Due esempi di simmetria
Giugno 2002
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Le simmetrie del triangolo equilatero
1.1 Il triangolo equilatero è una figura dotata di simmetria. Cosa significa
questa affermazione? In cosa consiste la sua simmetria?
1.2 Consideriamo un triangolo equilatero in un piano. Nella figura 1 sono
disegnati gli assi di simmetria del triangolo, che sono le rette r, s, t, ed il
centro di simmetria, che è il punto B. La proprietà del triangolo equilatero
di avere 3 assi di simmetria ed 1 centro di simmetria non è comune a tutte
le figure del piano.
Quanti assi di simmetria e quanti centri di simmetria possiedono
un triangolo isoscele, un triangolo scaleno, un quadrato, un
rettangolo, un cerchio, una retta del piano?
1.3 Cosa significa che la retta r è un asse di simmetria del triangolo equilatero della figura 1? Possiamo rispondere dicendo che per ogni punto P del
triangolo, se indichiamo con P 0 il punto del piano simmetrico a P rispetto
alla retta r (1 ), allora P 0 appartiene al triangolo.
In modo equivalente, possiamo interpretare la legge che ad ogni punto P del
piano associa il suo simmetrico P 0 rispetto a r come un movimento rigido
del piano in sè, ossia un movimento che conserva le distanze. Chiamiamo
questo movimento rigido la riflessione rispetto alla retta r, ed r il suo asse.
La riflessione rispetto ad una retta determina il suo asse, e viceversa.
Concludiamo allora che gli assi di simmetria – del triangolo equilatero, ed in
generale di ogni figura del piano – sono gli assi delle riflessioni che mandano
in sè la figura data.
ciò significa chese P appartiene a r allora P 0 = P , mentre se P non appartiene a r
allora il segmento P P 0 è ortogonale a r ed interseca r nel suo punto medio.
1
1
r
t
s
B
Figura 1: Assi e centro di simmetria di un triangolo equilatero
1.4 In modo analogo ci possiamo chiedere cosa significhi che il punto B è un
centro di simmetria del triangolo equilatero. Una risposta può essere che la
rotazione del piano di centro B dell’angolo di 2π/3 radianti (120◦ ) in senso
(per esempio) orario manda in sè il triangolo. Anche una rotazione di un
piano rispetto ad un suo punto è un movimento rigido, poichè conserva le
distanze tra i punti.
Possiamo in conclusione definire simmetrie del triangolo equilatero tutti i
movimenti rigidi — riflessioni e rotazioni — che lo mandano in sè (2 ).
1.5 Realizziamo ora concretamente le simmetrie del triangolo equilatero.
Ritagliamo i due triangoli della parte superiore della figura 2, incolliamoli
lungo la faccia bianca in modo da formare un’unico triangolo equilatero di
carta, i cui 3 vertici di entrambe le faccie sono colorati di nero, verde giallo.
Appoggiamo il triangolo di carta sul triangolo disegnato nella parte inferiore
della figura 2. Possiamo farlo in più modi. Se applichiamo una simmetria al
triangolo appoggiato, otteniamo un nuovo modo di appoggiare il triangolo.
Le simmetrie del triangolo equilatero trasformano il modo di appoggiare il
triangolo di carta sul triangolo disegnato.
1.6 Quante sono le simmetrie del triangolo equilatero? Tante quanti i modi
possibili di appoggiare il triangolo di carta sul triangolo disegnato. Questi
modi sono determinati dalla posizione dei tre vertici.
Nella parte superiore della figura 3 ritagliamo i tre dischi nero, verde e giallo.
2
Si può dimostrare che ogni movimento rigido che manda in sè un triangolo equilatero
è una rorazione oppure una riflessione.
2
Ogni posizione del triangolo di carta appoggiato corrisponde ad un modo
di sovrapporre i 3 dischi colorati ai 3 dischi disegnati. In tutto vi sono 6
modi, quindi 6 simmetrie. Diciamo che il triangolo equilatero possiede una
simmetria di ordine 6.
1.7 Una delle 6 simmetrie del triangolo equilatero lascia inalterato il modo
di appoggiarlo. Essa corrisponde al movimento rigido che lascia fermi tutti
i punti. Chiamiamo questa simmetria identità.
