Massimo Brescia
Principi di Ray Tracing
Lezione n. 4
Parole chiave:
PSF, ray tracing,
ottimizzazione ottica, encircled
energy, funzione di
trasferimento ottica
Corso di Laurea:
Laurea magistrale in
Astrofisica e Scienze dello
Spazio
Insegnamento:
Tecnologie Astronomiche
Email Docente:
[email protected]
A.A. 2009-2010
Tecnologie Astronomiche
M. Brescia
Modellazione ottica di un telescopio
A questo punto la domanda sorge spontanea: ora che sappiamo come progettare otticamente un
telescopio e come calcolare analiticamente le aberrazioni, come facciamo a modellare le ottiche
in modo da minimizzare il contributo delle aberrazioni nel telescopio?
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Ray Tracing - 1
Per la progettazione di un sistema ottico si fa uso di strumenti software denominati programmi di
ray tracing (tracciamento dei raggi).
Il ray tracing è un procedimento basato, da un punto di vista teorico, sulle proprietà dell’ottica
geometrica: la propagazione della luce in un mezzo omogeneo e la legge della rifrazione e
riflessione di Snell, che a sua volta discende dal noto Principio di Fermat: in un sistema ottico il
percorso seguito da un raggio luminoso tra due punti qualsiasi nello spazio è quello che ha il
tempo di percorrenza minore.
Il ray tracing è un metodo di rendering ottico basato sulla modellazione di dispositivi ottici in
base all’analisi dei fasci luminosi che li percorrono.
Questo metodo traccia dei raggi di luce da una sorgente fino al piano immagine. I raggi vengono
testati in modo da determinare e ottimizzare le loro intersezioni con gli stop inseriti nel modello.
Nel ray tracing un raggio di luce viene tracciato lungo la direzione scelta per il percorso ottico da
una sorgente al piano immagine. Esso è rivelato sottoforma di un pixel dell’immagine finale. Il
pixel sarà quindi rivelato in termini di immagine policromatica del fascio incidente.
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Alcune definizioni - 2
In un sistema ottico (OS) esistono delle limitazioni fisiche al numero di raggi che lo possono
attraversare. Ciò che delimita i raggi passanti si chiama stop di apertura. Esso dunque controlla la
luminosità dell’immagine.
Nel piano focale invece si trova lo stop di campo: un diaframma che delimita la regione del piano
focale capace di accogliere i raggi. Esso dunque limita la dimensione dell’oggetto visto (FOV).
Dallo stop di apertura di un sistema si risale a:
Pupilla di entrata: immagine dello stop di apertura prodotta dalla parte di OS che lo precede.
Pupilla di uscita: immagine dello stop di apertura prodotta dalla parte di OS che lo segue.
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Alcune definizioni - 3
La posizione e dimensioni degli stop e pupille è importante perché condiziona la correzione delle
aberrazioni e la qualità dell’immagine. Ridurre il diametro del fascio di raggi soddisfa meglio la
condizione parassiale, ma ovviamente riduce la luminosità dell’oggetto (la brillanza del
telescopio). Inoltre lo stop evita l’effetto del vignetting. In un telescopio l’obiettivo è la pupilla di
entrata mentre quella di uscita è la sua immagine prodotta sul rivelatore.
Molto importante è il raggio passante per il centro dello stop di apertura (chief ray). Tutti gli altri
raggi convergono laddove il chief ray forma l’oggetto se e solo se l’OS è privo di aberrazioni.
Il cono dei raggi che giunge al centro dell’immagine si definisce come l’F/#
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Figure di merito
La figura di merito è lo strumento analitico con cui verificare la “bontà” di un sistema ottico.
Infatti il passo successivo alla definizione dei parametri ottici dell’OS è decidere quando
“accettare” una soluzione come “la migliore” in termini di qualità dell’immagine (che spesso è
frutto di un compromesso tra requirements scientifici e costruttivi dell’OS).
In un generico strumento di ray tracing, le principali figure di merito (MF) utilizzate sono:
Point Spread function (PSF)
Spot Diagram (SD)
Encircled Energy (EE)
Modulation Transfer Function (MTF)
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Point Spread Function - 1
Nel caso di aperture circolari (specchi di telescopi) la distribuzione d’intensità luminosa segue
quello che viene definito come il profilo di Airy (Airy pattern): una serie di anelli concentrici
sempre meno luminosi (dovuti al fenomeno già visto della diffrazione). Questo profilo è un
esempio di ciò che viene chiamata PSF: la distribuzione d’intensità luminosa sul piano
immagine.
