Geometria descrittiva dinamica Introduzione Presentazione Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Con questo learning object, naturale completamento del precedente distinto con il n° 2.2.1., si costruisce un abaco tipologico di riferimento relativo alla retta ed alle sue possibili collocazioni nello spazio del diedro. La retta, generata da un punto dinamico, viene definita geometricamente con riferimento agli elementi costitutivi del luogo (il diedro) caratterizzandone gli elementi descrittivi, tracce e proiezioni, e la relativa trasposizione grafica. La presentazione termina con l’esempio di tre test di verifica: un test grafico, un test teorico ed un test di logica. Dopo i test di verifica sono presentati alcuni temi da svolgere come esercitazioni da sviluppare sotto forma di elaborati grafici. La presentazione si chiude con la creazione di una griglia di valutazione, per gli elaborati grafici, che prende in esame i tre momenti del processo rappresentativo: conoscenza, capacità e competenza. Geometria descrittiva dinamica Al sommario Ritorno a Introduzione Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge LA RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICODESCRITTIVA E RELATIVA TIPOLOGIA DEGLI ELEMENTI PRIMITIVI (La retta: tipologia) Il disegno di copertina è stato eseguito nell’a.s. 2007/08 da Cipressi Sara Jane della classe 2°C del Liceo Artistico Statale “G.Misticoni” di Pescara per la materia : “Discipline geometriche” La revisione delle formalizzazioni è stata curata dal dott. Gabriella Mostacci IL materiale può essere riprodotto citando la fonte Autore Prof. Elio Fragassi Copertina Sommario Sfogliare Titolo dell’argomento Vai a Tipologia della retta: studio e definizione nel primo diedro Vai a Retta generica Vai a Retta proiettante in 1a proiezione Vai a Retta proiettante in 2a proiezione Vai a Retta frontale Vai a Retta orizzontale Vai a Retta parallela ai piani di proiezione e alla lt Vai a Retta di profilo Vai a Retta incidente la lt Vai a Retta generica nei restanti diedri Vai a Retta proiettante in 1a proiezione, nei restanti diedri Vai a Retta proiettante in 2a proiezione, nei restanti diedri Vai a Retta frontale, nei restanti diedri Vai a Retta orizzontale, nei restanti diedri Vai a Retta parallela alla lt, nei restanti diedri Vai a Retta di profilo, nei restanti diedri Vai a Retta incidente la lt, nei restanti diedri Vai a Test di verifica - grafico Vai a Test di verifica - teorico Vai a Test di verifica - logico Vai a Esercitazioni da sviluppare sotto forma di elaborati grafici Vai a Griglia di valutazione dei test e delle elaborazioni grafiche Sommario Tipologia della retta: studio e definizione nel primo diedro Dopo aver definito gli elementi graficorappresentativi della retta e le relative caratteristiche, sia geometriche che fisiche, passiamo all’analisi tipologica della stessa per definirne una catalogazione sistematica nel rapporto con gli elementi del diedro Poiché ogni diedro è definito da due semipiani e dalla linea di terra, ogni retta collocata nel diedro verrà riferita a questi elementi costruendo un abaco geometrico e grafico di riferimento Per maggior chiarezza e facilità di lettura, la tipologia viene definita assumendo come luogo rappresentativo il primo diedro E’ sufficiente adeguare, poi, gli elementi rappresentativi alle caratteristiche dei diversi diedri per ampliare ed estendere la tipologia anche agli altri luoghi descrittivi