1.8 Due simmetrie date ne generano una terza. Infatti se applichiamo al
triangolo appoggiato nell’ordine la prima e poi la seconda, otteniamo una
terza simmetria, che chiamiamo la composizione delle prime due.
Questo fatto fa sı̀ che l’insieme delle simmetrie abbia un suo ordine interno,
che chiamiamo struttura.
1.9 È un fatto caratteristico della struttura delle simmetrie del triangolo
equilatero che due di esse, opportunamente scelte, possano generare per
mezzo di ripetute composizioni tutte le altre.
Consideriamo, per esempio, le due seguenti:
(1) la riflessione rispetto alla retta r;
(2) la rotazione di 120◦ in verso orario.
Nella figura 3 esse sono rispettivamente rappresentate da freccie blu e rosse.
Disponiamo i 3 dischi colorati sui tre dischi disegnati della parte superiore
della figura 3. Muovendoli con le due simmetrie scelte, possiamo in modo
concreto vedere come tutte le altre simmetrie vengano generate, secondo lo
schema illustrato nella parte inferiore.
Completare la parte inferiore della figura 3 colorando di nero,
verde, giallo i 5 gruppi di 3 dischi, seguendo le freccie rosse e blu.
1.10 Chiamiamo la parte inferiore della figura 3 il grafo della simmetria del
triangolo equilatero — relativo alla scelta delle simmetrie (1) e (2).
Esso dà una rappresentazione visibile della struttura delle sue simmetrie. Per
esempio, permette di vedere che se al triangolo equilatero di carta appoggiato
(oppure ai tre dischi colorati) applichiamo nell’ordine
(1) la riflessione rispetto alla retta r
(2) la rotazione di 120◦ in verso orario
(1) la riflessione rispetto alla retta r
(2) la rotazione di 120◦ in verso orario
ritorniamo alla posizione che aveva prima dei quattro movimenti.
Vi sono altre sequenze delle due simmetrie (1) e (2) che facciano
ritornare il triangolo appoggiato alla posizione iniziale?
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1.11 Utilizzare il grafo per rispondere a queste domande:
Determinare una sequenza delle due simmetrie (1) e (2) che dia
la riflessione rispetto all’asse s. Ve ne è una sola o più d’una?
Determinare una sequenza delle due simmetrie (1) e (2) che dia
la riflessione rispetto all’asse t. Ve ne è una sola o più d’una?
Determinare una sequenza delle due simmetrie (1) e (2) che dia
la la rotazione di 120◦ in verso antiorario. Ve ne è una sola o più
d’una?
1.12 Il grafo della simmetria dipende dalla scelta delle simmetrie con cui è
possibile generare per composizione tutte le altre. Consideriamo la seguente:
(3) la riflessione rispetto alla retta t.
Allora è possibile ottenere tutte le 6 simmetrie del triangolo equilatero anche
componento opportunamente le simmetrie (1) e (3).
1.12 Per concludere, possiamo definire la simmetria del triangolo equilatero
come l’insieme delle sue simmetrie, definite in 1.4 a loro volta a partire dagli
assi e dal centro di simmetria. Abbiamo cosı̀ dato una risposta alla domanda
fatta in 1.1, e visto che la simmetria possiede una struttura.
1.13 Il disegno in figura 2 ha una simmetria di ordine 6 la cui struttura e
diversa da quella della simmetria del triangolo equilatero. Infatti, è possibile
Quante simmetrie possiede il disegno in figura 2 ? e stabilire
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Figura 2: Determinare il grafo della simmetria del disegno
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Le simmetrie del tetraedro regolare
2.1 Analizziamo ora un caso di simmetria tridimensionale. Il tetraedro è il
solido regolare delimitato da 4 triangoli equilateri aventi il lato della stessa
lunghezza. Esso è uno dei 5 solidi regolari citati da Platone nel Timeo.
Possiamo pensarlo come una generalizzazione tridimensionale del triangolo
equilatero. Vogliamo studiare le sue simmetrie.
2.2 Analogamente a quanto visto in 1.4, le simmetrie del tetraedro sono
i movimenti rigidi dello spazio che lo mandano in sè. Questi movimenti
rigidi sono rotazioni attorno a rette, dette assi di simmetria, passanti per il
baricentro B del tetraedro (3 ).
2.3 Ritagliare ed incollare lo sviluppo della figura 4, ottenendo un tetraedro
colorato. Utilizzarlo per rispondere alle seguenti domande.