La PSF di un OS è la distribuzione di irraggiamento sul piano immagine che scaturisce da una
sorgente (esempio: un telescopio che forma l’immagine di una stella). Sebbene la sorgente sia
puntiforme, la sua immagine non lo è (diffrazione+seeing+aberrazioni).
Q punto sul fronte d’onda W
P punto sul piano immagine
Ɛ ostruzione
D diametro pupilla
Q
ρ
s
r
θ
ɛ
0 < ρ <1
ε < ρ <1
P
ψ
W
D
pupilla d’uscita
z
R
piano immagine
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Point Spread Function - 2
La PSF, nel caso comune di un telescopio con primario di diametro D e con ostruzione ɛ
(secondario in configurazione cassegrain), si può formalizzare genericamente come:
2
Ove J1 è la funzione di Bessel di
I ( r,ψ )
2
J
v
J
ε
v


)
1
1( )
2 1(
PSF ( r,ψ ) =
=
−ε
 ordine 1, mentre ν è una variabile
2 
2
ε
I0
v
v
 adimensionale che vale:
(1 − ε ) 
v=
 2 1  π rD  r
 π
2π D
r = = =
=  = α  = Dα = ωπ
λ R
R f  λ f  f
 λ
Ove dal raggio lineare r siamo passati al raggio angolare α (che rappresenta l’angolo dell’oggetto
2
in cielo) e introdotto un angolo adimensionale ω.
 2 J1 ( v ) 
Se l’ostruzione non c’è si ottiene allora la PSF come:
PSF ( r ,ψ ) = 


v

Il primo minimo di questa funzione si
λ
ha per ω1 = 1.22 da cui:
α1 = 1.22
D
E infatti l’equazione PSF(r, ψ)
prende il nome di funzione di Airy
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Point Spread Function e risoluzione angolare
Per un’immagine con due sorgenti di pari magnitudine, quando le due sorgenti distano meno del
primo anello di Airy, risultano indistinguibili e la relativa PSF appare unica.
In tal caso vale il “sparrow criterion”: il limite di risoluzione è la separazione angolare θ per
cui non vi è un minimo tra i due centri di un pattern combinato di due sorgenti.
Ricordiamo il “criterio di Rayleigh”: la risoluzione angolare è il più piccolo angolo θ tra due
sorgenti per cui possono essere distinguibili
θ=λ/D
θ=1.22λ/D
λ/D
primo anello
di Airy
Secondo anello
di Airy
83.9%
91%
Sparrow
Rayleigh
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Point Spread Function - 3
Al diminuire della lunghezza d’onda e a parità di prestazioni (FOV e ostruzione), la PSF diviene
più sensibile alle aberrazioni, che prevalgono sulla distribuzione di luminosità diffrattiva
[confronto fra (1) e (3)]. Se si aumenta invece l’ostruzione, la PSF subisce una diminuzione
dell’intensità luminosa [confronto fra (1) e (2)]
λ = 2mm, FOV = 0.7°, ɛ = 0.2
λ = 2mm, FOV = 0.7°, ɛ = 0.5
(1)
(2)
λ = 0.1mm, FOV = 0.7°, ɛ = 0.2
(3)
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Point Spread Function - 4
Già sappiamo cos’è una variazione di fronte d’onda ∆W, o variazione di cammino ottico OPD.
Esiste un criterio qualitativo per stabilire il limite della massima tolleranza accettabile di OPD
uno strumento ottico non si discosta molto dalle prestazioni ideali, se la variazione di cammino
ottico di un fronte d’onda non supera ¼ della lunghezza d’onda.
Nelle condizioni di Rayleigh, in condizioni di pura diffrazione senza aberrazioni e senza
ostruzione, l’84% dell’energia cade dentro il primo minimo (disco di Airy).
Effetto di diffrazione per una fenditura
circolare di diametro 0.5µm a λ=0.6µm (redlight) a varie distanze dal centro del campo,
[da 1mm a 10mm] in step di 1mm
(Si noti il movimento dell’immagine, ossia la
diffusione verso l’esterno della distribuzione
di energia via via che ci si allontana dal centro
del campo)
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Point Spread Function - 5
Quando le distorsioni del fronte d’onda sono locali (è il caso ad esempio di zone di M1 deformate
a causa di gradienti termici/gravitazionali) si preferisce usare il valore R.M.S. (Root Mean
Square) della variazione di cammino ottico (o di fronte d’onda):
OPDrms =
∑ OPD
2
n
ove il numeratore sotto radice rappresenta le differenze “locali” tra il fronte d’onda locale e
quello ideale (detto il best fit).