rispettando, ovviamente, le differenti caratterizzazioni fisiche e descrittive Sommario Tipologia della retta: “retta generica” La retta utilizzata, nelle pagine precedenti, per definirne gli elementi rappresentativi è detta “retta generica” in quanto è collocata nello spazio del diedro in modo generico, cioè senza alcun rapporto geometrico concreto descrittivo definito continuo e costante con gli elementi di riferimento La retta generica viene definita geometricamente e graficamente come di seguito (Fig.36) Retta generica nel 1o diedro Definizione geometrica Definizione grafica T1a 0 a( 1 , 2 ) T2a 0 a' T'2a P' T1a a' ' ' ' T1a T2a P'' Sommario Tipologia della retta:“ retta proiettante in 1a proiezione” Immaginiamo, invece, che un punto P si muova parallelamente a 2 (aggetto con valore costante) secondo una direzione ortogonale a 1. In tal caso si genera una retta detta “retta proiettante in 1a proiezione” che viene definita, geometricamente e graficamente come di seguito (Fig. 37) Retta proiettante in 1a proiezione Definizione geometrica Definizione grafica T1b0b’ T2b= (T2b) b( 1 , // 2) b' T1b P' T1b b'' P'' T2b ' ' T1b Sommario Tipologia della retta:“ retta proiettante in 2a proiezione” Se immaginiamo un punto muoversi all’interno del I diedro parallelamente a 1 (quota con valore costante)secondo una direzione assegnata perpendicolare a 2 , allora si determina una retta c detta “retta proiettante in 2a proiezione” che viene definita geometricamente e graficamente come di seguito (Fig. 38) Retta proiettante in 2a proiezione Definizione geometrica Definizione grafica T1c= (T1c) T2c0c’’ c(// 1 , 2) c' T1c ' T2c c'' T2c T2c P' P'' Sommario Tipologia della retta: “ retta frontale” Se il punto P si muove all’interno del I diedro parallelamente a 2 (aggetto con valore costante) secondo una direzione comunque inclinata rispetto a 1, si determina una retta d che prende il nome di “retta frontale” le cui definizioni geometrica e grafico-rappresentativa sono le seguenti (Fig.39) Retta frontale Definizione geometrica Definizione grafica T1d0 T2d= (T2d) d( 1 , // 2) d' T2d P' T1d d'' T2d '' T1d P'' Sommario Tipologia della retta: “ retta orizzontale” Quando il punto P si sposta, nello spazio del I diedro restando alla stessa quota rispetto a 1 (quota costante) e formando con il piano 2 un angolo qualsiasi, si determina una retta, che per queste sue caratteristiche, si definisce “retta orizzontale” le cui caratteristiche geometriche e grafiche sono definite di seguito (Fig.40) Retta orizzontale Definizione geometrica Definizione grafica T1e= (T1e) T2e0 e(// 1 , 2) e' T1e ' T2e e'' T1e T2e P' P'' Sommario Tipologia della retta:“retta parallela ai piani di proiezione” Se il punto P muovendosi all’interno del I diedro si sposta in modo tale che i valori delle quote e dell’aggetto rimangono sempre costanti, allora si dirà che la retta f è una “retta parallela ai piani di proiezione” e quindi “parallela alla lt”. Per questo suo rapporto con i piani di proiezione, vuol dire che la stessa ha entrambe le tracce improprie Retta parallela ai semipiani del diedro e alla lt Definizione geometrica Definizione grafica T1f= (T1f) T2f= (T2f) f(// 1 , // 2) f' T2f T1f f'' T2f T1f P ' P'' Tipologia della retta: “ retta di profilo” Sommario Se il punto P si muove all’interno del I diedro secondo una direzione assegnata comunque obliqua ai due semipiani di proiezione ma ortogonale alla lt, allora verrà a determinarsi una