Dipartimento di Ingegneria Industriale dell’Università di Parma – Ing. Giorgio Toderi
Dimensionamento di una turbina a vapore a salti di velocità
h
0
30 bar
16.37 bar
Si richiede una turbina a vapore della potenza
di 4 MW capace di sfruttare vapore alla
pressione di 30 bar e temperatura di 400 °C.
c
La macchina richiesta è di piccola taglia,
12 bar
quindi il parametro più importante per il
progetto, sarà l’economicità: non ha senso
1
c
adottare soluzioni sofisticate (e costose)
quando la totale energia che produrrà la
macchina in tutta la sua vita sarà comunque di
non rilevante entità.
1
Il salto totale è certamente eccessivo per essere
smaltito in una sola macchina, quindi si
prevede suddividerlo in due salti, utilizzando
due macchine in serie (turbina di A.P. e
turbina di B.P.) ciascuna capace di rendere 2
MW. Si procederà ora a dimensionare la turbina di alta pressione fissando la pressione intermedia a
12 bar.
s
k
2 k −1
Si verifica subito il valore della pressione critica: pc = p0
k +1
Essendo, per il vapore d’acqua k = 1.3 si trova pc = 16.37 bar: la pressione scelta è subcritica, quindi
si dovranno prevedere distributori convergenti-divergenti.
kJ
kJ
kJ
Dal diagramma di Mollier si ricava: h0 = 3230 ; h1 = 2980 ; hc = 3070
kg
kg
kg
Calcolo dei triangoli di velocità
Velocità di uscita dal distributore: c = 2(ho − h1 ) = ϕ 2(ho − h1 )
ove ϕ è il coefficiente di riduzione
velocità* di un condotto convergente-divergente (ugello di De Laval) per il quale possiamo stimare
m
un valore di 0.97: otteniamo c = 685.9 .
s
Questa velocità, che coincide, ovviamente con la velocità assoluta all’ingresso della prima girante
( c11 ) è molto elevata, quindi si decide per una macchina e due salti di velocità, ma prevedendo che
anche in tal caso, si avrebbero ancora velocità troppo grandi, si stabilisce fin d’ora di inserire un
riduttore di velocità con rapporto 2:1 in modo che, ruotando la girante a 6000 r/min, si potrà
contenere il suo diametro entro valori accettabili.
*
Vale la pena osservare che il coefficiente di riduzione velocità coincide con la radice quadrata del rendimento
isentropico d’espansione.
Dimensionamento di una turbina a vapore a salti di velocità.
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Fissato α11 = 15° si procede al calcolo delle velocità mediante iterazione grafica: partendo dalla
condizione ideale si tiene conto delle perdite nelle iterazioni successive applicando i coefficienti di
riduzione velocità (ϕ e ψ) dei palettamenti (vedi appendice).
α11
c11
u
1
2
w11 w
β11 = β 21
α 21 = α12
u
2
1
1
2
c
I risultati dell’iterazione sono sotto elencati.
c11 = 685.90 m/s
α11 = 15.00°
w11 = 566.23 m/s
β11 = 18.27°
w12 = 459.12 m/s
β 21 = 18.27°
c12 = 324.81 m/s
α 21 = 24.83°
c12 = 291.07 m/s
α12 = 24.83°
w12 = 185.33 m/s
β12 = 41.26°
w22 = 166.08 m/s
β 22 = 41.26°
c22 = 109.53 m/s
α 22 = 90.00°
u = 124.82 m/s
Lavoro unitario: Lu = u
ct =
2
j =1
(
2
j
i =1 i
2
w12 w2
u
c
2
α 22 c2
β12 = β 22
u
)
c cos α i j = 1237.8 m/s
ct = 1.545 ⋅105 J/kg
Si calcola ora il diametro della girante d =
60u
d
= 0.397 m e fissa l’altezza delle pale h =
= 20mm
20
πn
La potenza trasmessa dal vapore alle giranti, non coincide con la potenza utile: ammessa una perdita
(δ) pari al 2%, si può scrivere:
Potenza totale Pt = Pu (1 + δ ) = mv ⋅ Lu
P (1 + δ )
e ricavare la portata da smaltire mv = u
= 13.20 kg/s
Lu
Rendimento globale
Pu
η=
= 0.606
m(h0 − h1 )
Dimensionamento del distributore
h1 = h0 − ϕ 2 (h0 − h1 ) = 2995 kJ/kg
hc = h0 − ϕ 2 (h0 − hc ) = 3079 kJ/kg
Dal diagramma di Mollier si trova T1 = 550 K; Tc = 593 K
Applicando
l’equazione
del
gas
3
3
v1 = 0.2115 m /kg; vc = 0.1668 m /kg .
perfetto
con
R = 461.37 J/kg K
si
ottiene:
Velocità nella sezione di gola: cc = 2(h0 − hc ) = 549.5 m/s
Dimensionamento di una turbina a vapore a salti di velocità.
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mv v1
= 4.070 ⋅10 −3 m 2
c1
mv
Sezione di gola totale: Ω c = v c = 4.007 ⋅10 −3 m 2
cc
Sezione d’uscita totale: Ω1 =
(1 − ε )πd
l
α11
Ω1
sin α 11
Ω1
I distributori non occuperanno l’intera circonferenza, ma solo una parte, che viene detta “arco
d’azione” indicata con (1 − ε )πd . Detta l1 l’altezza dei distributori si può scrivere:
Ω1
= (1 − ε )π d l1
sin α 11
Ω1
dalla quale si ricava: (1 − ε ) =
.
π d l1 sin α11
Si pone l1 = 18 mm e si ottiene: (1 − ε ) = 0.700 .
