Lezione 4
La progressivita’
Ernesto Longobardi e Vito Peragine
1
Definizioni
Riprendiamo alcune definizioni gia’ introdotte nella Lezione 1. Considerando
una generica base imponibile x (reddito, consumo, patrimonio,...) e una funzione
di imposta t,
T = t(x)
è il debito d’imposta (o semplicemente l’imposta) corrispondente a x.
Definizione 1. L’aliquota media è data dal rapporto tra l’imposta e la base
imponibile:
t̄ =
T
x
Definizione 2. L’aliquota marginale t0 è data dal rapporto tra la variazione
dell’imposta e la variazione della base imponibile:
0
t =
t (x + ∆x) − t (x)
∆x
dove ∆x e’ la variazione di base imponibile. Nel caso di funzione differenziabile:
0
t =
dt (x)
dx
Definizione 3. Un’imposta è progressiva se l’aliquota media cresce al crescere
del reddito, proporzionale se l’aliquota media è costante al crescere del reddito,
regressiva se l’aliquota media diminuisce al crescere del reddito. Nel caso di
funzione d’imposta differenziabile, avremo:
d (t (x) /x)
dx
d (t (x) /x)
dx
d (t (x) /x)
dx
> 0 ⇔ imposta progressiva
= 0 ⇔ imposta proporzionale
< 0 ⇔ imposta regressiva
Sviluppando la derivata dell’aliquota media rispetto alla base imponibile
otteniamo:
t0 − t̄
d (t (x) /x)
t0 x − t (x)
=
=
2
dx
x
x
Segue che la Definizione 3 equivale alla:
1
2
Longobardi - Peragine
Definizione 4. Un’imposta è progressiva se l’aliquota marginale è superiore
all’aliquota media, proporzionale se l’aliquota marginale è eguale all’aliquota
media, regressiva se l’aliquota marginale è inferiore all’aliquota media:
0
t
0
t
0
t
1.1
> t̄ ⇔ imposta progressiva
= t̄ ⇔ imposta proporzionale
< t̄ ⇔ imposta regressiva
Un esempio di imposte regressive: le imposte in somma fissa.
Un’imposta in somma fissa (lump sum tax ) stabilisce un debito d’imposta uguale
per ogni individuo, indipendentemente dal livello di reddito. Ha quindi la forma
t (x) = S, con S > 0. Tale imposta sara’ regressiva: infatti, dati due reddity x
e y, con x > y, le aliquote medie corrispondenti saranno Sx e Sy . Poiche’ x > y
seguira’ che Sx < Sy . In generale, data una base imponibile x e un’imposta in
somma fissa pari a S, avremo:
t (x)
S
= >0
x
x
dt
(x)
dS
t0 =
=
=0
dx
dx
¡S ¢
d x
S
d (t̄ (x))
=
=− 2 <0
dx
dx
x
Poiche’ l’aliquota media risulta essere decrescente (e maggiore dell’aliquota
marginale), l’imposta e’ regressiva. Si noti anche che, nel caso di imposta in
somma fissa, l’aliquota marginale e’ sempre pari a zero.
t̄ =
2
2.1
Le tecniche della progressivita’
Progressivita’ per detrazione
La detrazione e’ un abbattimento del debito d’imposta. Data una base imponibile x, una funzione d’imposta t, e una detrazione det > 0, il debito d’imposta
e’ dato da:
T = t (x) − det .
Per dimostrare che la presenza di detrazioni assicura la progressivita’ di un’imposta, assumiamo che t () sia una funzione d’imposta proporzionale, tale che
t (x) = tx. In questo caso avremo:
T = tx − det
e quindi
T
det
=t−
x
x
dT
d
(tx)
t0 =
=
=t
dx
dx
Poiche’ l’aliquota marginale risulta essere maggiore dell’aliquota media, l’imposta e’ progressiva.
t̄ =
3
Longobardi - Peragine
2.2
Progressivita’ per deduzione
La deduzione e’ un abbattimento della base imponibile. Data una base imponibile x, una funzione d’imposta t () ed una deduzione ded > 0, il debito d’imposta
e’ dato da:
T = t (x − ded)
Anche in questo caso, per dimostrare che la presenza di detrazioni rende progressiva un’imposta, assumiamo che t () sia una funzione d’imposta proporzionale,
tale che t (x) = tx. In questo caso avremo:
T = tx − tded
e quindi
T
tded
=t−
x
x
dT
d (tx − tded)
0
t =
=
=t
dx
dx
Poiche’ l’aliquota marginale risulta essere maggiore dell’aliquota media, l’imposta e’ progressiva.
t̄ =
2.3
Detrazioni e deduzioni: un confronto
In caso di funzione d’imposta proporzionale con aliquota t, una deduzione sara’
equivalente ad una detrazione, purche’ si ponga:
det = tded
L’equivalenza non vale quando si assuma una funzione d’imposta non proporzionale.
