Il problema dei paradossi
nella storia della logica formale
Consideriamo la seguente situazione:
Chi rade
il barbiere
?
Questo barbiere rade
solo gli uomini
che non si radono da soli
Usiamo gli insiemi …
L’insieme
che ha
come elementi
solo gli uomini che
SI RADONO
DA SOLI
L’insieme
che ha
come elementi
solo gli uomini che
NON SI RADONO
DA SOLI
Ricordiamo che:
Questo barbiere rade
solo gli uomini
che non si radono da soli
Insieme
SE il barbiere si rade da solo …
… ALLORA il barbiere appartiene ad
e non può radersi;
ma SE invece il barbiere non si rade da solo …
QUINDI …
… ALLORA il barbiere appartiene a
e può radersi;
A
B
… il barbiere si rade da solo se e solo se non si rade
da solo … !!!
Paradosso del barbiere = antinomia
di Russell (Bertrand Russell 1902)
– antinomia = compresenza di due affermazioni
contraddittorie (tesi e antitesi) che sono entrambe
giustificate, ossia prodotte da un ragionamento
corretto
• p ↔ ┐p
(p “se e solo se” non p)
Tavola di verità
del bicondizionale
(o doppia implicazione):
una doppia implicazione è vera solo
quando antecedente e conseguente
hanno il medesimo valore di verità.
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P↔Q
V
F
F
V
Le antinomie non erano una novità:
• il paradosso del mentitore, o di “Epimenide cretese”
(scuola megarica, IV-III secolo a.C.)
– se affermo “io mento”, il mio enunciato è vero se e solo se è falso
• il dilemma del coccodrillo (scuola stoica, IV-II secolo a.C.)
– un coccodrillo rapisce un bambino e la madre lo supplica di non
divorarlo; il coccodrillo dice alla donna che gli restituirà il figlio solo se
lei riuscirà a indovinare la sua reale intenzione di restituirlo o meno; la
donna dice “tu non vuoi restituirmelo”, e il coccodrillo non sa più cosa
fare perché – a questo punto - non può né tenere il bambino, né
restituirlo senza entrare in contraddizione con se stesso …
• le antinomie della cosmologia razionale (Kant, Critica
della ragion pura, 1781)
– i discorsi sul mondo sviluppati dalla riflessione metafisica
danno luogo a coppie di affermazioni reciprocamente
contraddittorie sulla verità delle quali non vi è modo di
decidere:
» il mondo ha un limite nel tempo e nello spazio / il mondo è
infinito nel tempo e nello spazio
» tutto nel mondo è fatto di elementi semplici / nulla è
semplice, tutto è composto
» ecc..
NB: differenza tra “paradosso” e
“antinomia”
• le antinomie sono una sottoclasse dei paradossi, i quali sono
affermazioni che vanno contro (“parà”) il senso comune
(“doxa”);
• ci sono quindi paradossi che non sono antinomie:
– i cosiddetti paradossi del “sorite” (da “soros”, che vuol dire
“mucchio”), anche detti paradossi dell’induzione
» paradosso dei granelli di sabbia: un granello di sabbia non è un
mucchio di sabbia; due granelli nemmeno; neanche tre … quanti
granelli ci vogliono per dire che abbiamo un mucchio di sabbia? La
differenza tra mucchio e non mucchio sta in un solo granello in più
(o in meno)?!?
» il Calvo: un uomo che ha perso un capello non è calvo; quando ha
perso due capelli, ancora non è calvo; nemmeno quando ne ha
persi tre … la differenza tra calvo e non calvo sta in un solo capello
in meno (o in più)?!?
– i sofismi, ossia ragionamenti falsi nella forma, ma di primo
acchitto convincenti:
» il Cornuto: tu possiedi tutto quello che non hai perduto; ma non hai
perduto le corna; dunque sei cornuto.
•
… ma l’antinomia di Russell fu una “bomba”
perché emerse all’interno del logicismo:
–
tentativo di provare che
a. tutta la matematica pura utilizza concetti definibili in termini
di un numero piccolissimo di concetti logici fondamentali;
b. tutte le proposizioni matematiche fondamentali sono
deducibili da un numero piccolissimo di concetti logici di
base.
–
–
–
–
Peano, assiomatizzazione dell’aritmetica dei numeri
naturali (1899)
Hilbert, assiomatizzazione della geometria (1899)
Frege, formalizzazione della logica (Ideografia, 1879) e
riduzione dell’aritmetica alla logica (1893-1903)
Russell e Whitehead, riduzione della matematica alla
logica e tentativo di soluzione delle antinomie (Principia
Mathematica, 1910-1913)
… ma perché il logicismo?
• XIX secolo: scoperta delle geometrie non euclidee
– Riemann e Lobačevskij (varianti del V postulato di Euclide)
– postulati non veri rispetto allo spazio dell’esperienza ordinaria
– come si può dimostrare la loro coerenza, ossia escludere che
sia possibile dedurre da essi dei teoremi che si contraddicono tra
di loro?
• un insieme di assiomi è coerente se tutte le conclusioni da esso
deducibili sono vere
• poiché lo spazio descritto dai postulati euclidei coincide con
l’esperienza ordinaria, nessuno si era mai chiesto prima se quei
postulati fossero coerenti
– come, in generale, si può dimostrare la mutua coerenza di
qualunque insieme di assiomi, dato che non è possibile dedurre
tutti i teoremi (sono infiniti) per verificarne la verità?