Per valutare il fronte d’onda in termini di PSF si usa definire il rapporto di Strehl S come il
rapporto tra il picco della PSF reale o aberrata e quella al limite di diffrazione:
MAX
PSFreale
S=
MAX
PSFdiffr
Vale allora il criterio di Marechal Il criterio prevede che S non debba essere
inferiore all’80% dell’energia totale della PSF, che corrisponde alla condizione
che l’errore RMS del fronte d’onda sia inferiore a λ/14:
S ≥ 0 .8
OPDrms ≤ λ /14
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Spot Diagram
La distribuzione geometrica dei raggi sul piano immagine prende il nome di spot diagram.
Una griglia di raggi uniforme passante per la pupilla d’entrata, si presenta sul piano immagine
con diversa forma, dipendente dalle aberrazioni dominanti.
Qui sono raffigurati 3 spot diagram relativi ad un telescopio Schmidt-cassegrain di pupilla 50cm,
F/#=4 e per λ=550nm, rispettivamente pari ad un FOV di 0°, 0.7° e 1°, in cui fuori asse si notano
coma ed astigmatismo. La dimensione RMS dello spot viene confrontata con la dimensione del
disco di Airy per verificare che le aberrazioni non dominino sul disco di diffrazione.
In pratica la dimensione dello spot nel diagramma fornisce informazioni sulla distribuzione
dell’energia, mentre la sua forma indica quali sono le eventuali aberrazioni dominanti sul FOV.
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Encircled Energy
Per quantificare l’energia raccolta sul piano immagine è utile l’Encircled Energy o EE. Essa è la
frazione (percentuale) di energia totale contenuta in un cerchio di raggio r0 centrato intorno al
chief ray.
Ovviamente la max frazione di energia non può
2π r
1 0
superare quella dovuta alla diffrazione
EE ( r0 ) =
I0
∫ ∫ I ( r,ψ ) drdψ
0 0
primo anello
di Airy
83.9%
91%
λ/D
Secondo anello
di Airy
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Confronto tra PSF e EE rispetto all’ostruzione
PSF
EE
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Modulation Transfer Function - 1
Una caratteristica fondamentale per gli OS è di poter “contrastare” efficientemente gli oggetti. Un
oggetto possiamo immaginarlo scomposto in infiniti componenti di Fourier, cioè di chiaro-scuri a
frequenza spaziale crescente. Basandosi su quest’approccio, nel 1946 il francese P.M. Duffieux
ha introdotto una funzione complessa per descrivere la risposta in frequenze spaziali di un OS: la
Optical Transfer function (OTF):
+∞ +∞
2π i ( ux + vy )
OTF ( u, v ) =
∫ ∫ PSF ( x, y ) e
−∞ −∞
dxdy
+∞ +∞
∫ ∫ PSF ( x, y ) dxdy
−∞ −∞
Ove x,y sono coordinate spaziali cui sono associate le frequenze u,v. Dunque la OTF è la
trasformata normalizzata della PSF, dipendente dalla scelta del piano immagine. Il modulo della
OTF è ciò che si chiama la Modulation Transfer Function (MTF), e rappresenta la degradazione
del contrasto al variare delle frequenze. Nel caso unidimensionale si ha dunque:
2
2



MTF = OTFre ( u ) + OTFim ( u ) 

 

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Modulation Transfer Function - 2
Allo scopo di verificare la capacità di contrasto di un OS, (esempio semplice: la messa a fuoco
degli obiettivi di una camera fotografica), si utilizza come oggetto un disegno detto test chart: in
questo modo si riesce a capire qual è il potere risolutivo del sistema in termini di max frequenza
spaziale distinguibile in righe o linee per mm [l/mm]. Oltre un certo valore le righe B/N si
confonderanno in un’unica tonalità di grigio. In genere il contrasto si ritiene accettabile per valori
della MTF > 5%.
