Performances of Quantum PSK
in the Presence of Thermal Noise
G. Cariolaro
G. Pierobon
Department of Information Engineering
University of Padova
Workshop Toni Mian
Padova 26 ottobre 2007
1
Un po’ di storia
John von Neumann
R.J. Glauber
C. W. Helstrom
David J. Forney jr
2
Sistema QTLC
Alice
sorgente
classica
a
-
codific.
quantistico
Bob
|γa i
-
canale
quantistico
|γaR i
-
misura
quantistica
m
â
-
decisione
-
|γai stato quantistico in trasmissione
|γaR i stato quantistico in ricezione
Analisi con i postulati della Meccanica Quantistica
7
I Postulati della Meccanica Quantistica
Postulato 1. Ad ogni sistema fisico isolato va associato
uno spazio di Hilbert H sul corpo dei numeri complessi C,
chiamato spazio degli stati. Il sistema è specificato da uno
stato |ψi, dato da un vettore unitario di H.
Postulato 2. L’evoluzione di un sistema quantistico isolato è descritto da un operatore unitario U.
Postulato 3. Una misura su un sistema quantistico H è
ottenuta applicando un insieme di proiettori {Πi, i ∈ M}.
Se prima della misura il sistema si trova nello stato |ψi, la
probabilità che la misura dia il risultato m = i ∈ M è data
da
P [m = i|ψ] = hψ|Πi |ψi ,
i∈M.
Se il risultato è m = i, il sistema si porta nello stato
|ψpost i = Πi|ψi .
Postulato 4. Un sistema composto da due sottosistemi
H1 e H2 va inquadrato in uno spazio di Hilbert H dato dal
prodotto tensoriale dei due o più sottosistemi componenti
H = H1 ⊗ H2 .
4
Teoria della Decisione Quantistica
In assenza di rumore termico (stati puri)
P [m = i| γa] = hγa|Pi |γai ,
i∈M.
In presenza di rumore termico (miscels di stati)
descritto dall’operatore densità ρa
i∈M.
P [m = i| ρa] = Tr(ρaPi ) ,
p(2|1)=Tr(ρ1 Π2 )
m
1
-
m∈M
canale
numerico
-
q0
q1
-
1
-
-
-
a∈A
a
0
-
2
-
3
4
5
Decisione Quantistica Ottimale
Scelta dei Proiettori ottimali
Il problema è stato risolto solo parzialmente
Sono stati formulati vari criteri non semppre ottimali
Un criterio di applicazione molto generale è
il criterio Square Root Measurement (SRM)
introdotto da Eisladen et al. nel 1996
e formalizzato da Forney nel 2002
6
Square Root Measurement (SRM)
Essenzialmente è basato sul calcolo della radice quadrata
di un operatore hermitiano
Formulazione per stati puri (assenza di rumore termico)
Siano
|γ1i, . . . , |γM i
gli stati (puri) di un sistema M –ario.
1) Da questi si costruisce l’operatore di Gram
∗
T = ΓΓ =
M
X
i=1
|γiihγi| ,
2) Si calcola T1/2
3) I vettori di misura SRM sono dati da
1
|µii = T− 2 |γi i
Il metodo SRM è stato recentemente (2003) esteso
a stati misti (presenza di rumore termico) da Yonina Eldar.
7
Applicazione del SRM al PSK ottico quantistico)
Per inquadrare il PSK nelle comunicazioni ottiche qauntistiche occorre rappresentare la radiazione monocromatica
laser come stati quantistici.
Una formulazione molto consolidata è la Teoria di Glauber
in cui lo stato quantistico (a dimensioni infinite) ha la seguente
espressione
αn
√ |ni
n!
n=0
∞
− 12 |α|2 X
|αi = e
dove |α|2 dà il numero medio di fotoni associato allo stato
|αi.
Per una trsmissione M -aria occorre scegliere M di questi
stati. In particolare per il PSK i valori di α vanno scelti come
nel caso classico.
8
Risultati ottenuti con SRM nel PSK
Risultato preliminare: Assenza di rumore termico
100
Pe
10−1
10−2
10−3
10−4
classica
10−5
10−6
10−7
quantistica
10−8
10−9
10−10
10−11
10−12
10−13
10−14
0
5
10
15
20
25
30
35
Confronto fra 8–PSK quantistico e classicco.
9
40
45
Ns
50
Risultati ottenuti con SRM nel PSK
Risultato della ricerca: Presenza di rumore termico
100
Pe
10−1
N =0.4
10−2
N =0.2
10−3
N =0.1
10−4
N =0
10−5
10−6
10−7
10−8
0
5
10
15
20
25
Ns
30
Probabilità di errore nel 8–PSK in presenza di rumore di fondo con
metodo SRM per alcuni valori di N .
10