CORPO RIGIDO - ROTAZIONI/DINAMICA
1 Due corpi di massa m1 e m2 sono appesi agli estremi della corda di una carrucola cilindrica di massa
M e raggio R. La corda non scivola rispetto alla carrucola. Determinare l’accelerazione dei corpi.
2 Scritto del 13 febbraio 2012 - Esercizio 4
Due masse m1 = 1.4 kg e m2 = 4.2 kg sono connesse da una corda
che gira senza attrito attorno ad un piolo fisso, come rappresentato in
figura. La massa m2 è poi connessa ad una terza massa, m3 da una
corda che gira senza scivolare attorno ad una carrucola di raggio R = 10
cm e massa M = 1.0 kg. Entrambe le corde sono inestensibili e di massa
trascurabile.
Il coefficiente di attrito dinamico tra tutte le superfici è pari a 0.3.
a) Trovare il valore della massa m3 , necessaria per muovere il sistema
con accelerazione pari a 3 m/s2 .
b) Calcolare la tensione della corda che connette m1 e m2 nel caso individuato al punto a).
3 Esercizio 6.15 MNV
Due dischi di ferro, di raggi R1 = 0.1 m e R2 = 2R1 e masse M1 = 2 kg e M2 = 1.5M1 , sono fissati
solidamente uno all’altro in modo da risultare coassiali. Essi possono ruotare senza attrito attorno all’asse
verticale passante per il centro di massa. Sul disco di raggio R1 è avvolto un filo a cui è appesa la massa
m = 1 kg. All’istante t = 0 la massa m inizialmente in quiete, viene lasciata scendere.
a. Calcolare il tempo t0 necessario perchè essa percorra h = 10 m.
Sul bordo del disco di raggio R2 è fissato un magnetino di massa m0 = 10−2 kg e di dimensioni trascurabili;
la forza magnetica che lo tiene attaccato al disco vale 1.5 N.
b. Dire se al tempo t0 il magnetino è ancora attaccato al disco.
Si veda il libro, per la figura.
4 Compitino del 20 gennaio 2010 - Esercizio 4
Una macchina di Atwood è costituita da una carrucola, di raggio R e massa M , attorno alla quale passa
un filo inestensibile di massa trascurabile che connette due blocchetti di massa M e 2M . La carrucola
può essere considerata un disco omogeneo, è libera di ruotare senza attrito sul proprio asse e il filo ad
essa appoggiato ne segue il movimento senza strisciare. Il blocchetto più leggero è inizialmente posto a
distanza d dal pavimento. Il blocchetto più pesante è invece posizionato su un piano inclinato che forma
un angolo α rispetto al pavimento. Il coefficiente di attrito statico e dinamico tra il piano inclinato ed il
blocchetto è µ.
a) Determinare la condizione che deve soddisfare l’angolo α affinchè il blocco più leggero si muova verso
il basso.
b) Nel caso in cui valga la condizione determinata al punto a) determinare l’accelerazione dei blocchetti
e la tensione del filo che sostiene quello più leggero.
Lo schema riportato in figura deve essere considerato indicativo e non in scala.
5 Una massa m pende da una corda il cui altro capo è avvolto intorno ad una carrucola circolare di
massa M = 2m e raggio R. La corda non è elastica nè scivola lungo la carrucola.
a. Calcolare l’accelerazione lineare a e la tensione della corda T in funzione di m, g e R.
b. Se la massa parte da ferma, calcolare il momento angolare totale L rispetto al centro della
carrucola dopo che la massa ha percorso un tratto h = R.
6
Una macchina di Atwood è formata da una carrucola a raggiera, composta da 6 raggi di raggio R e massa M e da un bordo circolare anch’esso
di massa M . Due corpi di massa M e 2M sono collegati da una corda inestensibile di massa trascurabile avvolta intorno alla carrucola, rispetto
alla quale non può scivolare. Il corpo più leggero è appoggiato a terra
quando il sistema viene lasciato libero di muoversi, partendo da fermo.
a. Calcolare la velocità del corpo di massa maggiore quando
colpisce il terreno.
b. Si assuma che quando questo avviene, il corpo più pesante rimanga
al suolo. Inoltre la corda rimanga a contatto con la carrucola e quindi
continui a sollevare il corpo più leggero. Quale altezza raggiunge il
corpo più leggero?
7 Scritto del 18 settembre 2012 - Esercizio 1
Un corpo di dimensioni trascurabili e di massa M = 4.5 kg si trova in cima ad un piano, inclinato di un
angolo θ = 35o e alto h = 1 m. È collegato tramite una corda inestensibile di massa trascurabile ad una
carrucola cilindrica di massa m = 1.6 kg e raggio R = 9 cm.