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Modulation Transfer Function - 3
Per conoscere il limite max della MTF (dovuto alla sola diffrazione) riprendiamo l’equazione del
2
minimo della PSF già vista:
 2 J1 ( v )  Il primo minimo di questa funzione si
PSF ( r ,ψ ) = 
 ha per ω = 1.22 da cui: r1 = 1.22λF / #
v
1


Sviluppando la MTF per questa PSF, si ottiene una funzione decrescente, il cui massimo si
ottiene in corrispondenza della frequenza:
1
umax =
λF / #
La curva superiore è il limite
diffrattivo, cui corrisponde una
frequenza max di circa 339 l/mm
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Sintesi del ray tracing
Nota la specifica di prestazione dell’OS (ad es. 80% EE in 2 pixel), si innesca un processo
iterativo, partendo dalla scelta della funzione di merito (fra quelle già viste). Si tratta in sintesi di
minimizzare la funzione di merito normalizzata, che possiamo quindi schematicamente definire
2
come:
wi ( ci − ai ) Ove con w si indica il generico
i
MF 2 = i
peso, ci è il valore calcolato della
wi
MF scelta, confrontato con il
i
valore ai atteso (definito dalle
specifiche).
∑
∑
PSF: distribuzione di irraggiamento (intensità luminosa)
sul piano immagine che scaturisce da una sorgente;
SD: distribuzione geometrica dei raggi sul piano
immagine ;
EE: frazione (percentuale) di energia totale contenuta in
un cerchio di raggio r centrato intorno al chief ray;
MTF: degradazione del contrasto al variare delle
frequenze (modulo della OTF, espansione infinita di
chiaro-scuri dell’immagine nel dominio di Fourier);
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Software di ray tracing: Zemax
Zemax è uno dei SW di ray tracing più comuni. Consiste in un ambiente integrato in cui è
possibile modellare un OS sottoforma di lenti o specchi disposti lungo un cammino ottico, per
analizzare la qualità dell’immagine proiettata da una sorgente e ottimizzarne quindi le
caratteristiche costruttive. Si compone di una tabella in cui ogni riga è un elemento ottico e le cui
colonne ne costituiscono i parametri progettuali e costruttivi. Si parte sempre da una sorgente
(OBJ) per arrivare all’immagine (IMA), attraverso una sequenza di stop e breaks che si
inseriscono nell’OS. E’ poi possibile graficare le varie funzioni di merito analizzate, per valutarne
le prestazioni complessive. Consente quindi di eseguire il processo iterativo menzionato. Ci deve
sempre essere almeno uno stop nel cammino ottico (pupilla o obiettivo dell’OS).
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Modello di una lente in Zemax - 1
Partiamo dal caso più semplice: un OS composto da una singola lente. Vogliamo progettare ed
ottimizzare una lente singola F/#4 composta dal materiale vetro N-BK7.
Le specifiche di progetto sono le seguenti:
• f = 100mm
• FOV (radius) = 5deg
• λ centrale = 632.8nm
• spessore centrale (CT) = 2mm < CT < 12mm
• spessore minimo (ET) = ET > 2mm
• La lente deve essere ottimizzata in termini di minima spot size RMS, mediata sul FOV alla
lunghezza d’onda centrale
• la sorgente è posta all’infinito
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Modello di una lente in Zemax - 2
Le principali colonne sono:
• Surf: Type: il tipo di superficie (cliccando sulla colonna si può selezionarne il tipo)
• Comment: campo opzionale in cui specificare un commento
• Radius: raggio di curvatura (con segno invertito) espresso in unità di lente
• Thickness: spessore in unità di lente dal vertice della superficie corrente al vertice della
superficie successiva
• Glass: il tipo di materiale (vetro, aria etc..) della superficie
• Semi-diameter: il semi-diametro (raggio) della superficie in unità di lente
Una delle prime cose da fare è impostare la status bar con i dati da visualizzare:
(Menu “File”, opzione “Preferences”) => qui si possono impostare anche altre opzioni generali
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Modello di una lente in Zemax - 3
La seguente cosa da fare è stabilire quale deve essere l’unità di misura da usare nel seguito (unità
di lente). Inoltre il primo parametro da settare è sempre l’apertura dell’OS. Esso definisce la
dimensione del beam (fascio) che Zemax traccerà attraverso l’OS, oltre a definire i coseni
direttori iniziali dei raggi dalla sorgente (OBJ). L’apertura può essere definita in vari modi:
• EPD: Entrance Pupil Diameter
(diametro assoluto della pupilla)
• Image Space: F/#
• etc…
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Modello di una lente in Zemax - 4
L’EPD si può facilmente ricavare dalle specifiche di progetto:
F/# =
f
= 4 ⇒ EPD = 100/ 4 = 25mm
EPD
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Modello di una lente in Zemax - 5
Definiamo ora il campo di vista FOV: si sceglie Angle (Deg) che è l’angolo che il chief ray forma
con l’asse ottico Z. Date le specifiche, ci creiamo i due FOV minimi ed uno intermedio, in modo
da valutare la qualità dell’immagine finale nelle zone d’interesse (dipende dal progetto).