Possiamo calcolare l’effetto di un incremento dell’onere deducibile (o detraibile) sull’imposta dovuta. Nel caso di detrazione avremo:
dT
d (t (x) − det)
=
= −1
d det
d det
Nel caso di deduzione:
d (t (x − ded))
dT
=
= −t0
dded
dx
Dunque, la riduzione di debito d’imposta risulta essere costante nel caso di
detrazione, crescente con l’aliquota marginale nel caso di deduzione.
2.4
Progressivita’ per scaglioni
Data una distribuzione di redditi, si stabiliscono m livelli di reddito (0 = s0 < s1
< ... < sm ),che individuano m classi (scaglioni) a cui corrispondono m aliquote
via via crescenti (0 < t0 < t1 < ... < tm ) . Si consideri un reddito x, con sk ≤
x ≤ sk+1 e k = 1, ..., m − 1. Il debito d’imposta corrispondente e’ dato da
t (x) =
k−1
X
j=1
tj (sj+1 − sj ) + tk (x − sk )
Se sk ≤ x < sk+1 , l’aliquota marginale risulta essere uguale a tk . Se x = sk+1 ,
l’aliquota marginale e’ uguale a tk+1.
4
Longobardi - Peragine
3
Le misure locali della progressività
Le misure locali della progressivita’ sono calcolate con riferimento ad un particolare valore del reddito imponibile. Segue che la stessa funzione d’imposta
puo’ presentare diversi gradi di progressivita’ in corrispondenza di diversi livelli
di reddito.
Una misura locale o puntuale della progressività è data dall’elasticità del
gettito (liability progression).
Definizione 5. L’elasticità del gettito è data dal rapporto tra la variazione
percentuale del gettito e la variazione percentuale della base imponibile:
η Tx =
∆T
T
∆x
x
0
=
t
t̄
Nel caso continuo risulta:
η Tx
=
dt(x)
t(x)
dx
x
=
dt(x)
dx
t(x)
x
0
t
=
t̄
(1)
La definizione 5 equivale pertanto alla:
Definizione 6. L’elasticità del gettito è data dal rapporto tra l’aliquota marginale
e l’aliquota media.
Risulta:
η Tx > 1 ⇔ l’imposta è progressiva
= 1 ⇔ l’imposta è proporzionale
η Tx < 1 ⇔ l’imposta è regressiva
η Tx
Un’altra possibile misura della progressività è data dall’elasticità del reddito
netto (residual progression).
Definizione 7. L’elasticità del reddito netto è data dal rapporto tra la variazione percentuale del reddito netto e la variazione percentuale della base imponibile (reddito lordo):
∆(x−T )
(x−T )
∆x
x
=
(x2 −T2 )−(x1 −T1 )
(x1 −T1 )
x2 −x1
x1
(2)
d(x−t(x))
x−t(x)
dx
x
=
d(x−t(x))
dx
x−t(x)
x
(3)
η x−T
=
x
Nel caso continuo risulta:
=
ηx−T
x
=
1 − t0
1 − t̄
Risulta:
η x−t
< 1 ⇔ l’imposta è progressiva
x
η x−t
= 1 ⇔ l’imposta è proporzionale
x
ηx−t
> 1 ⇔ l’imposta è regressiva
x
5
Longobardi - Peragine
4
La progressivita’: misure e confronti globali
4.1
Definizioni
Le misure globali della progressivita’ mirano a valutare l’impatto di una funzione
d’imposta sull’intera distribuzione dei redditi.
Si consideri una generica distribuzione di redditi x = {x1 , ..., xn } ed una funzione d’imposta t () . Indicheremo con t = {t (x1 ) , ..., t (xn )} e x − t = { x1 −
t (x1 ) , ..., xn − t (xn ) } , rispettivamente, la distribuzione del prelievo e la distribuzione dei redditi netti.