La corda si srotola dalla carrucola senza scivolare mentre il corpo scende lungo il piano.
a. Calcolare il valore del coefficiente di attrito dinamico tra corpo e piano, se l’accelerazione del corpo è
pari a 2.4 m/s2 .
b. Calcolare la velocità del corpo in fondo al piano inclinato.
c. Calcolare quale altezza deve avere un piano liscio con la medesima inclinazione in modo tale che il
corpo arrivi in fondo con la velocità calcolata al punto b.
Si risolva l’esercizio sia con considerazioni dinamiche che energetiche.
Il disegno non è da considerarsi in scala.
CORPO RIGIDO - STATICA
8 Una scala di lunghezza l = 6 m e massa m = 15 kg è appoggiata ad un muro liscio ad un angolo
θ = 30o rispetto alla verticale. Il coefficiente di attrito statico tra la scala e il pavimento è µS = 0.4.
Trovare l’altezza massima a cui un uomo di 70 kg può salire sulla scala in modo tale essa
non scivoli.
9
Una sfera piena di raggio R e massa M è sostenuta da
una corda attaccata ad un muro come in figura. La corda
forma un angolo θ con il muro tale che il prolungamento
della corda taglia il diametro orizzontale della stessa a distanza 23 R dal muro.
Trovare il coefficiente di attrito statico minimo tra
muro e sfera tale da permettere questa configurazione.
10 Un’asta di massa M e lunghezza L si trova in posizione orizzontale sostenuta da una corda che forma
un angolo θ = 25o rispetto all’orizzontale, come mostrato in figura. Determinare
a. la Tensione della corda;
b. la reazione vincolare al perno.
Ripetere tali calcoli nel caso in cui all’estremo destro dell’asta sia appoggiato un corpo di dimensioni
trascurabili e di massa m = 25 kg.
c. Se la corda viene tagliata, con quale velocità angolare ω l’asta sbatte contro il muro?
√
Una sbarra di peso P e lunghezza 3R è appoggiata in una guida semicircolare di raggio R. Ad un
estremo della sbarra c’è un corpo puntiforme di peso pari a P/2. Calcolare l’angolo θ che la sbarra
forma con il piano orizzontale quando è in equilibrio.
11
CORPO RIGIDO - ROTOTRASLAZIONI
12
Si consideri la macchina di atwood rappresentata in figura, in cui ai capi di una carrucola (di massa trascurabile) sono posti un corpo di massa m di dimensioni trascurabili
ed un cilindro di massa m e raggio r. La corda, inestensibile e di massa anch’essa
trascurabile, è arrotolata intorno al cilindro. Il sistema, inizialmente fermo, viene
lasciato libero di muoversi. Si assuma che la corda non scivoli rispetto al cilindro.
Si calcolino le accelerazioni del corpo e del cilindro.
13 Esercizio 2 - Scritto del 18 giugno 2010
Un filo è arrotolato attorno ad un cilindro di massa m1 e raggio R inizialmente in quiete su un piano che forma un angolo α con il terreno. Il filo
rimane parallelo al piano inclinato, passa senza attrito sopra ad un piolo
ed è agganciato ad una massa m2 . Il cilindro una volta in movimento
può unicamente rotolare senza strisciare.
a) Determinare l’accelerazione a1 del centro di massa del cilindro e l’accelerazione a2 della massa sospesa.
b) Determinare il rapporto m1 /m2 per il quale il cilindro rotola
giù dal piano inclinato.
14
Esercizio 2 - Scritto del 24 giugno 2013
Una piccola biglia di massa m = 0.1 kg e raggio r = 0.01 m rotola senza
scivolare lungo la pista in figura (di raggio R = 1.2 m) partendo da ferma
quando il suo centro di massa si trova ad una altezza h rispetto al fondo della
pista.
a) Determinare il valore minimo di h perchè il corpo possa compiere un giro
completo.
Sia h∗ il valore minimo trovato al punto a.
b) Nel caso in cui h = 2h∗ , determinare la forza che agisce sul corpo quando
questo si trova nel punto B del percorso (che si trova ad altezza R dal fondo
della pista).
Il disegno non è da considerarsi in scala.
15 Una palla di massa m e raggio r si trova ferma sulla sommità di un emisfero fisso di raggio R. C’è
attrito tra la palla e l’emisfero. Si dà alla palla una piccola spinta, ed essa rotola senza scivolare.
Determinare a quale angolo avviene il distacco.
16 Una palla di massa m e raggio r viene tenuta ferma su un piano di massa M inclinato di un angolo
θ, appoggiato ad un piano liscio orizzontale. La palla viene lasciata libera di muoversi. Assumendo che
rotoli sul piano senza scivolare, determinare l’accelerazione orizzontale del piano inclinato.