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Modello di una lente in Zemax - 6
Definiamo ora la banda di lunghezza d’onda di nostro interesse: nel nostro caso la lente è
puramente monocromatica (una sola λ) riferentesi ad una sorgente laser di Elio-Neon (He-Ne) a
0.6328µm. In generale lo si può fare manualmente o selezionando un tipo pre-impostato nel
programma:
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Modello di una lente in Zemax - 7
Ora dobbiamo inserire le superfici del nostro OS e dargli un nome (commento intuitivo)
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Modello di una lente in Zemax - 8
Possiamo quindi iniziare a definire i parametri della lente, in base alle specifiche di progetto:
Il tipo di vetro si può editare direttamente (Zemax lo riconosce) o cercare dal menu Tools.
Circa lo spessore, dai vincoli progettuali,
possiamo iniziare a sceglierne uno (sarà poi
ottimizzato nel corso della procedura). Un valore
di 4mm per una lente di apertura di 25mm.
Il raggio di curvatura e lo spessore tra il vertice
della lente e l’immagine non devono essere
predeterminati,
poiché
saranno
variabili
dell’ottimizzazione.
Per ora lasciamo il raggio dello STOP a infinito e cambiamo il thickness del retro-lente pari alla
nostra focale (100mm). Notare come varia il raggio dell’immagine in base ai parametri inseriti.
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Modello di una lente in Zemax - 9
Una volta definiti dei parametri, vi sono 2 possibili metodi di ottimizzarne i valori:
1. Rendere questi parametri variabili e aggiungere manualmente ulteriori vincoli nell’editor
della funzione di merito;
2. Usare speciali funzioni di risoluzione embedded nel programma per forzare i valori dei
parametri, eliminandone alcuni ritenuti non necessari (migliore!!!)
Tra i diversi metodi di risoluzione disponibili, uno importante è definire l’F/# per mantenere la
desiderata lunghezza focale. Per implementare un metodo si clicca con il destro sulla casella di
riferimento e si seleziona il tipo di metodo.
Si aggiusta il raggio di curvatura automaticamente
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Modello di una lente in Zemax - 10
A questo punto siamo pronti per valutare la qualità dell’OS. In Zemax si possono usare diversi
metodi:
Layout: mostra la sezione in YZ attraverso la
lente. Fornisce una visione d’insieme sempre utile
dell’OS nei FOV scelti (3 nel nostro caso)
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Modello di una lente in Zemax - 11
Spot Diagram: indica l’immagine. In assenza di
aberrazioni si avrà sempre un oggetto perfetto,
per ogni FOV e rispetto al chief ray.
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Modello di una lente in Zemax - 12
OPD Fan: plot della differenza di cammino ottico
come funzione delle coordinate della pupilla. In
assenza di aberrazioni si avrà un fronte d’onda
perfettamente sferico nella pupilla d’uscita.
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Modello di una lente in Zemax - 13
Ray Fan: plot delle aberrazioni come funzione
delle coordinate della pupilla. Un certo raggio del
fronte d’onda ha un punto d’intersezione in un
punto a distanza non nulla dal chief ray. Di
nuovo, in assenza di aberrazioni qualunque raggio
dovrebbe incrociare la pupilla nell’origine.
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Modello di una lente in Zemax - 14
Dalla valutazione dei 4 plot visti, è ovvio che la lente ha un certo numero di aberrazioni,
includenti sferica, coma, distorsione, defocus, curvatura di campo e astigmatismo. Un altro plot
utile è in questo senso quello relativo alla curvatura di campo e distorsione (Menu “Analysis”,
option “Miscellaneous”)
Uno degli errori commessi finora è stata la scelta casuale del fuoco. Sicuramente molte delle
aberrazioni sono in parte dovute al fatto che il piano immagine non è ancora al suo best focus!