Assumiamo:
• 0 ≤ t (x) ≤ x
• 0 ≤ t0 ≤ 1 (ipotesi di assenza di riordinamento)
Siano:
• X=
• T =
Pn
• µx =
• t̄ =
i=1
xi
i=1
t (xi )
Pn
X
n
T
X
• µ(1 − t̄) =
(reddito complessivo)
(gettito totale dell’imposta)
(media della distribuzione dei redditi lordi)
(aliquota media o incidenza dell’imposta)
X−T
n
(media della distribuzione dei redditi netti)
Definizione 8. Data una distribuzione di redditi x = {x1 , ..., xn } ed una funzione d’imposta t () definiamo la curva di Lorenz dei redditi lordi (Lx )
Pj
xi
Lx (j/n) = i=1
j = 1, ..., n
X
la curva di Lorenz dei redditi netti (Lx−t )
Pj
(xi − t (xi ))
Lx−t (j/n) = i=1
j = 1, ..., n
X −T
e la curva di Lorenz del prelievo (Lt )
Pj
t (xi )
Lt (j/n) = i=1
T
j = 1, ..., n
Lx indica la disuguaglianza nei redditi lordi, Lx−t la disuguaglianza nei
redditi netti, e Lt la disuguaglianza nel prelievo.
Dalla Definizione 8 otteniamo che, per ogni j = 1, ...n,
XLx
=
j
X
xi
i=1
(X − T ) Lx−t
=
T Lt
=
j
X
i=1
j
X
i=1
(xi − t (xi ))
t (xi )
6
Longobardi - Peragine
Poiche’
Pj
i=1
(xi − t (xi )) =
Pj
i=1
xi −
Pj
i=1
t (xi ) , otteniamo
(X − T ) Lx−t = XLx − T Lt
Dividendo tutti i membri per X, ricordando che t̄ =
la seguente relazione:
T
X
, e isolando Lx otteniamo
Lx = (1 − t̄) Lx−t + t̄Lt
(3)
Dunque, data una distribuzione x ed un’imposta t, la curva di Lorenz dei
redditi lordi risulta essere una media ponderata della curva di Lorenz dei redditi
netti e della curva di Lorenz del prelievo. Da questa identita’ discendono alcune
t̄
proprieta’ interessanti. Una prima conseguenza e’ che, essendo 1−
t̄ maggiore
di zero, Lx−t > Lx se e solo se Lx > Lt : la disuguaglianza nei redditi netti
sara’ minore della disuguaglianza nei redditi lordi se e solo se quest’ultima e’
minore della disuguaglianza nel prelievo. In altri termini, l’imposta sara’ in
grado di ridurre le disuguaglianze se e solo se la disuguaglianza del prelievo
e’ maggiore della disuguaglianza dei redditi lordi. Maggiore la dispersione del
prelievo, maggiore la riduzione della disuguaglianza operata dallo stesso.
4.2
Progressivita’ e disuguaglianza
Proposizione 1. (Fellman, 1976, Jakobsson,1976): Data una funzione d’imposta t () , Lx−t ≥ Lx ≥ Lt per qualsiasi distribuzione di redditi x se e solo se
d(t(x)/x)
≥ 0, ∀x ∈ x.
dx
In base al teorema di Fellman e Jakobsson, la progressivita’ dell’imposta e’
condizione necessaria e sufficiente perche’ il prelievo riduca la disuguaglianza,
qualunque sia la distribuzione dei redditi di partenza. Se l’imposta e’ progressiva, allora potremo essere sicuri che, per qualsiasi distribuzione dei redditi, il
prelievo avra’ l’effetto di ridurre il grado di disuguaglianza. Viceversa, per poter
concludere che l’imposta e’ progressiva, e’ necessario che la relazione di dominanza fra le tre distribuzioni (redditi netti, redditi lordi e prelievo) valga per
tutte le possibili distribuzioni di reddito. Si tratta di un risultato fondamentale,
in quanto stabilisce il legame tra il principio dell’equita’ verticale, cui e’ di solito associato l’obiettivo di riduzione delle disuguaglianze tra i contribuenti, e la
struttura progressiva dell’imposta. Si rilevi, tuttavia, che questo risultato poggia su una determinata nozione di disuguaglianza: quella implicita nel concetto
di dominanza di Lorenz.
Sulla base dello stesso teorema, un’imposta proporzionale sara’ tale da mantenere invariata la disuguaglianza nella distribuzione dei redditi.
