Esercitazioni
di Meccanica Razionale
a.a. 2002/2003
Baricentri
Maria Grazia Naso
[email protected]
Dipartimento di Matematica
Università degli Studi di Brescia
c
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Baricentri - 2003
M.G. Naso – p.1
Asta omogenea
Determiniamo il baricentro di un’asta AB, di lunghezza L e densità
constante ρ.
PSfrag replacements
Scelto il sistema di riferimento Oxy come in figura
y
O≡A
P
B
x
c
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Baricentri - 2003
M.G. Naso – p.2
il baricentro G dell’asta appartiene all’asse x. Quindi
yG = 0 . Per definizione
Z
L
x ρ dx
0
xG = Z
L
ρ dx
L
= .
2
0
c
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Baricentri - 2003
M.G. Naso – p.3
Arco di circonferenza omogeneo
Determiniamo il baricentro di un arco di circonferenza omogeneo di
b = 2α.
raggio R e apertura AOB
Si introduca il riferimento cartesiano Oxy, con origine O nel centro
della circonferenza cui appartiene l’arco e asse y coincidente con
l’asse
di simmetria dell’arco.
PSfrag
replacements
y
P
A
θ
B
α
O
x
c
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Baricentri - 2003
M.G. Naso – p.4
Per simmetria si ha xG = 0 .
_
b := θ ∈ [−α, α]. Indicata con
Sia P un punto dell’arco AB e y + OP
_
ρ la densità (costante) di massa, la massa dell’arco AB è
_
m = ρ 2Rα e AB = 2Rα. Risulta
Z α
1
sin α
yG =
ρR
cos
θ} R
dθ = R
.
|
|{z}
{z
m −α
α
=yP
=dl
π
2R
: xG = 0, yG =
I Nel caso di una semicirconferenza α =
.
2
π
c
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Baricentri - 2003
M.G. Naso – p.5
Settore circolare omogeneo
Determiniamo il baricentro di un settore circolare omogeneo di
b = 2α.
raggio R e apertura AOB
Si introduca il riferimento cartesiano Oxy, con origine O nel centro
delreplacements
cerchio a cui appartiene il settore circolare e asse y coincidente
PSfrag
con l’asse di simmetria del settore.
y
A
θ P B
α
r
O
x
c
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Baricentri - 2003
M.G. Naso – p.6
Per simmetria si ha xG = 0 .
Sia P un punto del settore circolare AB. Siano
b := θ ∈ [−α, α] e |P − O| := r ∈ [0, R]. Indicata con ρ la
y + OP
densità (costante) di massa, la massa del settore circolare AB è
m = ρ R2 α. Risulta
Z RZ α
1
2R sin α
yG =
ρ r| cos
θ} |r dθ
dr} =
.
{z
{z
m 0 −α
3
α
=yP
I Nel caso di un semicerchio
=dS
4R
π
: xG = 0, yG =
.
α=
2
3π
c
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Baricentri - 2003
M.G. Naso – p.7
Asta non omogenea
Determiniamo il baricentro di un’asta AB, di lunghezza L e densità
α
ρ(P ) = ρ0 1 + k AP , P ∈ AB, ρ0 > 0, k, α ≥ 0.
PSfrag replacements
Scelto il sistema di riferimento Oxy come in figura
y
O≡A
P
B
x
c
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Baricentri - 2003
M.G. Naso – p.8
il baricentro G dell’asta appartiene all’asse x. Quindi
yG = 0 . Per definizione
Z
L
x ρ(x) dx
xG = Z0
0
L
ρ(x) dx
Z
L
x ρ0 1 + k OP
= Z0
0
L
ρ0 1 + k OP
α
α
dx
dx
2kLα
L 1+ α+2
.
=
α
kL
2
1+
α+1
L
I Asta omogenea (k = 0 o α = 0) ⇒ xG = .
2
c
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Baricentri - 2003
M.G. Naso – p.9
Esercizio 1. Determinare il baricentro di un’asta AB non
omogenea, di lunghezza L ed avente
(a) densità lineare: ρ(P ) = k|P − A|, dove P ∈ AB, k > 0.
(b) densità quadratica: ρ(P ) = k|P − A|2 , dove P ∈ AB, k > 0.
Risoluzione. In entrambi i casi il baricentro G dell’asta AB
appartiene al segmento AB.
2
(a) AG = L.
3
3
(b) AG = L.
4
c
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Baricentri - 2003
M.G. Naso – p.10
Semidisco non omogeneo
Determiniamo il baricentro
non omogeneo di raggio
di un semidisco
1
R e densità ρ(P ) = k 1 + OP , dove P è un punto del
R
semidisco
e k > 0.
PSfrag
replacements
Si introduca il riferimento cartesiano Oxy, come in figura.
y
P
θ
r
A
O
B
x
c
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Baricentri - 2003
M.G. Naso – p.11
Per simmetria si ha xG = 0 .