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Modello di una lente in Zemax - 15
Il metodo in Zemax per posizionare
meglio il piano immagine è noto come
quick focus tool. Esso consiste in un tool
che permette di aggiustare lo spessore
dell’OS prima del piano immagine, in
modo da minimizzare le aberrazioni.
La posizione di best focus che il tool
sceglierà,
dipende
dal
criterio
selezionato. Nel nostro caso della lente
selezioniamo la dimensione radiale dello
spot.
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Modello di una lente in Zemax - 16
Osserviamo già i miglioramenti in termini di defocus
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Modello di una lente in Zemax - 17
le dimensioni geometriche e RMS degli spot si sono ridotte di un fattore 2!
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Modello di una lente in Zemax - 18
Ma ancora il sistema è migliorabile. Qui si innesca il processo ciclico di ottimizzazione,
preceduto da 2 importanti steps:
• selezionare i parametri liberi e quelli fissati (gradi di libertà dell’OS);
• selezionare e costruire la funzione di merito (MF);
Il parametro Radius della LENS BACK è stato fissato. Dunque abbiamo la possibilità di variare:
• spessore della lente;
• il raggio di curvatura della lente;
• distanza dal retro-lente al piano immagine, cioè il thickness della surface 2;
Per istruire Zemax su quali siano i gradi di libertà su cui poter agire, basta farli diventare variable
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Modello di una lente in Zemax - 19
Ecco dunque le variabili su cui la funzione di merito agirà:
Ora costruiamo la MF: esiste uno specifico editor della MF, chiamato MFE. Apriamolo e poi
selezioniamo “Tools” e “Default Merit Function”
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Modello di una lente in Zemax - 20
Scegliamo la MF di default, dato che a noi interessa l’ottimizzazione in termini di raggio RMS
dello spot rispetto al centroide dell’immagine, cosa già implicita nella MF di default.
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Modello di una lente in Zemax - 21
Dal menu Tool, si può selezionare “Optimization” per lanciare il panel di comando che attiva il
processo ciclico di ottimizzazione. Notare il prima e dopo aver premuto “Automatic”.
PRIMA
DOPO
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Modello di una lente in Zemax - 22
Valutazione finale
RMS e GEO radius è sceso di un fattore 10!
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PSF in Zemax - 1
La PSF di un sistema ottico è la distribuzione d’intensità della sorgente. Come sappiamo, sebbene
si possa approssimare la sorgente ad un punto, in realtà non lo è. Primo perchè le aberrazioni
allargano l’immagine su un’area finita. Secondo perchè, anche in assenza di aberrazioni, vale il
limite di diffrazione.
ZEMAX fornisce la possibilità di calcolare la PSF in 3 modi:
1. geometric (no diffraction) spot diagram (dominio spaziale)
2. diffraction based FFT (dominio in frequenza)
3. Huygens PSF (dominio di fronte d’onda)
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Spot Diagram: una PSF geometrica - 1
Come abbiamo già visto, lo Spot Diagram proietta i raggi da una singola sorgente attraverso l’OS
e visualizza le coordinate (x,y) dei raggi sul piano.
Qui è mostrato un esempio relativo ad uno specchio parabolico F/5 con lunghezza focale di
50mm. Il sistema rappresenta un telescopio newtoniano.
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Spot Diagram: una PSF geometrica - 2
Il diagramma indica chiaramente la presenza di coma e astigmatismo fuori asse. Peraltro in asse il
sistema è invece perfetto. Lo si può vedere meglio se selezioniamo la visualizzazione del disco di
Airy nel diagramma:
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FFT PSF - 1
In asse lo spot è molto più piccolo del disco di Airy, diversamente dal fuori asse. Ciò indica che
lo spot diagram è un utile strumento per valutare le prestazioni su tutto il campo.
La Fast Fourier Transform (FFT) è un algoritmo ampiamente utilizzato nell’analisi in frequenza
di molti sistemi elettronici e ottici. Concettualmente esso decompone una distribuzione di energia
spaziale in una distribuzione nello spazio in frequenza.
La FFT PSF di un OS si effettua tracciando una griglia di raggi dalla sorgente alla pupilla di
uscita. Per ogni raggio, l’ampiezza e la differenza di cammino ottico sono usate per calcolare
l’ampiezza di un punto del fronte d’onda in corrispondenza della pupilla di uscita. La FT di
questa griglia, viene poi scalata e quadrata per generare la PSF.
