Risposta meccanica di
un elastomero reale
Studente: Giovanni Rillo
Relatore: Dr. Tullio Scopigno
Correlatore: Dr. Carino Ferrante
Perché la gomma?
Esempio di sistema termodinamico (f, L, T)
 Proprietà macroscopiche peculiari

Alta
elasticità

Coefficiente di dilatazione
termica negativo
Modello microscopico basato su
macromolecole (polimeri)
Equilibrio termodinamico
In condizioni di equilibrio termodinamico possiamo studiare il
comportamento elastico dell’elastomero
Misure statiche: forza vs elongazione
Condizioni dinamiche
In condizioni dinamiche l’elastomero non è un sistema conservativo:
possiamo studiare il suo comportamento viscoelastico
Misure dinamiche: forza vs tempo a
elongazione costante
Il modello di Kuhn:
un network di catene



La singola molecola può essere assimilata a una lunga
catena: i legami tra i singoli atomi costituenti la catena
possono ruotare liberamente.
Deboli forze tra le singole catene
Le catene sono tra di loro connesse in pochi punti, detti
crosslinks
La singola catena
La singola catena consta di n giunzioni di lunghezza l: ogni
giunzione ha una direzione completamente random nello spazio.
Tale assunzione porta alla densità di probabilità di un estremo della
catena nello spazio:
p( x, y, z )dxdydz 
b3

3
2
exp{b 2 ( x 2  y 2  z 2 )}dxdydz
b2 
3
2nl 2
Entropia
Definizione di Boltzmann: s=k ln(N)
N configurazioni
s  k ln [ p(x,y,z) dV]  k ln (cost)-kb2 r 2  k ln ( dV)  c-kb2 r 2
Processo di deformazione
•Deformazione affine: il rapporto lL/L0 è uguale per la singola
catena e per il materiale nel suo insieme
•Il volume del materiale rimane costante durante il processo di
deformazione (l1l2l3=1)
X=l1 X0

Y=l2 Y0

Z=l3 Z0

s  s  s0  kb2{( l12  1) x02  (l22  1) y02  (l32  1) z02 }
Entropia e forza
Posto che la direzione di una catena nello spazio sia completamente
casuale, si ha
1
1
2
2
2
2
2
x

y

z

r

N

r
 0  0  0 3 0 3
0 
1
S   s   Nk (l12 l22  l32  3)
2
Configurazioni assumibili da catene
sono isoenergetiche
dw  Tds   d (Ts) T cost
W  TS
Mancanza di interazione
Derivando
f1  G (l1 
1
l
2
1
)
W
fi 
li
G  NKT
Dati sperimentali
Risultati:
G  1.01  0.02 N
L0  7.06  0.10 cm
Confrontabile con il
valore di L0 misurato
sperimentalmente:
7.7  0.1 cm
Fit eseguito a partire dalla funzione
L L20
f  G(
 2)
L0 L
Il modello di Mooney-Rivlin
Assunzioni:
•Isotropia
•Incompressibilità
•Invarianza sotto rotazioni attorno
a un asse
Dipendenza da li2
È quindi possibile cercare opportune funzioni W a partire dai più
semplici polinomi rispondenti a queste caratteristiche:
.
2
1
I1  l  l22  l32 I 2  l12l22  l22 l32  l32 l12
I 3  l12 l22 l32
Il modello di Mooney-Rivlin: la forza
La generica funzione W(li) sarà esprimibile come
W

i
j
C
(
I

3
)
(
I

3
)
 ij 1
2
i 0, j 0
La funzione lineare di I1 e I2 più generale è invece
W  C10 (I1 - 3)  C01 (I 2 - 3) 
C10 (l12  l22  l32  3)  C01 (
1
l
2
1

1
l
2
2

1
l
2
3
- 3)
Nel caso di estensione semplice, derivando rispetto a l1 otteniamo
f  2(l1 
1
l
2
1
)(C10 
C01
l1
)
Dati sperimentali
Risultati:
2C10  0.909  0.009 N
2C01  0.78  0.04 N
L0  8.01  0.04 cm
Fit eseguito a partire dalla funzione
L0
L L20
f  2(
 2 )(C10  C01
)
L0 L
L
Seconda parte: panoramica dei
rilassamenti
•Sollecitazioni
termiche, effettuate
riscaldando la
gomma
•Sollecitazioni
meccaniche,
effettuate contraendo
e rilassando
rapidamente la
gomma
Elastico sollecitato a lunghezza costante
Rilassamenti termici
dU  Q  fdl
Nel modello di Kuhn S=S(l)S(l)
dQ
d (T )
C
  hT
dt
dt
S
l
p ,T  cost
f

T
p ,l  cost
f  T l cost
T  T (0)e
Variazione di forza esercitata dall’elastomero ricondotta alla
variazione di temperatura nel processo

t

Solido standard lineare
Teoria viscoelastica lineare:
Oggetto schematizzabile come
insieme di molle e dissipatori
viscosi variamente connessi
•Molla:
•Dissipatore:
f =-kx
f=-hx’
Insieme di equazioni lineari
kx1  hx2

 x1  x2  x  0
| f | k3 x  k1 x1 (t ) 
 f   ( f (0)  f ())e

t

Dati sperimentali
Rilassamenti termici:
Lo schema basato sul trasporto
conduttivo riproduce bene i
risultati sperimentali
  15 20s
Rilassamenti viscoelastici:
Il modello dei solido standard
lineare non riesce a riprodurre il
rilassamento.

Non definito
Il modello di Maxwell generalizzato
Presupponendo più
tempi caratteristici
di rilassamento una
generalizzazione
naturale è quella
mostrata in figura
f   fi
f i  ki xi1  hi xi 2  hi xi1
i
f   Ci e
i

t
i
Risultati
Fit eseguito con due tempi di
rilassamento a partire dalla
funzione
f  f   C1e

t
1
 C2 e

t
2
In generale ogni rilassamento viscoelastico risulta scisso
significativamente in due esponenziali con  molto diversi tra loro
1  5 10s
 2  100  200s
Conclusioni
Comportamento
elastico
Comportamento
dinamico
Modello di Kuhn
Interpretazione
microscopica
Modello di MooneyRivlin
Modello
fenomenologico
Rilassamenti
viscoelastici
Rilassamenti termici
Solido standard lineare
Modello di Maxwell
generalizzato