UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI GENOVA
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Esercitazioni di Fisica Tecnica Ambientale 1
CORSO DI LAUREA INGEGNERIA CIVILE –EDILE E AMBIENTE E TERRITORIO
(Dott. Ing. Paolo Cavalletti)
MODULO DIDATTICO N° 5
Anno accademico 2003/2004
TERMOFLUIDODINAMICA: CAMINO
1
RICHIAMI TEORICI
Equazione di Bernoulli
dha+dh’e+dw2/2g +dz+dp/γ =0
dh’e= ( carico motore )
dha= Tdss /g (carico d’attrito)
ha= h’a+ h”a
h’a = λ‘ w2/2g
h’a = perdite concentrate
h”a = λ w /2g *L/D
h”a = perdite distribuite
λ=f(Re, ε/D)
λ’= tabulato
2
Re= wD/ν ν= visc. cinematica [m2/s]
se il moto è laminare λ = 64/ Re
altrimenti vale la formula di Colebrook ( implicita !!!!) nell’incognita λ
1
λ
= −2 Log
10
(
2 .5
R e
λ
+
ε
3 .7 D
)
Soluzioni per l’incognita λ possono essere trovate per via grafica utilizzando il diagramma di MOODY.
FORMULA DI HAALAND formula esplicita che fornisce una sufficiente approssimazione della soluzione:
1
λ
= − 1 .8 L o g
1 0
(
6 .9
ε
+ (
)
3 .7 D
R e
2
1 .1 1
)
CAMINO A TIRAGGIO NATURALE
Dimensionare un camino in calcestruzzo (ε= 1200 µm) a sezione circolare determinandone il diametro e l’altezza in
grado di smaltire per tiraggio naturale una portata d’aria G=35.15 m3/s alla temperatura di 260 °C con una velocità dei
fumi in uscita di almeno 10 m/s ed una viscosità cinematica dei fumi ν=0.43 10 -4 m2/s
SOLUZIONE:
Per il dimensionamento del camino si deve procedere alla determinazione dei valori di D ( diametro ) ed H ( altezza).
Allo scopo si utilizzeranno l’equazione di Bernoulli tra le sezioni 1 e 2 e l’equazione di conservazione della portata.
Quali ulteriori ipotesi si considererà il camino isotermo, a sezione costante e si trascureranno le perdite concentrate:
ha+h’e+w22/2g +H+ (p2-p1)/ γ =0
G=A * w
Osservazione: l’integrale di dp/γ assume formulazione (p2-p1)/γ in quanto essendo la T costante anche γ=ρ g si può
assumere tale.
Dall’equazione della portata determiniamo il diametro della sezione
D= √ (4G/πw)
con w = 10 m/s
he=0
D= 2.11 m
tiraggio naturale
p1=p2+ρaria gH
(p2-p1) = - ρaria gH
ρaria20°C= p/R1T = 1.19 kg/m3
ρfumi260°C= p/R1T = 0.65 kg/m3
ha= H/D w2/2g λ(Re, ε/D)
( trascuriamo le perdite concentrate)
H/D w2/2g λ(Re, ε/D) - ρaria /ρfumi H + w2/2g +H=0
3
H = w2/2g /(ρaria /ρfumi -1- w2/2 λ(Re, ε/D) /D)
ove l’unico dato ancora incognito risulta essere λ che verrà determinata ad esempio per mezzo del diagramma di
Moody
ν=0.43 10 -4 m2/s
Re= wD/ν = 10*2.11/ 0.43 10 -4 = 490.000
ε = 1200 10 -6 m da cui λ = 0.018
H= 100/2/9.81 / (1.19/0.65-1-100/2/9.81*0.018/2.11) = 6.47 m
OSSERVAZIONE: II termine motore di tutto il sistema è il rapporto ρaria /ρfumi ( che è l’unico positivo) cui vanno in
detrazione i contributi necessari relativi alla differenza di quota ed agli attriti ed alla accelerazione del fluido.
CAMINO A TIRAGGIO FORZATO
Una sorgente di calore concentrata alla base di una scatola contenente componenti elettronici dissipa una potenza di
150 W. La scatola presenta una sezione in pianta 50 x200 mm. L’aria refrigerante entra da una fenditura posta alla base
della scatola e ne fuoriesce da un’altra posta superiormente. I baricentri delle due fenditure distano 600 mm . La
temperatura dell’aria esterna vale 20 °C e la pressione è di 1 bar; ν= 1.6 10-5 (m2/s). Assumendo per le perdite di carico
concentrate un fattore Σλ‘= 1 e per la rugosità assoluta il valore ε= 0.1 mm determinare la temperatura all’uscita e la
portata d’aria che fluisce per convezione naturale all’interno della scatola . Determinare infine la portata e la potenza
della ventola (ηvent = 0.8 ηel=0.9) da inserire nel sistema affinché la temperatura massima non superi i 22 °C.