In Zemax è sufficiente selezionare:
Analysis > PSF > FFT PSF
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FFT PSF - 2
Questo è un altro modo per visualizzare la FFT PSF. Dal confronto diretto con lo spot diagram
nel field 2, si nota la corrispondenza della distribuzione di ampiezza dello spot fuori asse.
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Huygens PSF - 1
La Huygens PSF è calcolata convertendo ogni raggio dello Spot Diagram in una piccola onda.
Ricordiamoci infatti che un raggio in Zemax modella una piccola porzione di onda piana e che il
raggio localmente è normale al fronte d’onda. L’onda piana ha un’ampiezza, una fase e una
direzione determinate dai dati associati al raggio che la genera. L’intensità totale di un punto della
superficie dell’immagine può essere determinata sommando tutte le onde piane relative a tutti i
raggi tracciati.
La Huygens PSF non è basata sulla FFT ed è di solito più lenta nel calcolo, ma più accurata nei
casi in cui, ad esempio, si è sotto il limite di campionamento di Nyquist o quando in generale:
• La superficie dell’immagine è estremamente tiltata rispetto al chief ray;
• Vi è un’eccessiva distorsione tra pupilla d’entrata e d’uscita;
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Huygens PSF – vincolo di Nyquist
Limite di Nyquist: la minima frequenza di campionamento necessaria per
evitare ambiguità nella ricostruzione del segnale con larghezza di banda finita e nota è pari al
doppio della sua massima frequenza
Se ho un campionatore in cui ∆t è il periodo di campionamento e f =1/∆t la frequenza di
campionamento, allora è necessario dargli in ingresso un segnale limitato in banda da f/2 (filtro
anti-aliasing)
Lo spettro di un segnale campionato è uguale
allo spettro del segnale originale ripetuto
periodicamente in frequenza. Il periodo di
questa ripetizione è uguale alla frequenza di
campionamento f, quindi se la frequenza
massima del segnale originale supera f/2 le
ripetizioni nello spettro del segnale
campionato si sovrappongono.
Questa sovrapposizione rende impossibile l'esatta ricostruzione del segnale originale e tale
ricostruzione risulterà distorta (effetto aliasing). Per questo motivo ogni apparato di conversione
analogico-digitale ha un filtro anti-alias a monte del campionatore, il ruolo di tale filtro è quello
di eliminare dal segnale in ingresso le componenti di frequenza maggiori della metà della
frequenza di campionamento dell'apparato.
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Huygens PSF - 2
La Huygens PSF di un OS si calcola tracciando una griglia di raggi sul piano immagine. Per ogni
raggio, l’ampiezza, le coordinate, i coseni direttori e la differenza di cammino ottico sono usati
per calcolare l’ampiezza dell’onda piana incidente su ogni punto della griglia (piano immagine).
In Zemax è sufficiente selezionare Analysis > PSF > Huygens PSF
I principali parametri sono: Pupil Sampling, Image Sampling, and Image Delta.
Image Delta è la distanza tra due punti consecutivi nella griglia (in micron). La regione totale in
cui è calcolata la H-PSF non è altro che il prodotto Image Delta x Image Sampling
on axis
off axis
Tecnologie Astronomiche
M. Brescia
Sistemi Off-axis in Zemax - 1
ZEMAX può anche modellare sistemi ottici off-axis, che cioè contengono folding mirror,
componenti ottiche tiltate rispetto all’asse ottico.
Per fare ciò si introducono nel disegno ottico le superfici di tipo "Coordinate Break”.
Una Coordinate Break (CB) permette di specificare lo shift in x, y o in z e/o il tilt (rotazione
intorno all’asse ottico) della successiva superficie. Essa è pertanto una “dummy surface”, cioè
non ha alcun potere riflettivo o rifrattivo.
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Sistemi Off-axis in Zemax - 2
Ad esempio consideriamo un gregoriano con 2 specchi conici. Se non introducessimo uno shift
fuori asse, otterremmo il totale oscuramento sul piano immagine (per costruzione delle ottiche
introdotte).
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Sistemi Off-axis in Zemax - 3
Viceversa, definendo uno spostamento (decenter), mediante un coordinate break, si riesce ad
ottenere un fascio collimato verso il piano immagine