s1 < s < L:
s
R(s) = R(s1 + 0) −
f(ξ) dξ
s1 < s < L
s1
e per determinare, in particolare, il valore limite
L
− 0) = lim R(s)
1 + 0) −
R(L)
= R(L
= R(s
s→L−
f(ξ) dξ .
s1
Lo sforzo risulta univocamente individuato nell’intervallo [0, L], assegnato che sia il dato
0 ). La figura seguente illustra la procedura appena discussa.
iniziale R(s
Allo stesso risultato si può pervenire direttamente usando la prima equazione cardinale
della statica fra la sezione assegnata σ(s0 ) e una sezione generica σ(s), s ∈ [0, L]:
s
i +
0) +
F
−R(s
f(ξ) dξ + R(s)
= 0
i : si ∈ [s0 ,s]
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s0
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e ricavando lo sforzo:
0) −
R(s)
= R(s
i : si ∈ [s0 ,s]
s
i −
F
f(ξ) dξ
∀ s ∈ [0, L] ,
(4.8)
s0
dove per brevità [s0 , s] indica l’intervallo chiuso di estremi s0 ed s indipendentemente dal
fatto che sia s0 ≤ s oppure s ≤ s0 . L’equazione (4.8) rende conto anche delle discontinuità
dello sforzo nei punti si , conformemente alle condizioni di raccordo (4.7). Si osservi tuttavia
che questo approccio diretto non richiede necessariamente la continuità della densità di
forza f(s), dal momento che l’integrabilità di questa su ogni intervallo contenuto in [0, L]
è sufficiente allo scopo. Per esempio, ci si potrebbe limitare a richiedere la continuità a
tratti in [0, L] della funzione densità.
5. Seconda equazione cardinale della statica
La seconda equazione cardinale della statica per la porzione di trave compresa fra le generiche sezioni σ(s) e σ(s + δs) viene ricavata annullando la somma dei momenti rispetto
ad un polo arbitrario di tutte le forze esterne applicate. Conviene considerare come polo
il centro P (s) della sezione σ(s). Per il risultante dei momenti esterni si devono perciò
considerare i contributi seguenti:
− il momento in P (s) delle forze di contatto applicate alla sezione σ(s+δs), che si calcola
con il teorema di cambiamento del polo
(s + δs) + [P (s + δs) − P (s)] ∧ R(s
+ δs) ;
M
− il momento in P (s) delle forze di contatto che la pagina negativa della sezione σ(s)
esercita sulla corrispondente pagina positiva. In virtù del principio di azione e reazione
esso coincide con il momento in P (s) cambiato di segno delle forze di contatto che σ +
esercita su σ −
(s) ;
−M
− il momento in P (s) delle forze attive distribuite, secondo le densità di forza f(s) e di
momento m(s),
s+δs [P (ξ) − P (s)] ∧ f (ξ) + m(ξ)
dξ
s
− il momento in P (s) delle forze attive concentrate, dato dalla sommatoria finita
i + M
i .
[P (si ) − P (s)] ∧ F
i : s≤si ≤s+δs
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La seconda equazione cardinale della statica si scrive allora:
(s) + M(s
+ δs) + [P (s + δs) − P (s)] ∧ R(s
+ δs)+
−M
s+δs [P (ξ) − P (s)] ∧ f (ξ) + m(ξ)
dξ +
[P (si ) − P (s)] ∧ Fi + Mi = 0.
+
s
i : s≤si ≤s+δs
5.1 Derivabilità dei momenti.
Forma differenziale della 2a equazione cardinale
Si consideri un tratto di trave compreso fra le sezioni σ(s) e σ(s + δs) e sul quale non
agiscano forze attive concentrate. La seconda equazione cardinale della statica si riduce
all’espressione semplificata:
(s) + M(s
+ δs) + [P (s + δs) − P (s)] ∧ R(s
+ δs)+
−M
s+δs [P (ξ) − P (s)] ∧ f(ξ) + m(ξ)
dξ = 0
+
s
e divisa membro a membro per δs diventa:
+ δs) − M(s)
M(s
P (s + δs) − P (s) +
∧ R(s + δs)+
δs
δs
s+δs 1
[P (ξ) − P (s)] ∧ f(ξ) + m(ξ)
dξ = 0 .
+
δs s
(5.1)
Poiché R(s)
costituisce una funzione continua nei punti s dove non si hanno forze attive
concentrate, e ricordando che la direttrice è una curva regolare C 1 , è evidente l’esistenza
del limite:
P (s + δs) − P (s) ∧ R(s + δs) =
δs→0
δs
P (s + δs) − P (s)
+ δs) = dP (s) ∧ R(s)
= lim
∧ lim R(s
δs→0
δs→0
δs
ds
lim
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mentre il teorema della media, applicabile per via della supposta continuità di f(s) ed
m(s),
consente di scrivere:
s+δs 1
[P (ξ) − P (s)] ∧ f (ξ) + m(ξ)
dξ =
δs s
3 =
[P (s + θi δs) − P (s)] ∧ f(s + θi δs) + m(s
+ θi δs) · êi êi
i=1
in termini di tre costanti opportune θ1 , θ2 , θ3 ∈ (0, 1). Basta prendere il limite per δs → 0
di quest’ultima equazione per ottenere:
1
lim
δs→0 δs
s+δs 3
m(s)
· êi êi = m(s)
[P (ξ) − P (s)] ∧ f(ξ) + m(ξ)
dξ =
s
i=1
in modo che la relazione (5.1) impone la derivabilità del momento in s:
(s + δs) − M
(s)
M
dM
dP
(s) = lim
= −
(s) ∧ R(s)
− m(s)
.
δs→0
ds
δs
ds
Si deduce pertanto che in ogni punto s ∈ (0, L) corrispondente ad una sezione σ(s) sulla
quale non agiscono forze attive concentrate il momento M(s)
è una funzione derivabile e
verifica l’equazione differenziale
dM
dP
(s) = −
(s) ∧ R(s)
− m(s)
ds
ds
(5.2)
che costituisce la forma differenziale della seconda equazione cardinale della statica.
Si sottolinea che l’ipotesi di continuità della densità di momento m,
l’essere la diret
trice una curva C 1 e la provata continuità di R(s)