17
Un sottile parallelepipedo di massa M , libero di muoversi su un
piano orizzontale liscio, è connesso ad un muro tramite una molla
di costante elastica k. Vi è appoggiato un disco di massa m e
raggio r, libero di rotolare senza strisciare. Se l’asse e il cilindro
sono spostati dalla posizione di equilibrio della molla e poi lasciati
liberi di muoversi, determinare la frequenza del loro moto.
18 Una sfera solida omogenea è appoggiata ferma su un piano inclinato.
Qual è il valore minimo del coefficiente di attrito statico µS tra la sfera e la superficie del
piano affinchè la sfera rotoli senza scivolare?
19 Si imprime ad una palla da biliardo di massa m e raggio R una velocità di scivolamento (senza
rotazione) v0 su un tavolo da biliardo orizzontale.
Il coefficienti di attrito tra il tavolo e la palla è µ.
a. Dopo quanto tempo la palla inizia a rotolare senza scivolare? Quanto spazio ha percorso?
b. Qual è il valore della sua velocità v in quel punto? Si determini quanta energia è stata
dissipata a partire dall’istante iniziale.
c. A quale altezza rispetto al tavolo si deve dar un colpo di stecca orizzontale in modo tale
che la palla fin da subito rotoli senza scivolare?
20 Una bobina di cavo, di massa M e raggio R viene srotolata lungo un piano orizzontale sotto l’azione
di una forza costante. Si assuma che la bobina sia un cilindro uniforme che rotola senza scivolare. Il
coefficiente di attrito statico sia µS . Si trascuri la diminuzione del raggio della bobina mentre viene
srotolata.
a. Determinare la forza di attrito che agisce sulla bobina.
b. Determinare l’accelerazione del centro di massa della bobina.
c. Determinare l’accelerazione angolare della bobina.
d. Calcolare l’energia cinetica della bobina dopo che essa ha percorso un tratto L.
21 Una palla da bowling di massa m e raggio R è appoggiata al pavimento di un vagone di un treno; se
il treno ha una accelerazione orizzontale a1 , qual è l’accelerazione a2 della palla? Si assuma che sul
treno la palla rotoli senza scivolare.
Le accelerazioni si riferiscono in entrambi i casi ad un sistema di riferimento esterno al treno e solidale con il suolo.
22 Quale forza orizzontale deve essere applicata all’altezza del centro di massa di una ruota di massa M
e raggio R per spingerla su un gradino liscio di altezza h < R?
23 Esercizio 2 - Scritto del 29 gennaio 2010
Un cilindro di raggio R = 12 cm e un cubo di spigolo R, aventi la stessa massa m = 1 kg, sono inizialmente
tenuti in quiete su una superficie scabra avente un’inclinazione θ = 60o sopra l’orizzontale. Ad un certo
istante vengono lasciati liberi. Il cilindro rotola giù dal piano senza strisciare e il cubo scivola senza
rotolare. Si nota che la distanza tra questi due oggetti non varia in funzione del tempo nonostante i corpi
non siano tra loro connessi.
a) Calcolare il coefficiente di attrito dinamico tra superficie e cubo.
b) Calcolare la velocità angolare del cilindro dopo che questo ha percorso una distanza L = 1 m lungo la
discesa. c) Calcolare il lavoro delle forze di attrito che agiscono sul cubo quando questo ha percorso una
distanza 2L lungo la discesa.
24
Una bobina di massa M = 3 kg consiste di un cilindro centrale di raggio r
= 5cm e due dischi sottili di raggio R = 6 cm attaccati alle basi e coassiali
al cilindro. La bobina rotola senza scivolare su un piano inclinato che
presenta una fessura, in modo tale che una massa m = 4.5 kg può essere
sospesa ad una corda attorcigliata intorno alla bobina. Il sistema è in
equilibrio statico.
Qual è l’angolo di inclinazione del piano inclinato?
25
Uno yo-yo può essere schematizzato come un disco solido di massa m,
raggio R e spessore d. Una corda (di massa trascurabile) viene avvolta
intorno ad un piccolo asse di raggio r (di massa trascurabile) passante
per il centro dello yo-yo, come rappresentato in figura. Prima di lasciar
cadere lo yo-yo, inizialmente fermo ad altezza h dal suolo, la corda è tesa
in direzione verticale.
a. Determinare l’accelerazione angolare dello yo-yo.
b. Determinare la tensione della corda.
c. Calcolare il momento angolare dello yo-yo un istante prima
di toccare il suolo.
26 Scritto del 18 giugno 2010 - Esercizio 4
Una sfera di raggio r = 2cm rotola senza strisciare all’interno di una guida avente la forma di un arco di
circonferenza con raggio R = 50cm come mostrato in figura. La sfera parte da ferma e il suo centro di
massa si trova nel punto più alto della guida ad un’altezza R dal suolo.
a) Calcolare la velocità del centro di massa della sfera quando questa giunge nel punto più
basso del tracciato.