retta g generica che avrà le proiezioni coincidenti con le rette di richiamo. Per questa sua particolare posizione prende il nome di “retta di profilo” generando due tracce reali e distinte e due proiezioni allineate coincidenti con le rette di richiamo delle tracce. Possiamo, quindi, sintetizzare sia le caratteristiche geometriche che quelle grafico-rappresentative come di seguito (Fig.42). Retta di profilo Definizione geometrica Definizione grafica T1g0 T2g0 g(1 , 2 , lt) g' P' ' T2g T1g g'' P'' T2g '' T1g Tipologia della retta:“ retta incidente la lt” Sommario Se il punto P, infine, si muove all’interno del diedro secondo una direzione che determina una retta h che passa per la linea di terra, allora si dirà che la retta è “incidente la lt”. In questo caso le due tracce saranno coincidenti tra loro sulla linea di terra mentre le proiezioni si disporranno in modo qualunque sui due semipiani di proiezione. Definite le proprietà spaziali della retta possiamo sintetizzare, come di seguito, sia le caratteristiche geometriche che quelle grafico-rappresentative (Fig.43) Retta incidente la lt Definizione geometrica T1hT2h= 0 h(1 , 2 , lt) h' P' T1h T2h h'' P'' T1h T2h Definizione grafica Esemplificazioni descrittive della tipologia delle rette nei restanti diedri Sommario Retta generica nei restanti diedri Retta generica nel II diedro Retta generica nel III diedro T1a =-5 a( , ) 1 2 T2a =2 a' T'2a P' a'' P'' T2a T1a =5 T1a =-5 a( , ) 1 2 T2a =-2 a' T'2a T1a ' ' T1a Retta generica nel IV diedro P' a( , ) 1 2 T2a =-2 a' T'2a T1a a'' P'' '' T1a T2a P' T1a a'' P'' '' T1a T2a Sommario Esemplificazioni descrittive della tipologia delle rette nei restanti diedri Retta proiettante in 1a proiezione nei restanti diedri Retta proiettante in 1a nel II diedro Retta proiettante in 1a nel III diedro b( , // ) 2 T2b= b' P' T1b b( , // ) 1 2 T2b= b' T1b b'' P'' T2b '' T1b T1b=3 T1b=-3 T1b=-3 1 Retta proiettante in 1a nel IV diedro P' T1b b( , // ) 1 2 T2b= b' T1b b'' P'' T2b '' T1b P' T1b T1b b'' P'' T2b '' T1b Sommario Esemplificazioni descrittive della tipologia delle rette nei restanti diedri Retta proiettante in 2a proiezione nei restanti diedri Retta proiettante in 2a nel II diedro Retta proiettante in 2a nel III diedro T1c = c(// , ) 1 2 T2c = 4 c' T1c ' T2c c'' T2c T2c P' P'' Retta proiettante in 2a nel IV diedro T1c = c(// , ) 1 2 T2c = - 4 c' T1c ' T2c c'' T2c T2c P' P'' T1c = c(// , ) 1 2 T2c = - 4 c' T1c ' T2c c'' T2c T2c P' P'' Esemplificazioni descrittive della tipologia delle rette nei restanti diedri Sommario Retta frontale nei restanti diedri Retta frontale nel II diedro Retta frontale nel III diedro T1d = -3 d( , // ) 1 2 T2d = d' T2d P' d( , // ) 1 2 T1d = -3 T1d = 3 T2d = T2d = d' T1d d'' T2d '' T1d Retta frontale nel IV diedro T2d P' d( 1 , // 2) d' T2d T1d P'' d'' T2d '' T1d P' T1d P'' d'' T2d '' T1d P'' Sommario Esemplificazioni descrittive della tipologia delle rette nei restanti diedri Retta orizzontale nei restanti diedri Retta orizzontale nel II diedro e(// 1 , 2) Retta orizzontale nel III diedro Retta orizzontale nel IV diedro T1e = T1e = T1e = T2e = 3 T2e =-3 T2e =-3 e' T1e ' T2e e'' T1e T2e P' P'' e(// 1 , 2) e' T1e ' T2e e'' T1e T2e P' P'' e(// 1 , 2) e' T1e ' T2e e'' T1e T2e P' P'' Sommario Esemplificazioni descrittive della tipologia delle rette nei restanti diedri Retta parallela ai semipiani del diedro nei restanti diedri Retta parallela lt nel II diedro Retta parallela lt nel III