Le imposte proporzionali
Un’imposta proporzionale ha la forma t (x) = tx, dove t rappresenta sia l’aliquota media sia l’aliquota marginale:
t̄ =
t0
=
t (x)
tx
=
=t
x
x
d (t (x))
d (tx)
=
=t
dx
dx
Data una qualsiasi distribuzione x = {x1 , ..., xn } ed un’imposta proporzionale ad aliquota t, la distribuzione del prelievo corrispondente
7
Longobardi - Peragine
sara’ t = {tx1 , ..., txn } , e la relativa distribuzione dei redditi netti
sara’ x − t = {x1 (1 − t) , ..., xn (1 − t)} . In base alla proprieta’ di
invarianza alla scala, le curve di Lorenz relative alle distribuzioni
x, t ed x − t coincideranno: Lx = Lg = Lx−g .
4.3
Progressivita’ ed effetto redistributivo di un’imposta
Il confronto tra le curve Lx−t , Lx e Lt consente di mettere in rilievo due aspetti
distinti di un’imposizione progressiva.
Il primo aspetto e’ basato sul confronto tra Lx e Lt . Si consideri che, nel
caso di un’imposta proporzionale g applicata ad una distribuzione x, Lx = Lg =
Lx−g . Segue che la differenza (Lx − Lt ) e’ equivalente alla differenza (Lg − Lt ) ,
e dunque e’ intepretabile come distanza dell’imposta progressiva t da un’imposta puramente proporzionale g applicata alla stessa distribuzione di partenza.
Dunque la differenza tra la disuguaglianza dei redditi lordi e la disuguaglianza
nel prelievo (Lx − Lt ) , misura lo scostamento o distanza dell’imposta t dalla
proporzionalita’:
DPx,t = (Lx − Lt ) = (Lg − Lt )
Il secondo aspetto, basato sul confronto tra la disuguaglianza dei redditi netti
e quella dei redditi lordi (Lx−t − Lx ), indica la riduzione della disuguaglianza
operata del prelievo. Questo effetto e’ noto come effetto redistributivo dell’imposta:
ERx,t = (Lx−t − Lx )
La dizione effetto redistributivo merita una chiarimento. In verita’, non si
tratta di redistribuzione in senso stretto, un’imposta operando solo sottrazione
di reddito e non trasferimenti positivi. Tuttavia, si consideri una distribuzione
x, un’imposta progressiva t e un’imposta proporzionale g che assicuri lo stesso
gettito di t. In base al teorema di Jakobsson e Fellman sappiamo che
Lx−t > Lx−g = Lx
Si ricordi anche che, in base al Teorema Fondamentale della Disuguaglianza, per
ogni coppia di distribuzioni x e y aventi la stessa media, x dominera’ y ai sensi
di Lorenz se e solo se x puo’ essere ottenuta da y mediante una sequenza di
trasferimenti alla Robin Hood. Segue che, poiche’ Lx−t > Lx−g , e per ipotesi le
distribuzioni x − t e x − g hanno la stessa media, la distribuzione x − t potra’
essere ottenuta dalla distribuzione x − g mediante una serie di trasferimenti
alla Robin Hood. In definitiva, il passaggio dalla distribuzione originaria x alla
distribuzione dei redditi netti x − t puo’ essere cosi’ scomposta:
1) x → x − g
2) x − g → x − t
In un primo tempo alla distribuzione x e’ applicata un’imposta proporzionale
g che assicuri lo stesso gettito di t, ottenendo in questo modo la distribuzione
x − g. Alla distribuzione x − g e’ quindi applicata una serie di trasferimenti di
pura redistribuzione in modo da ottenerere la distribuzione x − t. L’impatto di
8
Longobardi - Peragine
un’imposta progressiva puo’ dunque essere intepretata come l’effetto congiunto
di un’imposta proporzionale di pari gettito e di una serie di trasferimenti di pura
redistribuzione come i trasferimenti alla Robin Hood.
Possiamo ora chiederci quale relazione esista tra l’effetto redistributivo di
un’imposta e lo scostamento della stessa dalla proporzionalita’. Ricordiamo
che, data una distribuzione x ed un’imposta t, tra le curve Lx , Lx−t ed Lt esiste
la seguente relazione:
Lx = (1 − t̄) Lx−t + t̄Lt
Sottraendo t̄Lx ad entrambi i lati otteniamo
Lx − t̄Lx = (1 − t̄) Lx−t + t̄Lt − t̄Lx
(1 − t̄) Lx = (1 − t̄) Lx−t + t̄ (Lt − Lx )
(1 − t̄) (Lx − Lx−t ) = t̄ (Lt − Lx )
dividendo per (1 − t̄) e cambiando di segno infine otteniamo
Lx−t − Lx =
t̄
(Lx − Lt )
1 − t̄
Questa identita’ mette in rilievo la relazione tra l’effetto redistributivo e lo
scostamento dell’imposta t dalla proporzionalita’:
ERx,t =
t̄
DPx,t
1 − t̄
(4)
Poiche’ il primo termine a destra e’ una funzione che cresce con l’incidenza
complessiva del prelievo (t̄), l’intepretazione della identita’ e’ la seguente.
