Geometria Solida
Poliedri
Prima parte
Geometria Solida
La Geometria solida è la geometria dello
spazio tridimensionale, il tipo di spazio in
cui viviamo ...
Geometria Solida
3 dimensioni (3D)
Si chiama
tridimensionale, o 3D,
perché ci sono tre
dimensioni: lunghezza,
larghezza e altezza.
Geometria Solida
Semplici forme
Cominciamo ad
osservare alcune dei
solidi più semplici.
Geometria Solida
Semplici forme
Cubo
Parallelepipedo
Geometria Solida
Semplici forme
Prisma
Piramide
Geometria Solida
Semplici forme
Sfera
Cilindro
Cono
Geometria Solida
Proprietà
I solidi hanno:
• Volume (pensate a quanta acqua può contenere
un cilindro).
• Superficie (pensate alla zona che si può
dipingere di un cubo).
• Alcuni (i poliedri) hanno un certo numero di
facce, spigoli e vertici.
Geometria Solida
Poliedri e non poliedri
Ci sono due tipi di solidi:
i poliedri che hanno facce piane poligonali;
i non poliedri che hanno facce non poligonali.
Geometria solida
Poliedri
Un poliedro è un solido delimitato da facce piane
(dal greco poli- che significa "molti" e -edron che
significa "faccia").
Geometria solida
Poliedri
Le superfici delle facce di un poliedro sono dei
poligoni!
Esempi di poliedri:
Cubo
Tetraedro
Geometria solida
Poliedri
•Il vertice di un poliedro è il
punto d’incontro di tre o più
bordi del poliedro;
•il bordo che unisce due
vertici è chiamato spigolo;
•una faccia è un singolo poligono
che delimita il poliedro.
Geometria solida
Solidi Platonici
I solidi platonici sono quei poliedri:
• in cui le facce sono poligoni regolari congruenti;
• ad ogni vertice concorre lo stesso numero di
facce.
Esempio
Il cubo è un solido platonico perché:
•ha tutte le facce quadrate e
congruenti;
•ogni vertice è l’incontro di tre facce.
Geometria solida
Solidi Platonici
I solidi platonici sono cinque:
Tetraedro
Cubo
Ottaedro
Dodecaedro
Icosaedro
Geometria solida
Solidi Platonici
Tetraedro:
• 4 facce (triangoli equilateri);
• 3 facce che si incontrano nel vertice;
• 4 vertici;
• 6 spigoli.
Geometria solida
Solidi Platonici
Cubo (o esaedro):
• 6 facce (quadrati);
• 4 facce che si incontrano nel vertice;
• 8 vertici;
• 12 spigoli.
Geometria solida
Solidi Platonici
Ottaedro:
• 8 facce (triangoli equilateri);
• 4 facce che si incontrano nel vertice;
• 6 vertici;
• 12 spigoli.
Geometria solida
Solidi Platonici
Dodecaedro:
• 12 facce (pentagoni regolari);
• 3 facce che si incontrano nel vertice;
• 20 vertici;
• 30 spigoli.
Geometria solida
Solidi Platonici
Icosaedro:
• 20 facce (triangoli equilateri);
• 5 facce che si incontrano nel vertice;
• 12 vertici;
• 30 spigoli.
Geometria solida
Solidi Platonici
Perché i solidi platonici son solo 5?
In ogni vertice si incontrano almeno
tre facce.
La somma dell’ angolo interno del
solido deve essere minore di 360°
(a 360° l’angolo si “appiattisce”)
Geometria solida
Solidi Platonici
Perché i solidi platonici son solo 5?
Sappiamo che le facce del solido platonico sono poligoni
regolari identici.
Il triangolo equilatero ha angoli di 60° e pertanto si
potranno avere solidi platonici con:
• 3 triangoli (3x60° = 180°);
• 4 triangoli (4x60° = 240°);
• 5 triangoli (5x60° = 300°).
Geometria solida
Solidi Platonici
Perché i solidi platonici son solo 5?
Sappiamo che le facce del solido platonico sono poligoni
regolari identici.
Il quadrato ha angoli di 90° e pertanto si potrà avere
solo un unico solido platonico,il cubo:
• 3 quadrati (3x90° = 270°)
Geometria solida
Solidi Platonici
Perché i solidi platonici son solo 5?
Sappiamo che le facce del solido platonico sono poligoni
regolari identici.
Il pentagono regolare ha angoli di 108° e pertanto si
potrà avere solo un unico solido platonico:
• 3 pentagoni (3x108° = 324°)
Geometria solida
Solidi Platonici
Perché i solidi platonici son solo 5?
Se volessimo usare più di 5 triangoli equilateri, 4
quadrati, 3 pentagoni regolari o addirittura altri
poligoni regolari per costruire un solido platonico, ci
renderemo conto che ciò è impossibile in quanto
l’angolo sarà
Esempio:
3 esagoni regolari = 3 x 120° = 360°
Geometria solida
Riepilogando:
Solidi Platonici
Geometria solida
Formula di Eulero
Per qualsiasi poliedro convesso:
•il numero delle facce, più
•il numero dei vertici, meno
•il numero degli spigoli:
è sempre uguale a 2
F+V–S=2
Geometria solida
Formula di Eulero
F+V–S=2
Facciamo un esempio, consideriamo il cubo:
ha 6 facce, 8 vertici e 12 spigoli, cioè:
6 + 8 – 12 = 2
Geometria solida
Formula di Eulero
F+V–S=2
Per capire il perché, immagina di prendere il cubo e
aggiungerci uno spigolo (basta tracciare la diagonale di
una sua faccia).
Si ottiene così uno spigolo in più e una faccia in
più:
7 + 8 – 13 = 2
La formula è sempre valida!
Geometria solida
Formula di Eulero
F+V–S=2
Aggiungendo un altro vertice (diciamo nel punto medio
dello spigolo), si avrà anche uno spigolo in più.
vertice
Se aumenta un vertice si avrà uno spigolo in
più:
6 + 9 – 13 = 2
La formula è sempre valida!
2 spigoli
Fine
prima parte