diedro T1f = f(// , // ) 1 2 T2f = f' T2f T1f f'' T2f T1f P ' P'' Retta parallela lt nel IV diedro T1f = f(// , // ) 1 2 T2f = f' T2f T1f f'' T2f T1f P ' P'' T1f = f(// , // ) 1 2 T2f = f' T2f T1f f'' T2f T1f P ' P'' Sommario Esemplificazioni descrittive della tipologia delle rette nei restanti diedri Retta di profilo nei restanti diedri Retta di profilo nel II diedro T1g = -5 g( , , lt) 1 2 T1g = -5 T2g = 7 g' ' T2g g( , , lt) P' 1 2 g'' P'' '' T1g T1g = -5 T 2g = 7 g' T1g T2g Retta di profilo nel IV diedro Retta di profilo nel III diedro ' T2g P' g( , , lt) 1 2 T2g = 7 g' T1g g'' P'' T2g '' T1g ' T2g P' T1g g'' P'' T2g '' T1g Sommario Esemplificazioni descrittive della tipologia delle rette nei restanti diedri Retta incidente la lt nei restanti diedri Retta incidente lt nel II diedro Retta incidente lt nel III diedro T1h T2h=0 h( 1 , 2, lt) h' P' h'' P'' T1h T2h T1hT2h=0 T1h T2h=0 h( 1 , 2, lt) h' T1h T2h Retta incidente lt nel IV diedro P' h( 1 , 2, lt) h' T1h T2h h'' P'' T1h T2h P' T1h T2h h'' P'' T1h T2h Test di verifica - grafico Sommario Risoluzione T2a T1a T2b lt b” a’ a” lt lt T2d b’ T1b c” T2c c’ T 1c d” T1d d’ lt Sommario Test di verifica - teorico Risoluzione a(1 2 lt) b(//1 2) c(//1 //2) d(//1 2) Test di verifica - logico Sommario Risoluzione a(1 //2) b(//1 2) T2d b” T1a T1c b’ T2a d(1 //2) c(1 2) C” T2c T1d Sommario Esercitazioni da sviluppare sotto forma di elaborati grafici Definire la rappresentazione ortogonale delle seguenti rette dati i valori numerici delle tracce a(T1a=2; T2a=3) b(T1b= - 3; T2b= 4) c(T1c= - 2;T2c= - 3) d(T1d=3; T2d= - 1) e(T1e=3; T2e= - 3) f(T1f=2; T2f= - 5) g(T1g= - 5; T2g= - 4) h(T1h= - 2; T2h=3) i(T1i=3; T2i=1) l(T1l=3; T2l= - 3) Definire la rappresentazione ortogonale delle seguenti rette descritte in forma geometrica come di seguito. a( 1+ 2+) b( 1-//2+) c( 1- //2) d(//1+ 2-) e( 1+//2+) f(// 1- 2+) g( 1- 2- lt) h( 1+ //2) i(// 1+ 2+) l(// 1+//2+) Dati i punti A, B, C, D e le tracce relative ad altrettante rette, completare la rappresentazione ortogonale delle rette passanti per i punti. A(A’=4; A”=1) a B(B’= - 4; B”=1) b T1a = 3 c T2b = - 1 D(D’=4; D”=-1) C(C’= - 4; C”= - 1) d T2c = - 4 T1d =1 Sommario Griglia di valutazione dei test e delle elaborazioni grafiche Si riporta, di seguito, una griglia utilizzata per la valutazione sia test che delle esercitazioni grafiche sviluppate sotto forma di elaborati. Si considerano tre parametri fondamentali: 1)Conoscenze teoriche 2)Capacità logiche 3)Competenze grafiche VALUTAZIONE DEI TEST E DELLE ESERCITAZIONI GRAFICHE Ogni elaborato è costituito da quattro esercizi che vengono, singolarmente, valutati secondo la seguente griglia Test Eserc. 1 2 3 4 Elementi della valutazione VALUTAZIONI Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) 0,00 0,50 1,00 Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) 0,00 0,50 1,00 Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) 0,00 0,50 1,00 Competenze grafiche 0,00 0,25 0,50 (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) 0,00 0,50 1,00 0,00 0,50 1,00 Competenze grafiche 0,00 0,25 0,50 0,00 0,50 1,00 Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) 0,00 0,50 1,00 Competenze grafiche 0,00 0,25 0,50 (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) PUNTEGGIO TOTALE 2,50 0,00 0,25 0,50 Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) PUNTI MAX 0,00 0,50 1,00 2,50 2,50 2,50 10,00
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