L’effetto redistributivo di un’imposta dipende positivamente da due fattori:
l’incidenza complessiva del prelievo e lo scostamento dalla proporzionalita’.
E’ evidente che, a parita’ di aliquota media, l’effetto redistributivo cresca
al crescere del grado di progressivita’. La relazione 4 dimostra che la redistribuzione potrebbe anche aumentare lasciando invariata la progressivita’ e aumentando l’incidenza del prelievo. Viceversa, una riduzione proporzionale delle
aliquote esistenti avrebbe l’effetto di lasciare inalterato il grado di progressivita’ dell’imposta; tuttavia, riducendo l’incidenza del prelievo, attenuerebbe la
capacita’ dello stesso di avvicinare le posizioni economiche dei contribuenti.
4.4
Progressivita’ ed effetto redistributivo: ordinamenti
incompleti
E’ possibile utilizzare le nozioni di ER e DP al fine di formulare due criteri
per il confronto globale di diverse strutture impositive sotto il profilo della
progressivita’.
Criterio 1. Data una distribuzione dei redditi x = (x1 , ..., xn ) , e due alternative funzioni d’imposta t1 e t2 , diremo che t1 e’ preferita a t2 in base
all’effetto redistributivo (t1 ºER t2 ) se e solo se
ERx,t1 (j/n) ≥ ERx,t2 (j/n) , ∀j
Si noti che ERx,t1 ≥ ERx,t2 se e solo se Lx−t1 ≥ Lx−t2 .
9
Longobardi - Peragine
Criterio 2. Data una distribuzione dei redditi x = (x1 , ..., xn ) , e due alternative funzioni d’imposta t1 e t2 , diremo che t1 e’ preferita a t2 in base allo
scostamento dalla proporzionalita’ (t1 ºDP t2 ) se e solo se
DPx,t1 (j/n) ≥ DPx,t2 (j/n) , ∀j
Si noti che DPx,t1 ≥ DPx,t2 , se e solo se Lt2 ≥ Lt1 .
Si tratta, com’e’ evidente, di ordinamenti incompleti: in caso di intersezione
delle curve di Lorenz relative ai redditi netti (o al prelievo) ottenuti utilizzando
le due funzioni d’imposta, non saremo in grado di ordinare le stesse in base alla
progressivita’.
Data la relazione che lega l’effetto redistributivo e la distanza di un’imposta
dalla proporzionalita’, e’ agevole individuare una relazione tra gli ordinamenti
ºER e ºDP . Sia una distribuzione x e due funzioni d’imposta t1 e t2 : se t̄1 ≥ t̄2
e t1 ºDP t2 , allora t1 ºER t2 .
Si noti ora la seguente relazione tra le misure locali di progressivita’ e i criteri
di confronto globale appena introdotti. Dato un reddito x ed una funzione
t(x)
d’imposta t () , indichiamo con η x−t
l’elasticita’ del reddito netto e con ηx
x
l’elasticita’ del gettito. Abbiamo il seguente risultato:
Proposizione 2. (Jakobsson, Kakwani) Date due funzioni d’imposta t1 e t2 ,
1) t1
2) t1
º
º
ER
DP
2
1
t2 per qualsiasi distribuzione x ⇔ ηx−t
, ∀x ∈ x
≥ ηx−t
x
x
t1
t2
t2 per qualsiasi distribuzione x ⇔ ηx ≥ ηx , ∀x ∈ x
L’imposta t1 e’ piu’ progressiva dell’imposta t2 in base al criterio ºER se e
solo se, in corrispondenza di ogni livello di reddito, t1 e’ piu’ progressiva di t2 in
base all’elasticita’ del reddito netto. L’imposta t1 e’ piu’ progressiva dell’imposta
t2 in base al criterio ºDP se e solo se, in corrispondenza di ogni livello di reddito,
t1 e’ piu’ progressiva di t2 in base all’elasticita’ del gettito.