π π
Sia P un punto del semidisco. Siano
:= θ ∈ − 2 , 2 e
|P − O| := r ∈ [0, R]. La massa del semidisco è
Z π Z R 2
r
5
2
r| dr
dθ
kπ
R
k 1+
=
.
m=
{z
}
R
6
−π 0
b
y + OP
=dS
2
Si ha
yG
1
=
m
Z
π
2
− π2
Z
0
R
r
7R
r| cos
θ
k 1+
r
dr
dθ
=
.
|
{z
}
{z
}
R
5π
=yP
=dS
c
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Baricentri - 2003
M.G. Naso – p.12
Lamina rettangolare non omogenea
Determiniamo il baricentro di una lamina rettangolare ABCD, con
2
AB = a e AD = b, non omogenea di densità ρ(P ) = k OP , dove
P è un punto della lamina ABCD e k > 0.
Si introduca il riferimento cartesiano Oxy, come in figura.
PSfrag replacements
y
C
D
P
O≡A
B
x
c
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Baricentri - 2003
M.G. Naso – p.13
Sia P un punto della lamina ABCD. Siano xP := x ∈ [0, a] e
yP := y ∈ [0, b]. La massa della lamina è
Z bZ a
1
2
2
2
2
m=
k x + y dx dy = kab a + b .
| {z } 3
0
0
=dS
Si ha
xG
1
=
m
Z bZ
0
a
0
2
k |{z}
x x +y
2
=xP
2a2
3b2
2
2
a 3a + 2b
dx dy =
4 (a2 + b2 )
.
+
.
Analogamente yG =
2
2
4 (a + b )
b
c
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Baricentri - 2003
M.G. Naso – p.14
Applicazione della proprietà distributiva
nel calcolo del baricentro di una figura composta
Teorema 1 (Proprietà distributiva del baricentro).
Comunque si scomponga un sistema materiale nella somma di
due sistemi, rispettivamente di massa m1 ed m2 e di baricentri
G1 e G2 , allora il baricentro G di tutto il sistema di massa m
coincide con il baricentro del sistema formato dai due punti
materiali (G1 , m1 ) e (G2 , m2 ), cioè
m1 (G1 − O) + m2 (G2 − O)
(G − O) =
.
m1 + m 2
c
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Baricentri - 2003
M.G. Naso – p.15
Segmento circolare (omogeneo) ad una base
Determiniamo il baricentro di un segmento circolare (omogeneo) ad
b = 2α.
una base di raggio R e apertura AOB
PSfrag replacements
Si introduca il riferimento cartesiano Oxy, come in figura.
y
P
A
α
B
θ
r
O
x
c
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Baricentri - 2003
M.G. Naso – p.16
Sia P un punto del segmento circolare ad una base e siano
R cos α +b
y OP := θ ∈ [−α, α], OP := r ∈ cos θ , R . Per simmetria
xG = 0 .
Il segmento circolare è dato dalla differenza tra il settore circolare
M
AOB (→ [1]) e il triangolo AOB (→ [2]).
m1 = ρR2 α
(2R sin α) (R cos α)
= ρR2 sin α cos α
2
2R sin α
=
3 α
2
= R cos α.
3
m2 = ρ
y G1
y G2
c
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M.G. Naso – p.17
Per la proprietà distributiva del baricentro, si ha:
m1 y G1 − m 2 y G2
m1 y G1 − m 2 y G2
=
yG =
m
m1 − m 2
Pertanto:
yG
cos2 α
2R sin α 1 −
=
3 (α − sin α cos α)
2R sin3 α
=
.
3 (α − sin α cos α)
4R
π
: xG = 0, yG =
I Semidisco omogeneo α =
.
2
3π
c
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Baricentri - 2003
M.G. Naso – p.18
Disco omogeneo con foro circolare
Determiniamo il baricentro di un disco omogeneo, di raggio R, con
foro circolare, di raggio R2 .
Si introduca il riferimento cartesiano Oxy, come in figura.
y
PSfrag replacements
O ≡ G2
G1
A
x
c
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Baricentri - 2003
M.G. Naso – p.19
Per simmetria yG = 0 .
R
x G2 = 0
x G1 = ,
2 2
πR
m1 = ρ
, m2 = ρπR2 .
4
Per la proprietà distributiva del baricentro, si ha:
xG
m2 x G2 − m 1 x G1
R
=
=−
m
6
.
c
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M.G. Naso – p.20
Lamina omogenea
Determiniamo il baricentro di una lamina omogenea, di massa m,
costituita da
• un rettangolo di dimensioni 2a e 2b, (→ [1]);
• un disco di raggio b, (→ [2]);
• un semidisco di raggio a, (→ [3]).
c
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Baricentri - 2003
M.G. Naso – p.21
Si introduca il riferimento cartesiano Oxy, come in figura.
y
PSfrag replacements
G2
D
C
G1
A
O
G3
B
x
c
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Baricentri - 2003
M.G. Naso – p.22
AB = 2a ,
AD = 2b
y G1 = b ,
yG2 = 3b ,
m1 = ρ4ab ,
m2 = ρb2 π ,
4a
y G3 = −
3π
a2 π
m3 = ρ
2
Per simmetria xG = 0 .
Per la proprietà distributiva del baricentro si ha
m1 y G1 + m 2 y G2 + m 3 y G3
.
yG =
m
Pertanto
2
3
3
2 12ab + 9πb − 2a
yG =
.
2
2
3(8ab + 2πb + πa )
c
Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 2002/2003 - Baricentri - 2003
M.G. Naso – p.23