Politecnico di Bari
Dipartimento di Meccanica, Matematica e Management
Scuola di Dottorato
Dottorato di Ricerca
in
Ingegneria Meccanica e Gestionale
XXVII Ciclo
Relazione Attività di Ricerca
II Anno (2013)
Giovanni De Filippis
Docente Tutor
[email protected]
Prof. L. Soria
DRIMeG XXVII Ciclo
Introduzione
L’attività di ricerca svolta durante il II anno di dottorato ha avuto come tematica principale la continuazione del lavoro sull’Operational Modal Analysis (OMA) del veicolo. Infatti al termine del I anno
era stata proposta una formulazione analitica semplificata del problema tramite un modello di veicolo
a 4 gradi di libertà sottoposto a ingressi bianchi correlati. In seguito si è proceduto con l’introduzione
di un ingresso colorato avente una densità spettrale di potenza tipica del profilo stradale. Infine, si è
ottenuta l’estensione della formulazione analitica ad un modello di veicolo a sette gradi di libertà con
eccitazione stradale agente su ciascuna ruota (4 wheel road model ). Tuttavia rimane tuttora in corso
d’opera l’elaborazione di un algoritmo di fitting per l’estrazione dei parametri modali da una vettura
stradale in condizioni di esercizio.
Nell’ambito, più generale, dell’analisi modale ci si è anche interessati alle problematiche legate alla caratterizzazione dinamica di sistemi di sospensione non convenzionali. In particolare si è puntata
l’attenzione su sospensioni semi-attive di tipo magneto-reologico e su sospensioni attive con controllo
in retroazione. Anche il caso dei supporti motore risulta particolarmente interessante poiché generalmente è difficile valutarne le prestazioni se non in termini di rigidezza dinamica del singolo dispositivo,
tralasciando così tutti gli aspetti legati all’interazione con la cassa del veicolo.
L’attività sull’OMA del veicolo ben di colloca nel più ampio tema di ricerca riguardante le metodologie
innovative per l’identificazione strutturale. E’ in tale ambito che recentemente sto collaborando con il
Prof. Gaetan Kerschen presso l’Università di Liegi (BE). In questo caso l’attività di ricerca consiste
nell’identificazione completa delle non-linearità e dei nonlinear normal modes di un intero aeromobile.
G. De Filippis
2
DRIMeG XXVII Ciclo
1.
Operational Modal Analysis di un veicolo stradale
L’applicazione dell’Operational Modal Analysis (OMA) allo studio di componenti e sistemi necessita che
siano soddisfatte alcune ipotesi fondamentali [2, 3] : (i) il segnale in input deve approssimare a sufficienza
la forma del rumore bianco (approccio stocastico), (ii) nel caso di eccitazione multi-input è necessario che
gli ingressi siano strettamente non correlati tra loro.
La possibilità di effettuare l’analisi modale di un autoveicolo senza dover obbligatoriamente ricorrere ad
un banco prova rappresenta una possibilità molto interessante, soprattutto per l’industria automobilistica.
Infatti i test su strada hanno il grande pregio di essere poco costosi e l’ingresso stradale è particolarmente
indicato per eccitare i modi di corpo rigido poiché situati in bassa frequenza. Purtroppo in questo caso
il problema principale rimane la correlazione che sussiste tra gli input agenti sulle ruote di avantreno e
retrotreno e l’elevato smorzamento introdotto dai dispositivi di sospensione.
L’eccitazione prodotta dal profilo stradale su ciascuna ruota non è un vero è proprio rumore bianco,
così come richiesto dalle ipotesi di base dell’OMA, ma qualcosa di molto simile ad un rumore browniano,
la cui PSD (Power Spectral Density) è inversamente proporzionale a f 2 . Ad ogni modo esso rappresenta
un tipo di eccitazione compatibile con l’OMA, poiché non contiene nel suo spettro picchi che potrebbero
comportare l’introduzione di poli fittizi nelle PSD della risposta del sistema.
Nel lavoro svolto durante il II anno di dottorato, di cui si relaziona, relativamente a questo argomento,
l’attenzione è stata puntata proprio su questo, con lo scopo di chiarire quale sia l’effetto che la colorazione
del segnale stradale produce sulla risposta del veicolo. A tal proposito sono state valutate le varie approssimazioni esistenti in letteratura al fine di individuare quella che meglio si prestasse ad una formulazione
analitica del problema. E’ stato inoltre studiato anche l’effetto della correlazione che può sussistere tra
gli input agenti sulle ruote di lato destro e lato sinistro. Come descritto nella ISO 8608:1995, nel caso di
profili stradali multipli è possibile esprimere il legame che intercorre tra le varie PSD attraverso la funzione coerenza (coherence function)[20]. Ciò consente di modellare l’ingresso stradale agente su ciascuna
ruota tramite la definizione di una sola PSD.
1.1.
Approssimazioni della PSD del profilo stradale
In letteratura esistono vari tipi di approssimazione del profilo stradale (Fig.re 1 e 2), tutte caratterizzate
da un andamento decrescente in funzione della frequenza spaziale (ovvero l’inverso della lunghezza d’onda
λ). Per ciascuna di queste approssimazioni è necessario definire un certo numero di coefficienti che possono
essere stimati andando a fittare opportunamente i dati sperimentali ottenuti mediante l’impiego di un
profilometro [9].