4.5
Progressivita’ ed effetto redistributivo: ordinamenti
completi
La valutazione dell’impatto redistributivo e del grado di progressivita’ globale
di un’imposta puo’ anche essere ottenuta utilizzando degli indici sintetici di disuguaglianza e costruendo delle misure basate sul confronto della disuguaglianza
nei redditi lordi, nei redditi netti e nel prelievo.
Introduciamo due misure di progressivita’:
• L’ indice di Reynolds-Smolensky, pari alla differenza tra l’indice di Gini dei redditi lordi e l’indice di Gini dei redditi netti, misura l’effetto
redistributivo globale di un’imposta:
π RS = G (x) − G (x − t)
• L’ indice di Kakwani, pari alla differenza tra l’indice di Gini del prelievo e
l’indice di Gini dei redditi lordi, e’ una misura globale della progressivita’
di un’imposta:
π K = G (t) − G (x)
10
Longobardi - Peragine
Poiche’, data un’imposta proporzionale g ed una distribuzione x, Lx =
Lg , e l’indice di Gini e’ basato sulla curva di Lorenz della distribuzione,
otteniamo che G (x) = G (g). L’indice di Kakwani puo’ quindi essere
riscritto come:
πK = G (t) − G (g)
e intepretato come una misura della scostamento dell’imposta t dalla
proporzionalita’.
Gli indici π RS e πK hanno una chiara interpretazione grafica: l’indice π RS
e’ pari al doppio dell’area compresa tra la curva di Lorenz dei redditi netti
e la curva di Lorenz dei redditi lordi; l’indice π K e’ uguale al doppio dell’area
compresa tra la curva di Lorenz dei redditi lordi e la curva di Lorenz del prelievo.
Infatti, poiche’, per qualsiasi distribuzione
continua x, l’indice di
R1
Gini e’ definito come G (x) = 1 − 2 0 Lx (p) dp, possiamo scrivere
π RS
= G (x) − G (x − t) = 1 − 2
= 2
Z
1
0
Z
1
0
Lx (p) dp − 1 + 2
Z
1
Lx−t (p) dp
0
[Lx−t (p) − Lx (p)] dp
e, analogamente,
πK
= G (t) − G (x) = 1 − 2
= 2
Z
1
0
Z
1
0
Lt (p) dp − 1 + 2
Z
1
Lx (p) dp
0
[Lx (p) − Lt (p)] dp.
Utilizzando gli indici πRS e π K sara’ sempre possibile effettuare dei confronti
tra strutture impositive: siamo cioe’ in presenza di ordinamenti completi.
Si noti che dalla identita’ 4 segue la seguente relazione:
πRS =
t̄
πK
1 − t̄
(5)
La relazione (5) esprime, questa volta attraverso indici sintetici, la scomposizione dell’effetto redistributivo di un’imposta in due componenti: l’incidenza
del prelievo e lo scostamento dalla proporzionalita’.
5
Progressivita’ e benessere sociale
Abbiamo finora giustificato la progressivita’ di un’imposta sulla base degli effetti
redistributivi ad essa associati. Possiamo ora chiederci qual’e’ la desiderabilita’
sociale di tali effetti redistributivi.
Ricordiamo il Teorema Fondamentale della Disuguaglianza: date due distribuzioni x ed y con media uguale, x domina y nel senso di Lorenz se e solo
se x domina y secondo il criterio utilitaristico (si ricordi che la valutazione di
una distribuzione x in base al criterio utilitaristico e’ effettuata attraverso la
Longobardi - Peragine
11
P
seguente funzione del benessere sociale: W (x) = i u (xi ) , con u crescente e
concava).
Si consideri ora una distribuzione di redditi x, un’imposta progressiva t ed
un’imposta proporzionale g. Si assuma inoltre parita’ di gettito, in modo che
le distribuzioni dei redditi netti nel caso delle due imposte abbiano la stessa
media: µ (1 − t̄) = µ (1 − ḡ) .
In base al teorema di Fellman e Jakobsson sappiamo che Lx−t ≥ Lx e che
Lx = Lx−g . Per la proprieta’ transitiva, Lx−t ≥ Lx−g . Inoltre, µ (1 − t̄) =
µ (1 − ḡ) , e dunque possiamo applicare il Teorema Fondamentale della Disuguaglianza ed ottenere la seguente:
Proposizione 3. A parita’ di gettito, un’imposta progressiva e’ preferita ad
un’imposta proporzionale in base al criterio di benessere sociale utilitaristico.
Il precedente teorema fornisce una rigorosa giustificazione normativa della
progressivita’ di un’imposta.