nei punti s qui considerati, implicano
(s) alla classe C 1 su qualsiasi intervallo di ascissa curvilinea dove non
l’appartenenza di M
siano presenti forze attive concentrate.
5.2 Momenti agli estremi della trave
Se sul primo estremo della trave (s = 0) non agiscono forze attive concentrate, la seconda
equazione cardinale della statica per il tratto di trave compreso fra le sezioni σ(0) e σ(δs),
con δs > 0, rispetto al polo P (0) è data dall’espressione
δs Φ
(δs) + [P (δs) − P (0)] ∧ R(δs)
[P (ξ) − P (0)] ∧ f(ξ) + m(ξ)
dξ + M
= 0
M0 +
0
Φ indica il momento risultante in P (0) delle reazioni vincolari esterne agenti
nella quale M
0
sulla (pagina negativa della) sezione σ(0). Passando al limite per δs tendente a zero da
destra, si ha allora che
δs Φ
[P (ξ) − P (0)] ∧ f(ξ) + m(ξ)
dξ + [P (δs) − P (0)] ∧ R(δs)
=
lim M0 +
δs→0+
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0
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Φ+
= M
0
0
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+ 0) = M
Φ
[P (ξ) − P (0)] ∧ f(ξ) + m(ξ)
dξ + [P (0) − P (0)] ∧ R(0
0
0
per via della continuità di m(ξ),
f(ξ) e P (ξ) e delle proprietà già provate per R(s).
Di
conseguenza, esiste finito anche il limite destro
(δs) = −M
Φ.
lim M
0
(0 + 0) :=
M
δs→0+
Poichè il momento M(s)
non risulta definito a sinistra di s = 0, si può sempre assumere
di identificare M (0 + 0) con il valore del momento nel primo estremo della trave:
(0) := M
(0 + 0) ,
M
(5.3)
(0) = −M
Φ
M
0
(5.4)
in modo che
ed il momento in s = 0 può interpretarsi come il momento risultante in P (0) dei cimenti
statici applicati al primo estremo della trave (opposto del momento risultante in P (0) delle
reazioni vincolari esterne).
Analogamente, qualora il secondo estremo della trave (s = L) non sia soggetto ad alcuna
forza attiva concentrata, la seconda equazione cardinale della statica rispetto al polo P (L)
per il tratto di trave compreso fra σ(s) e σ(L) assume la forma
(s) + [P (s) − P (L)] ∧ R(s)
− M
+
L
Φ = 0
m(ξ)
+ [P (ξ) − P (L)] ∧ f(ξ) dξ + M
L
s
Φ rappresenta il momento risultante in P (L) delle eventuali reazioni
dove s < L e M
L
vincolari esterne agenti sulla (pagina positiva della) sezione σ(L). Nel il limite per s → L
da sinistra si ottiene cosı̀
L
Φ =
m(ξ)
+ [P (ξ) − P (L)] ∧ f(ξ) dξ + M
lim − [P (s) − P (L)] ∧ R(s) +
L
s→L−
s
− 0) +
= − [P (L) − P (L)] ∧ R(L
L
Φ = M
Φ
m(ξ)
+ [P (ξ) − P (L)] ∧ f (ξ) dξ + M
L
L
L
e ciò basta ad assicurare anche l’esistenza del limite sinistro
(s) = M
Φ.
(L − 0) := lim M
M
L
s→L−
Come nel caso precedente, non essendo definito il momento a destra di s = L è sempre
(L − 0) con il valore del momento nel secondo estremo della trave:
lecito identificare M
(L) := M(L
M
− 0)
(5.5)
(L) = M
Φ,
M
L
(5.6)
e concludere quindi che
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ossia che il momento in s = L rappresenta il momento risultante delle reazioni vincolari esterne applicate sul secondo estremo della trave, calcolato rispetto al centro P (L) di
questo.
5.3 Continuità/discontinuità del momento
In virtù del precedente risultato è evidente che i soli valori dell’ascissa curvilinea s per i
quali il momento M(s)
può presentare delle discontinuità sono gli si , i = 1, . . . , n dove si
applicano le forze attive concentrate. Allo scopo di verificare il presentarsi o meno della
discontinuità si consideri la regione della trave compresa fra le sezioni σ(s) e σ(s + δs),
in modo che le forze attive concentrate siano applicate in una sola sezione σ(si ), con
s < si < s + δs. Ciò esclude che possa aversi si = 0 o si = L, circostanze che verranno
considerate a parte. La seconda equazione cardinale della statica si scrive in questo caso
(s) + M
(s + δs) + [P (s + δs) − P (s)] ∧ R(s
+ δs)+
−M
s+δs + m(ξ)
i + M
i = 0
[P (ξ) − P (s)] ∧ f(ξ)
dξ + [P (si ) − P (s)] ∧ F
+
s
e grazie alla continuità di P (s), f(s),
m(s)
ne è definito il limite per s → si −:
(si − 0) + M
(s + δs) + [P (s + δs) − P (si )] ∧ R(s
+ δs)+
−M
s+δs i = 0
[P (ξ) − P (si )] ∧ f(ξ) + m(ξ)
dξ + M
+
si
(s) = M
(si − 0). Per s + δs → si + vale invece:
essendosi posto, per brevità, lims→si − M
lim
+ δs) +
[P (s + δs) − P (si )] ∧ R(s
s+δs→si +
i =
dξ + M
[P (ξ) − P (si )] ∧ f (ξ) + m(ξ)
s+δs si
+ m(ξ)
i = M
i
dξ + M
[P (ξ) − P (si )] ∧ f(ξ)
si = 0+
si
ed esiste quindi anche il limite da destra:
(si + 0) =
M
lim
s+δs→si+
i.
(s + δs) = M
(si − 0) − M
M
Si conclude che il limite destro e sinistro del momento in s = si sono legati dalla semplice
relazione lineare:
i + M(s
i + 0) = 0 .
(si − 0) + M
(5.7)
−M
Qualora sul primo estremo della trave siano applicate forze concentrate con momento risul 0 in P (0) (caso si = 0), la condizione di raccordo si ricava dalla porzione di trave
tante M
compresa fra σ(0) e σ(δs), con δs > 0, considerando unicamente il limite per δs → 0+. In