SOLUZIONE
1) caso convezione naturale:
scegliendo le sezioni 1 e 2 coincidenti con le fessure di entrata e di uscita dell’aria; considerando che la scatola sia
adiabatica con l’esterno e riceva solamente calore dall’interno si ha:
ha+h’e+∆w2/2g +H+ (p2-p1)/γ =0
ovvero
ha+h’e+∆w2/2g +H+ vint (p2-p1)/ ρ =0
con h’e=0
∆w2 = w2/2 -0
ha= (H/D λ(Re, ε/D) + Σλ‘)* w2/2g
vint= R1Tint/p1 = 287 T/100.000 = 0.00287 Tint
vest = R1Te/p1=0.838 m3/kg
(p2-p1) = -ρest g H
da cui l’eq. di Bernoulli si tramuta in :
(H/D λ(Re, ε/D) + Σλ‘+1)* w2/2 +(p2-p1)vint +H =0
d’altra parte per definizione, essendo la sezione non circolare,
Didraulico= 4A/P = 4*0.2*0.05/ (2*(0.2+0.05)) = 0.08 m
ed ancora l’equazione di continuità della portata ci fornisce:
4
m’= ρintwA = 348.4 wA/Tint
e l’equazione di bilancio per i sistemi aperti ci fornisce:
Q’-P= m’ (h2-h1)+ m’gh
approssimando per l’aria supposta quale gas perfetto che l’entalpia possa essere valutata per mezzo della:
dh =cpdT con cp=1.005 kJ/kgK con cp costante nell’intervallo desiderato
osservando poi che vint*ρest= Tint/ Test
riassumendo si avrà:
H(Tint/ Test -1 ) = (H/D λ(Re, ε/D) + Σλ‘+1)* w2/2g
eq. di Bernoulli
m’= ρintwA = 348.4 wA/Tint
cont. della portata
Q’= m’cp( Tint- Test )+m’gH
eq. di bilancio sist. aperti
nelle tre incognite Tint , m’, w
consideriamo, nell’ultima equazione, l’incidenza dei due termini :
se ∆T =1 ° C il primo termine vale 1005 J/kg
ed il secondo gH = 9.81*0.6 = 5.886 J/kg ossia risulta certamente trascurabile rispetto al primo.
uguagliando la seconda e terza equazione si ha poi:
348.4 wA / Tint = Q’ /cp ∆T con ∆T = Tint- Test
sostituendo, riordinando e ricavando w si ha
w= 0.04284 Tint /(Tint- Test ) (*)
che unita all’eq.di Bernoulli
(Tint/ Test -1 ) = (7.5 λ(Re, ε/D) + 2)* w2/11.77
eq. di Bernoulli (**)
tale sistema implicito ( w incognito condiziona Re e quindi λ) può essere risolto per via numerica ad esempio con il
metodo di bisezione, secondo la seguente tabella ed utilizzando la formula di HAALAND per la determinazione di λ
ν= 1.6 10-5 (m2/s)
Tint
(Tint -Test)
w (*)
Re
λ
f(w) (**)
312
19
0.7
3517
0.043
0.03
320
27
0.5
2538
0.048
-0.04
2.5%
316
23
0.589
2943
0.0455
-0.0094
1.27%
314
21
0.64
3202
0.044
0.0094
0.6 %
315
22
0.613
3067
0.045
-0.0048
0.31
per cui si determina una temperatura finale di 315 K pari a 42 °C
ed una portata m’= 348.4/315*0.613*0.2*0.05 = 6.78 g/s
5
err. rel su T (%)
2) caso convezione forzata con ventilatore posto in aspirazione :
Valutiamo subito il valore di ∆T = 22-20 =2 subito dall’aria refrigerante.
E’ allora immediatamente nota la portata: Q’= m’cp( Tint- Test )
da cui m ‘ = 150 /1005/2 = 0.074 kg/s e quindi la velocità :
w= m’ vint /A = 0.074 * 287*295/100.000 /0.2/0.05= 6.26 m/s
da cui Re = 31326 e λ=0.026
Applichiamo ora l’eq. di Bernoulli tra la sezione immediatamente a monte ed immediatamente a valle del ventilatore;
ricordando che la portata è costante che sono trascurabili gli attriti ed i salti di quota nel ventilatore si ha:
gh’e=-vint∆pvent
Applicando nuovamente l’eq. di Bernoulli tra la sezione di ingresso aria e quella di uscita ( coincidente con quella di
entrata del ventilatore) si ha :
vint∆pcircuito = - ((H/D λ(Re, ε/D) + Σλ‘+1)* w2/2 + gH )
∆pcircuito = -1.18 ( (0.6/0.08*0.026+2)*6.262/2 +9.81*0.6) = - 57.6 Pa
∆pcircuito = - ∆pvent
l’e= -vint∆pvent= - 57.6 /1.18 = - 48.8 J/kg [m2/s2]
P= l’em’/ηelηvent= circa = - 5 W (da fornire al ventilatore)
6