Numero dei condotti
Ipotizzando i condotti di forma quadrata si ha m =
Ω1
= 12.56 .
l12
Si dovrà scegliere fra 12 e 13; come al solito mediando fra costi e prestazioni della macchina.
Solitamente i distributori non sono pilotati singolarmente, ma ogni valvola comanda un gruppo di 2,
3 o 4 distributori. Il valore 13 è certamente da scartare (numero primo), mentre 12 si può ottenere
raggruppando per 2, per 3 o per 4. Nel primo caso avremo migliore regolazione (sei livelli),
nell’ultimo, più economico, solo tre livelli. Possiamo optare per una ulteriore soluzione: 15
distributori raggruppati per 3, in modo d’avere cinque livelli.
Si ricalcolano le dimensioni nella sezione d’uscita e nella sezione contratta:
Ωc
Ω1
l1 =
= 16.47 mm
lc =
= 16.34 mm
15
15
Con il nuovo valore di l1 si ricalcola: (1 − ε ) = 0.765 †
Sarà anche possibile ridurre l’altezza delle pale e porre h = 18 mm
Se dovesse essere 1 − ε > 1 si dovrà cambiare qualcosa (es. l1)
Dimensionamento di una turbina a vapore a salti di velocità.
†
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Disegno delle pale
Si pone:
b = larghezza del palettamento
R = raggio del dorso della pala
r = raggio del ventre della pala
t = passo fra le pale
n = numero delle pale
Centrando il compasso in C si
tracciano gli archi di raggio R e r.
β
R
r
b
C
β
t
Si ottiene: R =
Posto
b
2 cos β
r
= Kr
R
e
R − r = t sin β
ed essendo
t=
πd
πd
n
si può scrivere:
R (1 − Kr ) =
sostituendo:
b
(1 − Kr ) = πd sin β
2 cos β
n
infine, il numero delle pale:
n=
n
sin β
πd sin 2β
(1 − Kr )b
Il valore di Kr influenza il numero delle pale; normalmente Kr = 0.7.
Poniamo nel nostro caso b = 20 mm, e manterremo questi valori per le due giranti e per il
raddrizzatore.
Numero delle pale
Prima girante n1 =
πd sin 2β11
Raddrizzatore nr =
(1 − Kr )b
πd sin 2α 21
(1 − Kr )b
Seconda girante n2 =
= 124
= 158
πd sin 2β12
(1 − Kr )b
= 206
Dimensionamento di una turbina a vapore a salti di velocità.
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Appendice: metodo d’iterazione grafica.
Questo metodo consente di calcolare i vettori velocità utilizzando dolo riga e goniometro.
1. Si calcola c11
2. Si fissa α11 .
3. Si decide (per esempio) di realizzare pale simmetriche, quindi avremo: β 21 = β11 ; α12 = α 21 ;
β 22 = β12 .
4. Si inizia disegnando in scala i triangoli di velocità nel caso ideale (quindi
w12 = w11; c12 = c12 ; w22 = w12 ) ribaltando, per comodità, tutti i vettori dallo stesso lato. L’obiettivo è
di avere α 22 = 90° , quindi, come conseguenza della posizione 3, si otterranno i triangoli sotto
c11 cos α11
riportati, in cui risulta u =
.
4
α11
α 21 = α12
β11 = β 21
β12 = β 22
c11
u
u
u
w =w
1
2
α
1
1
1
2
c22
u
w =w
2
2
c =c
2
1
2
2
2
1
5. Si iniziano ora le iterazioni per avvicinarsi alla situazione reale (con attrito) applicando i
coefficienti di riduzione velocità ricavati dal grafico, valutando: w12 = ψ 1 w11; c12 = ϕ c12 ; w22 = ψ 2 w12 .
Si otterrà la situazione di sotto evidenziata.
α 21 = α12
β11 = β 21
α11
β12 = β 22
c11
u
1
1
w
u
1
2
w
c
2
w12 w2
u
c12
1
2
α
2
2
c22
u
x
6. Ora la c22 ha anche componente tangenziale ( α 22 ≠ 90° ) quindi si deve ridurre u per tentare di
riportarsi nelle condizioni migliori ( α 22 = 90° ). Si riduce il valore di u di x/4 e si ripete il
disegno dei triangoli, correggendo anche i valori di ϕ e ψ che non sono più quelli precedenti, e si
itera finché si otterrà α 22 ≈ 90° (vedi sotto).
α11
c11
u
1
2
w11 w
α 21 = α12
β11 = β 21
u
1
2
c
c12
2
α 22 c2
β12 = β 22
u
w12
w22
u
7. Ora, con righello e goniometro, si valutano tutti i moduli e gli angoli delle velocità.
Dimensionamento di una turbina a vapore a salti di velocità.
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1.00
C o e f f ic ie n t i d i rid u z io n e v e lo c it à p e r p a le t t a m e n t i f is s i ( φ ) e m o b ili ( ψ )
φ
0.95
ψ
0.90
ψ2
ϕ
0.85
ψ
0.80
1
β1
c1
0.75
u
α1
β2 α
2
c2
w1
w2
u
0.70
0.65
0
20
1
2
40 α 2 + α1 60
β11 + β 21
802
β1 + β 22
100
120
140
160
180
( α 1 + α 2 ) o ( β 1 + β 2 ) [ °]
Simbologia
Variabili
c = velocità assoluta
w = velocità relativa
u = velocità di trascinamento
α = verso delle c
β = verso delle w
Apici
1 = grandezza riferita alla prima girante
2 = grandezza riferita alla prima girante
Pedici
1 = ingresso palettamento
2 = uscita palettamento
Dimensionamento di una turbina a vapore a salti di velocità.
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