tal caso la condizione si riduce a
0 + M(0
+ 0) = 0
Φ+M
M
0
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⇐⇒
Φ+M
0 +M
(0) = 0
M
0
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in forza della definizione (5.3). La relazione è ancora del tipo (5.7) a patto di porre
convenzionalmente
(0 − 0) = M
Φ,
−M
0
sebbene il limite da sinistra in s = 0 non abbia alcun significato matematico — il momento
non è definito a sinistra di s = 0, dove non esiste nessuna porzione di trave.
In modo analogo, se sul secondo estremo agiscono forze attive concentrate di momento
L in P (L) (caso si = L), la condizione di raccordo va determinata a partire
risultante M
dell’equazione cardinale della statica per il tratto di trave compreso fra le sezioni σ(s) e
σ(L), con s < L e prossimo a L. Preso il limite per s → L− e tenuto conto della definizione
(5.5), si otterrà allora l’equazione:
(L − 0) + M
L + M
Φ = 0
−M
L
⇐⇒
(L) + M
L + M
Φ = 0
−M
L
che è ancora della forma (5.7), purchè si ponga
(L + 0) = M
Φ.
M
L
Si tratta, di nuovo, di una definizione puramente formale poichè il limite da destra in
s = L matematicamente è privo di significato — non sono definiti valori di sforzo a destra
di s = L, dove la trave non ha alcun punto.
5.4 Forma generale del momento
0 ) ed il momento M(s
0 ) in una sezione σ(s0 della trave,
Assegnati che siano lo sforzo R(s
s0 ∈ [0, L], sulla quale non agiscano forze attive concentrate, le equazioni cardinali della
statica in forma differenziale (4.2)-(5.2) e le condizioni di raccordo (4.7)-(5.7) individuano
univocamente l’intero campo degli sforzi e dei momenti lungo la trave. Basta ricordare
0 ) determina in modo completo il campo degli sforzi R(s),
che R(s
per cui l’equazione
(s) viene quindi
(5.2) diventa risolvibile per integrazione diretta. Il campo dei momenti M
calcolato con la stessa procedura già illustrata nel paragrafo 4.4 per la determinazione dello
sforzo.
Lo stesso risultato può ottenersi in modo più diretto facendo uso dell’equazione esplicita
(4.8) per il campo degli sforzi e della seconda equazione cardinale della statica fra la sezione
assegnata σ(s0 ) ed una sezione generica σ(s), s ∈ [0, L],
0 ) + M(s)
+ [P (s) − P (s0 )] ∧ R(s)+
−M(s
s
[P (ξ) − P (s0 )] ∧ f (ξ) + m(ξ)
dξ +
+
s0
[P (si ) − P (s0 )] ∧ Fi + Mi = 0
i : s0 ≤si ≤s
dalla quale si deduce il campo dei momenti:
s
[P (ξ) − P (s0 )] ∧ f(ξ) + m(ξ)
M (s) = M (s0 ) − [P (s) − P (s0 )] ∧ R(s) −
dξ−
s0
[P (si ) − P (s0 )] ∧ Fi + Mi
∀ s ∈ [0, L] .
(5.8)
−
i : s0 ≤si ≤s
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L’equazione (5.8) rende conto anche delle discontinuità del momento nei punti si , in conformità alle condizioni di raccordo (5.7). Da notare che questo metodo, non facendo uso
delle equazioni cardinali statiche in forma differenziale, non richiede la continuità delle
densità di forza f(s) e di momento m(s)
delle forze attive distribuite. Per l’applicazione
della procedura è sufficiente l’integrabilità delle funzioni f(s)
e m(s)
su qualsiasi intervallo incluso in [0, L]. Un caso interessante, ad esempio, potrebbe essere quello di densità
continue a tratti in [0, L].
6. Problema a valori al contorno
Le relazioni (4.8) e (5.8) individuano univocamente i campi degli sforzi e dei momenti
0 ) e M(s
0 ) degli stessi campi per un dato
lungo l’intera trave noti che siano i valori R(s
s = s0 ∈ [0, L].
Il problema tipico nella statica delle travi è quello a valori al contorno, in cui si richiede
di determinare i campi di sforzi e momenti noti che siano i valori delle stesse variabili alle
estremità dell’asta — valori ai limiti:
R(0)
,
M(0)
,
R(L)
,
(L) ,
M
per un totale di 4 variabili vettoriali in R3 , ovvero di 12 variabili scalari — le relative
componenti scalari. Le equazioni (4.8) e (5.8) mostrano chiaramente, tuttavia, che le
condizioni ai limiti non sono tutte indipendenti e che di conseguenza non possono essere
assegnate a piacere, dovendo soddisfare le relazioni di compatibilità:
R(L)
= R(0)
−
n
i=1
L
f(ξ) dξ
i −
F
0
(L) = M(0)
M
− [P (L) − P (0)] ∧ R(L)
−
n i + M
i
[P (si ) − P (0)] ∧ F
−
L
[P (ξ) − P (0)] ∧ f(ξ) + m(ξ)
dξ−
0
i=1
ottenute ponendo s0 = 0 e s = L nelle (4.8)-(5.8). Questo sistema di 6 equazioni lineari
nelle 12 componenti di R(0),
M(0),
R(L),
M(L)
impone che:
(i) la differenza R(L)−
R(0)
fra gli sforzi agli estremi della trave assuma un valore prestabilito, il risultante cambiato di segno delle forze attive agenti sul sistema, distribuite
e concentrate;
(0) fra i momenti agli estremi dell’asta
(ii) fissato che sia R(L),
la differenza M(L)
−M
debba essere fissata a propria volta,
per cui non è in generale possibile fissare a piacere i valori di R(0)
e R(L)
né, noto che sia
R(0) o R(L), assegnare arbitrariamente i vettori M (0) e M(L). Di conseguenza, i campi
sono sempre ed univocamente determinati assegnando le condizioni ai limiti tipiche:
Stefano Siboni
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(0);
◦ entrambi i campi al primo estremo — R(0)
eM
◦ entrambi i campi al secondo estremo — R(L)
e M(L);
◦ lo sforzo al primo estremo ed il momento al secondo estremo — R(0)
e M(L);
◦ il momento al primo estremo e lo sforzo al secondo estremo — M(0)
e R(L).
Altre condizioni ai limiti interessanti consistono nell’assegnare i momenti agli estremi M(0)
e M(L),
ma queste possono risultare incompatibili o insufficienti a determinare i campi
incogniti in modo univoco.
Combinazioni diverse, sulle singole componenti, sono possibili ma fisicamente poco rilevanti
nelle applicazioni. Gli estremi dell’asta possono essere variamente vincolati e la natura del
vincolo specifica le condizioni ai limiti da applicare. Le tipologie di vincolo di maggiore
importanza pratica sono le seguenti:
◦ incastro, in cui sforzo e momento possono essere entrambi diversi da zero. L’incastro
è in grado di esercitare sulla trave sia una reazione vincolare che un momento diversi
da zero;
◦ appoggio, dove il momento è necessariamente uguale a zero, mentre lo sforzo può
assumere qualsiasi valore in R3 . L’appoggio viene considerato come una cerniera puntiforme, in grado di esplicare delle reazioni vincolari ma non dei momenti, a differenza
degli incastri;
◦ estremo libero, nel qual caso sforzo e momento risultano nulli.
7. Travi sottili
Una trave si dice sottile quando il diametro delle sezioni trasversali è piccolo rispetto alla
lunghezza L e la densità di momento delle forze distribuite può ritenersi trascurabile:
m(s)
= 0
∀ s ∈ [0, L] .
Una giustificazione intuitiva di questa definizione può aversi osservando che tipicamente il
campo delle forze attive distribuite — per esempio forze di volume — che agiscono sulla
trave è un campo regolare e non troppo rapidamente variabile. Se ψ è l’intensità delle forze
attive di volume nel centro P (s) della sezione σ(s) e A l’area di quest’ultima, la densità
delle forze attive distribuite in s può stimarsi approssimativamente, in modulo, come
|f(s)| Aψ
mentre il modulo della densità di momento è dell’ordine di
|m(s)|
Aψd
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essendo d il diametro della sezione σ(s). È allora evidente che se la trave è molto sottile,
in modo che d 0, si avrà:
|m(ξ)|
[P (ξ) − P (s)] ∧ f(ξ)
∀ ξ, s ∈ [0, L]
(7.1)
e di conseguenza la densità di momento m
potrà essere trascurata nella seconda equazione
cardinale della statica.
Và sottolineato che questa interpretazione non risulta affatto banale e potrebbe non essere
soddisfacente. Qualora infatti il campo delle forze di volume risulti rapidamente variabile
lungo la sezione trasversale della trave, potrebbe aversi che |m|
|f|d e che quindi la (7.1)
non sia verificata. Un caso di questo tipo è illustrato nella figura seguente:
dove le frecce evidenziano l’andamento delle forze di volume applicate lungo la sezione
trasversale σ(s).
La configurazione di una trave sottile si identifica con il supporto della direttrice, e le
sezioni trasversali possono essere confuse con i rispettivi centri. Negli esempi che seguono
si assumerà sempre che la trave sia sottile.
8. Esempio.
Trave rettilinea incastrata ad un estremo
Si consideri una trave sottile rigida rettilinea ed omogenea OA, di lunghezza L e massa m,
disposta lungo l’asse orizzontale Ox di una terna di riferimento Oxyz. La trave è soggetta
alla forza peso ed ha il primo estremo O incastrato in una parete fissa, mentre sulla seconda
estremità — libera — agisce una forza concentrata p ê2 , con p costante positiva.
Si vogliono determinare gli sforzi ed i momenti lungo la trave, nonché il risultante ed il
momento risultante delle reazioni vincolari esterne applicate alla trave nell’estremo O.
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Soluzione
Come direttrice della trave si considera il segmento OA, con ascissa curvilinea uguale alla
coordinata x. La parametrizzazione della direttrice è quindi P (x) = x ê1 , x ∈ [0, L]. Il
Φ ed il momento risultante M
Φ delle reazioni vincolari esterne in O si esprimono
risultante R
0
0
in termini di sforzi e momenti per mezzo delle relazioni (4.4)-(5.4):
+ 0) = −R
Φ
R(0)
= R(0
0
(0) = M
(0 + 0) = −M
Φ
M
0
mentre al secondo estremo, libero e soggetto alla forza concentrata e di momento nullo
p ê2 , valgono le (4.7)-(5.7):
M(L
+ 0) − M(L
− 0) = 0
+ 0) − R(L
− 0) = −p ê2
R(L
+ 0) = M
(L + 0) = 0 e quindi:
nelle quali è sempre R(L
− 0) = p ê2
R(L)
= R(L
(L) = M(L
M
− 0) = 0 .
Il peso definisce un campo di forze attive distribuite di densità costante
mg
ê2
f(x) = −
L
∀ x ∈ [0, L]
e, per l’ipotesi di trave sottile, con densità di momento identicamente nulla:
m(x)
= 0
∀ x ∈ [0, L] .
Le equazioni cardinali della statica in forma differenziale, (4.2) e (5.2), diventano perciò:
 