• universalità e necessità vs probabilità -> il sogno di Leibniz…
• Costruzione di “modelli” (interpretazioni del mondo descritto
dagli assiomi)
– con un numero finito di elementi -> consentono di verificare la coerenza
degli assiomi (veri rispetto al modello);
– con un numero infinito di elementi (la maggior parte dei sistemi di
assiomi a fondamento dei vari rami della matematica, ad esempio
l’aritmetica elementare) -> consentono di osservare solo un numero
limitato di elementi
• Logicismo: se traduciamo tutti i concetti e le regole fondamentali
che compaiono negli assiomi matematici in concetti e regole
logiche, sarà possibile controllarne facilmente la coerenza.
• L’antinomia di Russell emerse tentando di formulare in termini
logici elementari la teoria delle classi infinite (insiemi) di Cantor (il
concetto di “classe” appariva intuitivamente “chiaro” e “distinto”);
l’antinomia ha la seguente forma:
– vi sono classi che non contengono se stesse come elementi (esempio:
la classe dei matematici);
– vi sono classi che contengono se stesse come elementi (esempio: la
classe dei concetti astratti);
– la classe di tutte le classi che non contengono se stesse è o non è
elemento di se stessa? (Il paradosso del barbiere …)
• L’antinomia di Russell era emersa nel
cuore della logica, ossia proprio all’interno
dello strumento che doveva risolvere il
problema della coerenza degli assiomi.
La soluzione proposta da Russell:
–
–
le antinomie nascono dall’autoriferimento (cfr. litografie di
Escher)
bisogna bandire gli “strani anelli” dalla logica, dalla teoria delle
classi e dalla matematica
•
Consideriamo una versione “linguistica” del paradosso del barbiere
(paradosso di Grelling):
–
chiamiamo autodescrittivo ogni aggettivo che descrive se stesso
(“breve”, “esasillabico”, …)
–
chiamiamo eterodescrittivo ogni aggettivo che non descrive se
stesso (“viola”, “commestibile”, … la maggior parte degli
aggettivi)
–
l’aggettivo “eterodescrittivo” è eterodescrittivo?
– per evitare l’autoriferimento bisogna distinguere il
livello dell’uso di un termine da quello della sua
“menzione”:
1.Chicago è ventosa
 Il termine è usato: livello del linguaggio-oggetto
2.“Chicago” è trisillaba
 Il termine è menzionato, cioè nominato: livello metalinguistico
• il metalinguaggio è un linguaggio “di secondo livello” che descrive
un altro linguaggio preso come oggetto della descrizione
• quando i due linguaggi coincidono (uso l’italiano per descrivere
l’italiano), si distingue l’uso dalla menzione (segnalata dalle
virgolette)
• non ha senso chiedersi se “Chicago” è ventosa …
• … come non ha senso chiedersi se “viola” è viola …
• … e se “eterodescrittivo” è eterodescrittivo?
La teoria dei “tipi d’insiemi”
• Secondo Russell e Whitehead, bisogna innanzitutto distinguere un
livello base in cui si trovano solo “oggetti”, non insiemi;
• segue quindi un primo livello superiore in cui si trovano insiemi “del
tipo 1”: quelli che possono avere come elementi solo “oggetti” del
livello più basso, non insiemi;
• ad un ulteriore metalivello, possono essere formati insiemi “del tipo
2”, ossia insiemi che possono contenere come elementi o insiemi
“del tipo 1” o “oggetti” del livello base;
• ecc …. purché ogni insieme di qualsivoglia tipo successivo
contenga come elementi SOLTANTO insiemi di un tipo inferiore al
proprio oppure oggetti del livello base, e MAI se stesso o insiemi di
tipo superiore al proprio.
– La formazione di antinomie (“strani anelli”, o “gerarchie
aggrovigliate”) viene bloccata con un procedimento
normativo – una regola di produzione di “insiemi ben
formati”.
• “eterodescrittivo” menziona se stesso (ad un
meta-livello) come parola di un linguaggio
oggetto, ma questo linguaggio-oggetto appare
essere a sua volta un metalinguaggio: lo
“strano anello” si crea perché non è chiaro a
quale livello esso appartenga;
• considerato come “oggetto” del livello base –
cioè al di fuori dell’insieme definito
dall’impiego metalinguistico del termine
eterodescrittivo -, “eterodescrittivo” può
essere – senza contraddizione autodescrittivo, così come il barbiere è un
uomo che può radersi da solo.
Esempio di Tipo 3: l’insieme
“Collaborazione euro-mediterranea”,
i cui elementi sono l’insieme di tipo 2 “Unione
Europea” e 16 insiemi “nazione” di tipo 1 che
corrispondono a paesi extra-europei che
affacciano sul Mediterraneo.
Esempio di Tipo 2: l’insieme “Unione
europea”, i cui elementi sono gli insiemi “nazione”
che si possono formare, come sotto, secondo le varie
cittadinanze europee. L’insieme “Unione europea” ha
27 elementi di tipo 1 (tante sono le nazioni europee).
Esempio di Tipo 1: l’insieme
“nazione Italia”, i cui elementi sono
le persone che hanno la cittadinanza
italiana; questo insieme ha 60 milioni
di elementi di tipo 0 (tanti sono i cittadini
italiani).
Esempio di livello base – Tipo 0:
le persone; ogni persona nel mondo
è un oggetto di tipo 0; i puntini stanno per
“e così via …”.
Un problema aperto
• Trovate convincente la soluzione proposta da Russell e Whitehead?
– paragonate questa nozione formale di insieme con quella intuitiva …
• Pensate che abbia risolto i problemi del logicismo?
• Il “sogno di Leibniz” è realizzabile?
– e se sì, in che misura?
… la storia, in realtà, continua (in una qualche prossima puntata!)
Testi di riferimento
• Douglas R. Hofstadter, Gödel, Escher e Bach: un’eterna ghirlanda
brillante, 1979 (ed. it. Adelphi 1984)
• E. Nagel e J.R. Newman, La prova di Gödel, 1958 (ed. it. Boringhieri
1974)