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Infatti, ciascuno di questi movimenti rigidi dovrà mandare B, che è equidistante dai
4 vertici, in un punto che verifica la stessa proprietà, quindi necessariamente in B stesso.
Immaginiamo una palla che abbia B come centro. Ogni movimento rigido dovrà mandarla
in sè. Possiamo allora convincerci che ogni movimento rigido deve essere una rotazione
attorno ad una retta passante per B. Escludiamo le riflessioni perchè vogliamo movimenti
che si possano realizzare su oggetti “fisici” dello spazio senza distruggerli.
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r
B
Figura 3: Ritagliare ed incollare il triangolo superiore ed appoggiarlo in vari
modi su quello inferiore.
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Figura 4: Il grafo della simmetria del triangolo equilatero. Ritagliare i 3
dischi colorati ed appoggiarli sui 3 dischi disegnati nella parte superiore.
Muovendoli, colorare, le 5 terne di dischi della parte inferiore.
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Figura 5: Il grafo della simmetria del triangolo equilatero. Ritagliare i 3
dischi colorati ed appoggiarli sui 3 dischi disegnati nella parte superiore.
Muovendoli, colorare, le 5 terne di dischi e disegnare le freccie rosse e blu
mancanti.
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Quanti assi di simmetria possiede un tetraedro? Classificarli da
un punto di vista geometrico in due tipi.
Quali sono gli angoli delle rotazioni attorno agli assi che mandano
in sè il tetraedro?
Quante sono le simmetrie del tetraedro, inclusa l’identità?
2.4 Indichiamo con
• r l’asse di simmetria che passa per B e per il vertice comune alle faccie
rossa, verde, gialla;
• t l’asse di simmetria che unisce i punti medi dello spigolo rosso-blu e
dello spigolo verde-giallo.
Consideriamo le seguenti simmetrie
(1) la rotazioni di 120◦ attorno a r (4 );
(2) la rotazioni di 180◦ attorno a t.
Nella figura 5 le rotazioni (1) sono indicate da freccie rosse, mentre le
rotazioni (2) sono date da freccie blu.
Utilizzare il tetraedro colorato, appoggiato sul triangolo della parte superiore della figura 5, per completare il grafo delle
simmetrie del tetraedro della parte inferiore:
colorare gli 11 tetraedri;
disegnare le 3 coppie di freccie blu mancanti.
2.5 Per il tetraedro si possono formulare domande analoghe a quelle di 1.10
e 1.11, che studiano la struttura della sua simmetria.
Determinare alcune sequenze delle due simmetrie (1) e (2) che
facciano ritornare il tetraedro appoggiato alla posizione iniziale.
Indichiamo con
• r0 l’asse di simmetria che passa per B e per il vertice comune alle faccie
blu, verde, gialla, orientato da B verso il vertice;
• t0 l’asse di simmetria che unisce i punti medi dello spigolo rosso-verde
e dello spigolo blu-giallo.
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Se orientiamo r da B verso il vertice comune alle faccie rossa, verde, gialla, la rotazione
si intende che avvenga nel verso opposto a quello dato dall’avanzamento di una vite.
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Determinare una sequenza delle due simmetrie (1) e (2) che dia
la rotazione rispetto all’asse r0 di 120◦ .
Ve ne è una sola o più d’una?
Determinare una sequenza delle due simmetrie (1) e (2) che dia
la rotazione di 180◦ rispetto all’asse t0 .
Ve ne è una sola o più d’una?
Riferimenti bibliografici
[1] M. Dedò, Forme, simmetria e topologia, Zanichelli-Decibel,
Padova, 1999.
[2] H. Weyl, La simmetria, Feltrinelli, Milano, 1969
[3] G. E. Martin, Transformation geometry, UTM, Springer, New
York, 1982.
[4] I. Grossman, W. Magnus I gruppi ed i loro grafi, Zanichelli,
Bologna, 1969.
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TETRAEDRO
Figura 6: Lo sviluppo del tetraedro. Ritagliare ed incollare
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Movimenti:
Appoggiare
qui
il tetraedro
Figura 7: Il grafo delle simmetrie del tetraedro. Colorare, aiutandosi con il
modello della parte superiore. Disegnare le freccie blu mancanti.
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