 dR = −f(x) = mg ê2

dx
L


−m
 dM = − dP ∧ R
= −ê1 ∧ R
dx
dx
(8.1)
e devono essere risolte nell’intervallo x ∈ [0, L] con le condizioni ai limiti anzidette:
Φ
R(0)
= −R
0
(0) = −M
Φ
M
0
R(L)
= p ê2
(L) = 0
M
Φ da determinare. La prima delle (8.1), integrata fra 0 e x porge:
Φ e M
con R
0
0
mg
R(x)
− R(0)
=
x ê2
L
e tenuto conto della condizione in x = 0 si riduce a:
Φ + mg x ê2
R(x)
= −R
0
L
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∀ x ∈ [0, L] .
(8.2)
21
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Questa relazione può essere sostituita nella seconda equazione del sistema (8.1), che diventa:
dM
Φ − ê1 ∧ mg x ê2 = ê1 ∧ R
Φ − mg x ê3
= ê1 ∧ R
0
0
dx
L
L
e con una integrazione fra 0 e x fornisce l’espressione generale del momento:
Φ x − mg x2 ê3
(x) = M
(0) + ê1 ∧ R
M
0
2L
ovvero:
Φ x − mg x2 ê3
Φ + ê1 ∧ R
∀ x ∈ [0, L] .
(8.3)
M(x)
= −M
0
0
2L
Non rimane che calcolare i risultanti incogniti delle reazioni vincolari esterne in O applicando le condizioni ai limiti in x = L. Si ottiene il sistema di equazioni algebriche:

Φ + mg ê2
 p ê2 = R(L)
= −R
0
0 = M
(L) = −M
Φ + ê1 ∧ R
Φ L − 1 mgL ê3
0
0
2
da cui seguono i risultanti richiesti:
Φ = (mg − p) ê2
R
0
Φ =
M
0
1
2
mg − p L ê3 .
Basta infine sostituire questi valori nelle relazioni generali (8.2) e (8.3) per ricavare sforzi
e momenti lungo l’intera trave:
mg
x ê2
R(x)
= (p − mg) ê2 +
L
(x) = pL − 1 mgL + (mg − p)x − mg x2 ê3
M
2
2L
∀ x ∈ [0, L] .
(8.4)
Alle stesse conclusioni si può pervenire applicando direttamente le equazioni cardinali
della statica ad un generico tratto di trave compreso fra l’estremo O ed il punto di ascissa
x ∈ [0, L), che si scrivono:
x
mg Φ
ê2 dx + R(x)
−
= 0
R0 +
L
0
x
mg Φ
(x) + x ê1 ∧ R(x)
0 +
ê2 + 0 dx + M
= 0.
M
x ê1 ∧ −
L
0
Dalla prima equazione si ha:
Φ − mg x ê2 + R(x)
= 0
R
0
L
e quindi
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Φ + mg x ê2
R(x)
= −R
0
L
∀ x ∈ [0, L)
22
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per cui la seconda diventa:
2
Φ + mg x ê2 = 0
Φ − mg x ê3 + M(x)
+
x
ê
∧
−
R
M
1
0
0
L 2
L
e fornisce l’espressione generale del momento:
Φ x − mg x2 ê3
(x) = −M
φ + ê1 ∧ R
M
0
0
2L
∀ x ∈ [0, L) .
Le equazioni cardinali della statica per l’intera trave [0, L] risultano infine:
mg ê2 dx + p ê2 = 0
−
L
0
L
mg Φ
ê2 + 0 dx + L ê1 ∧ p ê2 = 0
x ê1 ∧ −
M0 +
L
0
Φ +
R
0
L
ed equivalgono al sistema di equazioni algebriche:


Φ − mg ê2 + p ê2 = 0
R
0
2

Φ − mg ê3 L + Lp ê3 = 0
M
0
L
2
dalle quali si deducono risultante e momento risultante delle reazioni vincolari esterne:
Φ = (mg − p) ê2
R
0
Φ =
M
0
1
2
mg − p L ê3
in accordo con quanto già stabilito.
9. Esempio.
Trave circolare incastrata ad un estremo
Si consideri una trave sottile omogenea e pesante T avente la forma di un arco di circonferenza di raggio r, centro O, estremi A, B e apertura α. Sia m la massa della trave e si
supponga applicato in B un peso concentrato p = −p ê2 , con p > 0 costante.
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Assumendo la trave sottile, l’estremo A incastrato e l’estremo B libero, determinare il
(s) all’equilibrio. Calcolare inoltre gli
campo R(s)
degli sforzi e quello dei momenti M
sforzi normale e di taglio, nonché i momenti torcente e flettente, lungo tutto il corpo della
trave.
Soluzione
Nell’ipotesi di trave sottile, la configurazione del sistema è completamente caratterizzata
dalla parametrizzazione della direttrice γ, in termini dell’ascissa curvilinea s:
P (s) − O = r sin(s/r) ê1 + r cos(s/r) ê2
s ∈ [0, αr]
essendo α l’apertura dell’arco di circonferenza γ. Nel primo estremo sforzo e momento
coincidono rispettivamente con il risultante ed il momento risultante, cambiati di segno,
delle reazioni vincolari esterne applicate alla trave in A. Lo sforzo in B, R(αr),
si identifica
con il peso concentrato p :
B = p
R(αr)
= R
= −p ê2
che vista l’ipotesi di trave sottile deve intendersi applicato al centro della sezione σ(αr) e
(αr) nullo rispetto a tale centro:
dunque di momento M
(αr) = M
B = 0.
M
Le sole forze attive distribuite che agiscono sulla trave sono quelle peso, alle quali si associa
la densità:
m
g
f(s)
=
αr
mentre la densità di momento è identicamente nulla lungo tutta la trave per via dell’ipotesi
di trave sottile:
m(s)
= 0
∀ s ∈ [0, αr] .
Le equazioni cardinali della statica in forma differenziale devono essere risolte con le condizioni ai limiti in s = αr. Si perviene cosı̀ al problema di Cauchy:

dR
m


= − g



ds
αr



 dM
dP = −
∧R
ds
ds



B = p

R(αr)
= R




M
(αr) = M
B = 0.
La prima equazione è a variabili separabili e integrata fra s ed αr porge:
R(s)
− R(αr)
=
s −
m
m g dξ = − g (s − αr)
αr
αr
αr
Stefano Siboni
24
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si ottiene:
per cui, sostituendo la condizione iniziale su R,
m
m
(αr − s) g = −p ê2 −
(αr − s)g ê2 =
R(s)
= p +
αr
αr
s ê2
= −p + mg −1 +
αr
∀ s ∈ [0, αr] .
La seconda equazione diventa allora:
s s
s dP
dM
ê1 − sin
ê2 ∧ ê2 −p + mg −1 +
=
= −
∧ R(s) = − cos
ds
ds
r
αr
s r
mg
= cos
p + mg −
s ê3
r
αr
e da essa, integrando, si ricava la relazione:
s
(s) − M(αr)
M
=
cos
ξ mg p + mg −
ξ dξ ê3
r
αr
αr
(αr) = 0 si riduce a:
che con il cambiamento di variabili ξ/r = θ e la sostituzione M
(s) =
M
s/r
p + mg −
mg θ cos θ r dθ ê3
α
α
per cui:
1 M(s) =
r
s/r
(p + mg) cos θ −
mg
θ cos θ dθ ê3 .
α
α
L’integrale a secondo membro può essere calcolato esplicitamente per parti:
θ θ
mg
mg
θ cos θ dθ = (p + mg)[sin θ]θα −
(p + mg) cos θ −
θ cos θ dθ =
α
α
α
α
θ
mg mg
= (p + mg)(sin θ − sin α) −
θ sin θ α +
α
α
θ
sin θ dθ =
α
mg
mg
= (p + mg)(sin θ − sin α) +
(α sin α − θ sin θ) +
(cos α − cos θ)
α
α
e conduce all’espressione del momento:
mg
(s) = r p (sin θ − sin α) +
(α sin θ − θ sin θ + cos α − cos θ) M
α
Stefano Siboni
ê3 .
θ=s/r
25
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Per determinare gli sforzi normale e di taglio, e i momenti torcente e flettente è necessario
ricavare il triedro di Frenet in ogni punto della direttrice. Dalla parametrizzazione di
questa:
s
s
ê1 + r cos
ê2 ,
P (s) = r sin
r
r
basta derivare rispetto al parametro s per ricavare il versore tangente:
τ̂ =
s
s
dP
ê
ê2
= cos
1 − sin
ds
r
r
e una ulteriore derivazione in s porge l’espressione:
s s
1
dτ̂
1
n̂ =
=
ê1 − cos
ê2 = 0
− sin
ρ
ds
r
r
r
per cui il versore normale diventa:
n̂ = − sin
s
s
ê1 − cos
ê2
r
r
con raggio di curvatura costante ρ = r. Il versore binormale è infine:
ê
ê
ê
1
2
3
− sin(s/r) 0 = −ê3 .
b̂ = τ̂ ∧ n̂ = cos(s/r)
− sin(s/r) − cos(s/r) 0 Il triedro di Frenet vale quindi