Si supponga ora che l’oggetto che si muove nella giuda sia un punto materiale che scivola senza attrito.
b) Calcolare la velocità delloggetto quando esce dalla guida dopo aver descritto un arco di
135o .
c) Calcolare a che distanza, D, dal punto più basso della guida atterra il punto materiale.
CONSERVAZIONE MOMENTO ANGOLARE - URTI
27 Un pattinatore ruota su se stesso su una superficie senza attrito con velocità angolare ωb = 6 rad/s
con le braccia distese orizzontalmente.
Qual è la velocità angolare con le braccia lungo i fianchi?
Si modelli il pattinatore come un cilindro uniforme di raggio R = 20 cm e le sue braccia come sbarre
uniformi di lunghezza L = 70 cm e massa m = 4.5 Kg, mentre la massa del pattinatore braccia escluse
sia M = 70 kg.
28 Un disco uniforme di massa M e raggio R si muove verso un altro disco uniforme di massa 2M
e raggio R su un tavolo liscio (cfr la figura). Il primo disco ha una velocità iniziale v0 ed una velocità
angolare ω0 come da figura, mentre il secondo disco è inizialmente fermo. I due dischi vengono in contatto
in modo radente e istantaneamente si attacano insieme ed iniziano a muoversi come un unico oggetto.
a. Quali sono le velocità lineari e angolari del sistema formato dai due dischi, dopo la
collisione? Indicare sia l’ampiezza che la direzione.
b. Per quale valore di ω0 il sistema formato dai due dischi non ruota?
c. In quest’ultimo caso, quanta energia meccanica viene dissipata durante la collisione?
29 Un anello di massa M , raggio R è appoggiato su un piano liscio. Un proiettle di massa m si muove
orizzontalmente con velocità v0 e lo sfiora (propriamente: lo urta con parametro di impatto pari a R).
Dopo la collisione il proiettile continua a muoversi nella medesima direzione con velocità v0 /2.
Si ignori il buco creato dal proiettile all’anello.
a. Calcolare la velocità lineare e angolare dell’anello dopo la collisione
Se l’anello è sostituito da un disco, se il proiettile si conficca nel disco e se il disco è vincolato ad un asse
verticale passante per il suo centro
b. Indicare se e quali fra l’energia cinetica, il momento lineare e il momento angolare si
conservano.
c. Calcolare la velocità angolare del disco dopo la collisione.
30 Una piccola palla di gomma di raggio r viene lanciato contro un pavimento orizzontale scabro in
modo tale che la sua velocità subito prima di colpirlo in A (si veda la figura) è pari a v e forma un angolo
θ = 60o rispetto al piano. La palla ha anche una velocità angolare “di back-spin” ω. Si osserva che la palla
rimbalza continuamente tra A e B. Facendo l’ipotesi che gli urti con il pavimento siano perfettamente
elastici, determinare:
a. quanto deve valere ω in funzione di v e r;
b. il valore minimo che deve avere il coefficiente di attrito statico µSM IN che possa permettere
questo moto della palla.
31 Scritto del 04 luglio 2011 - Esercizio 1
Un’asta di lunghezza `=1m e massa trascurabile può ruotare senza attrito attorno ad un perno passante
per uno dei suoi estremi. In mezzo all’asta e all’estremità libera sono attaccate due masse puntiformi
m1 = m2 = 0.4kg. Inizialmente l’asta è ferma e pende liberamente nel vuoto. All’istante t0 =0s un proiettile di massa m = 200 g e velocità v = 10 m/s urta l’asta perpendicolarmente nel suo punto centrale e vi
si conficca. Si calcoli:
a) La velocità angolare ω0 dell’asta subito dopo l’urto.
b) L’angolo di rotazione che l’asta compie prima di fermarsi.
c) La velocità minima che deve avere il proiettile perchè l’asta possa compiere un giro completo.
32 Es 7.31 MNV Elementi di Fisica
Un’asta sottile omogenea AB di lunghezza d = 1 m ruota su un piano orizzontale liscio con velocità
angolare costante ω = 2 rad/s attorno ad un asse verticale passante per un suo estremo. Ad un certo
istante il vincolo in A si spezza. Determinare il moto dell’asta.
Una palla puntiforme di massa M urta un’asta di lunghezza ` dotata di momento d’inerzia βm`2
rispetto al suo centro, coincidente con il centro di massa. La palla viaggia inizialmente con velocità v0
perpendicolare all’asta. Urta l’asta a distanza d dal suo centro (si veda la figura). L’urto è elastico.
Determinare:
a. la velocità traslazionale e rotazionale dell’asta dopo l’urto;
b. la velocità della palla dopo l’urto.
33