 τ̂ = cos(s/r) ê1 − sin(s/r) ê2
n̂ = − sin(s/r) ê1 − cos(s/r) ê2

b̂ =
− ê3
∀ s ∈ [0, αr] .
Non rimane che proiettare sforzi e momenti secondo i versori appropriati. I risultati sono
i seguenti:
sforzo normale
· τ̂ τ̂ =
R
−p − mg +
s
mg mg s ê2 · τ̂ τ̂ = p + mg −
s sin
τ̂
αr
αr
r
sforzo di taglio
· n̂ n̂ + R
· b̂ b̂ = R
· n̂ n̂ =
R
−p − mg +
s
mg mg n̂
s ê2 · n̂ n̂ = p + mg −
s cos
αr
αr
r
momento torcente
mg
· τ̂ τ̂ = r p (sin θ − sin α) +
M
(α sin θ − θ sin θ + cos α − cos θ) α
Stefano Siboni
ê3 · τ̂ τ̂ = 0
θ=s/r
26
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momento flettente
· n̂ n̂ + M
· b̂ b̂ = M
= −r p (sin θ − sin α) + mg (α sin θ − θ sin θ + cos α − cos θ) M
α
b̂
θ=s/r
Si osservi che il momento degli sforzi è puramente flettente.
Per concludere, risultante e momento risultante delle reazioni vincolari applicate sulla
sezione in A sono opposti a sforzo e momento in s = 0:
A
M
A = −R(0)
= −(−p − mg) ê2 = (p + mg) ê2
R
mg
mg
= −M(0) = −r −p sin α +
(cos α − 1) ê3 = r p sin α +
(1 − cos α) ê3 .
α
α
10. Esempio.
Trave rettilinea appoggiata agli estremi
Una trave sottile rettilinea ed omogenea T , di massa m e lunghezza L, poggia orizzontalmente nei suoi estremi O ed A su un sostegno rigido, disponendosi in equilibrio secondo
l’asse orizzontale Ox di una terna di riferimento cartesiana ortogonale Oxyz. La trave è
soggetta al proprio peso e ad una forza concentrata −F ê2 applicata nel punto B della
trave posto a distanza a < L dall’estremo O — vedi figura.
Determinare la distribuzione degli sforzi e dei momenti lungo la trave e i risultanti delle
reazioni vincolari esterne applicate agli estremi O ed A.
Soluzione
La parametrizzazione dell’asta si può esprimere direttamente in termini dell’ascissa x:
P (x) = x ê1 ,
x ∈ [0, L] .
La trave è soggetta al proprio peso, forza attiva distribuita di densità
mg
ê2
f(x) = −
L
∀ x ∈ [0, L]
e densità di momento nulla per via della condizione di trave sottile:
m(x)
= 0
Stefano Siboni
∀ x ∈ [0, L] .
27
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È inoltre presente una sollecitazione concentrata −F ê2 , agente nel punto B individuato
dal vettore posizione B − O = a ê1 , cui la stessa condizione di trave sottile impedisce di
esercitare un momento risultante non nullo:
FB = −F ê2
B = 0.
M
Le equazioni cardinali della statica in forma differenziale sono date da:
mg dR
mg
= − −
ê2 =
ê2
dx
L
L
dM
= −ê1 ∧ R
dx
(10.1)
e devono essere soddisfatte in [0, L] \ {a}, ovvero negli intervalli [0, a) e (a, L], su ognuno
dei quali devono essere separatamente risolte.
◦ Intervallo [0, a)
Per x ∈ [0, a) la prima equazione cardinale (10.1) si può integrare fra 0 e x e determina il
campo degli sforzi in termini dello sforzo al primo estremo:
mg
R(x)
− R(0)
=
x ê2
L
∀ x ∈ [0, a)
(10.2)
campo che sostituito nella seconda equazione cardinale conduce a:
mg
dM
−
= −ê1 ∧ R(0)
x ê3
dx
L
e con una ulteriore integrazione fra 0 e x fornisce l’espressione del momento:
mg 2
(x) − M
(0) = −ê1 ∧ R(0)
x ê3
x−
M
2L
∀ x ∈ [0, a) .
(10.3)
◦ Intervallo (a, L]
Per ogni x ∈ (a, L] la prima equazione cardinale statica in forma differenziale può essere
integrata fra L ed x, fornendo così il campo degli sforzi nel tratto residuo della trave:
mg
(x − L) ê2
R(x)
− R(L)
=
L
∀ x ∈ (a, L] .
(10.4)
Sostituendo l’espressione di R(x)
ricavata dalla (10.4), la seconda equazione cardinale della
statica in forma differenziale si riscrive come:
mg
dM
= −ê1 ∧ R(L)
(x − L)ê3
−
dx
L
e integrata nuovamente fra L ed x porta all’espressione del momento:
mg
(x) − M
(L) = −(x − L) ê1 ∧ R(L)
(x − L)2 ê3
−
M
2L
Stefano Siboni
∀ x ∈ (a, L] .
(10.5)
28
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◦ Condizioni di raccordo
Vanno infine considerate le condizioni di raccordo (4.7)-(5.7) per gli sforzi ed i momenti
nel punto di applicazione x = a della forza concentrata −F ê2 :
+ 0) − R(a
− 0) = −(−F ê2 ) = F ê2
R(a
(a + 0) − M
(a − 0) = 0
M
(10.6)
cui si devono aggiungere le condizioni sui momenti agli estremi, che si annullano per via
dell’ipotesi di semplice appoggio — senza incastro — degli stessi:
(0) = 0
M
(L) = 0 .
M
(10.7)
Le funzioni (10.2) e (10.3), calcolate per x = a, forniscono i limiti da sinistra in a dello
sforzo e del momento:
mg
− 0) = R(0)
a ê2
R(a
+
L
mg 2
(a − 0) = M
(0) − a ê1 ∧ R(0)
a ê3
−
M
2L
mentre i corrispondenti limiti da destra sono determinati ponendo x = a in (10.4) e (10.5):
mg
+ 0) = R(L)
(a − L) ê2
R(a
+
L
mg
+ 0) = M
(L) + (L − a) ê1 ∧ R(L)
−
M(a
(L − a)2 ê3 .
2L
Le condizioni di raccordo (10.6) diventano cosı̀:
mg
mg
−
(a − L)ê2 − R(0)
aê2 = F ê2
R(L)
+
L
L
mg
mg 2
(0) + aê1 ∧ R(0)
(L) + (L − a) ê1 ∧ R(L)
−
+
M
(L − a)2 ê3 − M
a ê3 = 0
2L
2L
ovvero:
R(L)
− R(0)
− mgê2 = F ê2
mg
(L) − M(0)
(−L2 + 2La)ê3 = 0
+ a ê1 ∧ R(0)
+
M
+ (L − a) ê1 ∧ R(L)
2L
(0) = M
(L) = 0, si perviene alle relazioni di compatibilità:
e siccome per ipotesi è M
R(L)
− R(0)
= (mg + F )ê2
L
(L − a) ê1 ∧ [R(0)
+ (mg + F )ê2 ] + aê1 ∧ R(0)
+ mg − + a ê3 = 0
2
Stefano Siboni
29
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che equivalgono alle:
R(L)
= R(0)
+ (mg + F ) ê2
L
Lê1 ∧ R(0)
+ (L − a)(mg + F ) + mg a −
ê3 = 0 .
2
La condizione di equilibrio assume perciò la forma:
R(L)
= R(0)
+ (mg + F ) ê2
1 1
+
mgL + LF − aF ê3 = 0 .
ê1 ∧ R(0)
L 2
(10.8a)
(10.8b)
L’equazione (10.8b) specifica R(0),
ma non completamente. Posto infatti R(0)
= R1 ê1 +
R2 ê2 + R3 ê3 , risulta:
= R2 ê3 − R2 ê2
ê1 ∧ R(0)
e la (10.8b) impone che si abbia:
R2 = −
1 1
mgL + LF − aF
L 2
R3 = 0
mentre R1 rimane completamente arbitrario.
◦ Risultanti delle reazioni vincolari esterne
I risultanti delle reazioni vincolari esterne agli estremi valgono perciò:
1
a
Φ = −R(0)
ê2
R
=
−R
ê
+
mg
+
F
−
F
1 1
0
2
L
1
a
Φ
RL = R(L) = R1 ê1 +
mg + F
ê2
2
L
per ogni R1 ∈ R ed il problema si riconosce essere staticamente indeterminato.
Se T è appoggiata nell’estremo O su una superficie piana orizzontale liscia, si ha certamente
R1 = 0 ed il problema diventa staticamente determinato.
◦ Sforzi e momenti
Per ottenere l’espressione esplicita dello sforzo è sufficiente sostituire le relazioni:
1
a
ê2
R(0)
= R1 ê1 + − mg − F + F
2
L
∀ R1 ∈ R
1
a
mg + F
R(L) = R1 ê1 +
ê2
2
L
nelle (10.2) e (10.4). Il risultato è il seguente:

1
a
x

ê2
 R1 ê1 + − mg − F + F + mg
2
L
L
R(x) =
a
x
1

 R1 ê1 + mg + F + mg
− 1 ê2
2
L
L
Stefano Siboni
∀ x ∈ [0, a)
∀ x ∈ (a, L].
30
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Facendo poi uso delle relazioni:
ê1 ∧ R(0)
=
1
a
ê3
− mg − F + F
2
L
ê1 ∧ R(L)
=
nelle equazioni (10.3) e (10.5), si ricava il campo dei momenti:

1

a
mg

2

x ê3
x−
 − − mg − F + F
2
L
2L
M (x) =

mg
a
1

2

(x − L) −
 − mg + F
(x − L) ê3
2
L
2L
1
2
mg + F
a
ê3
L
∀ x ∈ [0, a)
∀ x ∈ (a, L].
Semplificando, si ottiene infine ∀ R1 ∈ R fissato:

1
a
x

ê2 ∀ x ∈ [0, a)
 R1 ê1 + − mg − F + F + mg
2
L
L
R(x) =
1
a
x

 R1 ê1 + − mg + F + mg
ê2
∀ x ∈ (a, L].
2
L
L

1

a
mg 2


mg + F − F
x−
x ê3
∀ x ∈ [0, a)

2
L
2L
M (x) = 
mg
a
1

2

(L − x) −

mg + F
(L − x) ê3 ∀ x ∈ (a, L].
2
L
2L
◦ Approccio alternativo
Per chiudere, vale la pena di sottolineare che le condizioni di equilibrio (10.8a)(10.8b)
possono essere ricavate anche impostando le equazioni cardinali della statica per l’intera
trave. La prima equazione cardinale si scrive infatti:
−R(0)
+
L
mg ê2 dx − F ê2 + R(L)
−
= 0
L
0
ed eseguito l’integrale diventa
R(L)
− R(0)
− mgê2 − F ê2 = 0 ,
riducendosi cosı̀ alla (10.8a):
R(L)
− R(0)
= (mg + F )ê2 .
La seconda equazione cardinale si legge invece:
(L) + Lê1 ∧ R(L)
−M(0)
+ aê1 ∧ (−F ê2 ) + M
+
L
mg ê2 + 0 dx = 0
xê1 ∧ −
L
0
Stefano Siboni
31
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ed una volta calcolato l’integrale assume la forma:
2
(0) − aF ê3 − mg ê3 L + Lê1 ∧ R(L)
= 0
M(L)
−M
L
2
per cui, semplificando, diventa:
(L) − M
(0) =
M
1
.
aF + mgL ê3 − Lê1 ∧ R(L)
2
(L) = 0, per
Non rimane che sostituire la (10.8a) e le condizioni ai limiti M(0)
=0eM
arrivare all’equazione:
0 =
1
2
mgL + LF − aF ê3 + Lê1 ∧ R(0)
che coincide con la (10.8b).
Stefano Siboni
32
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Indice degli argomenti
1.
2.
2.1
2.2
2.3
3.
4.
4.1
4.2
4.3
4.4
5.
5.1
5.2
5.3
5.4
6.
7.
8.
9.
10.
Nozione geometrica di trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sollecitazioni agenti sulla trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forze di contatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forze attive distribuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forze attive concentrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problema fondamentale delle travi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prima equazione cardinale della statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Derivabilità degli sforzi. Forma differenziale della prima equazione cardinale . . . . .
Sforzi agli estremi della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Continuità/discontinuità degli sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forma generale dello sforzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Seconda equazione cardinale della statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Derivabilità dei momenti. Forma differenziale della seconda equazione cardinale . .
Momenti agli estremi della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Continuità/discontinuità del momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forma generale del momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problema a valori al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Travi sottili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esempio. Trave rettilinea incastrata ad un estremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esempio. Trave circolare incastrata ad un estremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esempio. Trave rettilinea appoggiata agli estremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stefano Siboni
1
3
3
4
5
6
6
7
8
9
10
12
13
14
16
17
18
19
20
23
27
i