Tra tutte quelle riportate in Fig. 2 l’approssimazione proposta da Sussman rappresenta uno dei modelli
più semplici che si possano utilizzare. Essa funziona bene nel caso di un veicolo in marcia stazionaria
e fornisce un’adeguata accuratezza per lunghezze d’onda elevate, quindi per bassi valori della frequenza
spaziale. Poiché, come è noto, i modi di corpo rigido di una vettura stradale sono solitamente situati
in bassa frequenza, i modi di pompaggio, beccheggio e rollio si attestano usualmente nel range 1 − 2
Hz, mentre i modi di scuotimento delle ruote ricadono in prossimità di 10 − 12 Hz, appare evidente che
questa approssimazione può descrivere in maniera idonea ciò che accade nel range di frequenza d’intesse,
da 0 a 15 Hz. La descrizione stocastica delle irregolarità stradali mediante l’approssimazione proposta
da Sussman è fornita dalla seguente relazione:
Gd (n) =
n2
C
+ n20
con 0 ≤ n ≤ ∞
(1)
dove C e n0 sono due costanti ed n è il numero d’onda. Questa approssimazione può essere ottenuta
processando un rumore bianco w(t) attraverso un filtro del primo ordine [19]:
Hdw (s) =
D (s)
=
W (s)
1
+1
s
n0 v
(2)
in cui D(s) è la trasformata di Laplace dello spostamento d(t) mentre v è la velocità longitudinale del
veicolo. Per ottenere la funzione di trasferimento Hdw (s), l’Eq. 3 deve essere soddisfatta nel dominio del
tempo.
n0 vw (t) = d˙ (t) + n0 vd (t)
G. De Filippis
(3)
3
DRIMeG XXVII Ciclo
Figura 1: Varie approssimazioni della PSD del profilo stradale [9].
Figura 2: Espressioni analitiche delle varie approssimazioni della PSD del profilo stradale [9].
G. De Filippis
4
DRIMeG XXVII Ciclo
La relazione tra le PSD di ingresso ed uscita per un sistema SISO (Single-Input Single-Output) può
essere usata per trovare l’espressione analitica della PSD del profilo stradale nel dominio della frequenza
temporale:
2
Gd (f ) = |Hdw (f )| Gw (f ) =
2 2
2 σw
f0
fs f 2 + f02
con f0 =
n0 v
2π
per 0 ≤ f ≤
fs
2
(4)
in cui
Gw (f ) =
2
2σw
fs
(5)
è l’half PSD di un rumore bianco con deviazione standard σw , campionato alla frequenza fs .
1.2.
Modellazione dell’ingresso stradale agente su lato destro e sinistro
In un veicolo a quattro ruote entrambi i lati, destro e sinistro, sono soggetti alle eccitazioni prodotte dalle
irregolarità del manto stradale. Per modellare tali eccitazioni è necessario descrivere statisticamente due
profili paralleli e posti ad una distanza fissa, coincidente con la carreggiata della vettura. E’ così possibile
generare un modello di strada basato sulla correlazione esistente tra gli ingressi agenti su ciascuna ruota.
In tal caso è necessario che la vettura si trovi in una condizione di marcia stazionaria cioè si muova in
rettilineo, a velocità costante. Inoltre bisogna soddisfare le seguenti ipotesi: (i) la carreggiata frontale e
posteriore sono uguali; (ii) la vettura monta gli stessi pneumatici sul lato destro e sinistro. In termini di
PSD gli ingressi di lato destro e sinistro sono equivalenti, purtroppo però i profili stradali ad essi associati
non sono identici. Infatti la differenza tra questi profili genera nella realtà il cosiddetto disturbo di rollio.
Ovviamente non è possibile tenere conto di questo fenomeno facendo riferimento alla PSD del singolo
profilo stradale. Per evitare di dover descrivere le proprietà statistiche del manto stradae mediante una
PSD bidimensionale in aggiunta alla PSD del singolo profilo è appropriato introdurre la funzione coerenza
[18]. Sorprendentemente la maggior parte delle strade presentano delle funzioni coerenza molto simili tra
loro. Essa può essere calcolata a partire dalle rilevazioni sperimentali attraverso la seguente formula:
|Gxy (n)|
γ (n) = p
Gxx (n) Gyy (n)
(6)
dove si indicano con Gxx e Gyy le auto-PSD di ciascun profilo e con Gxy la cross-PSD dei due profili.
Ovviamente per com’è definita, la coerenza varia tra zero ed uno. In particolare quando γ = 1 gli ingressi
di lato destro e sinistro sono identici, mentre quando γ = 0 essi risultano del tutto non correlati. E’
interessante notare che in genere le misurazioni forniscono un valore della coerenza prossimo ad uno in
bassa frequenza e pari a zero in alta frequenza. Ciò è fisicamente plausibile quando si fa riferimento
al manto stradale. Infatti nella realtà è possibile individuare almeno una frequenza di cut-off al di
sopra della quale due tracciati paralleli che giacciono sulla stessa superficie incominciano a differenziarsi
significativamente. Robson ha notato che la coerenza è esprimibile in funzione della carreggiata e del
numero d’onda [19]. Sulla base di questa ipotesi Ammon ha definito la seguente formula [18]:
"
γ (n) = 1 +
nB ε
nq
δ #−q
(7)
in cui i parametri nq e q determinano la posizione del punto di flesso e la pendenza in corrispondenza dello
stesso. La grandezza δ è un indice di frequenza, mentre rappresenta la densità di coerenza calcolata
considerando più profili. L’andamento della funzione coerenza secondo la Eq. 7 è mostrato in Fig. 3.
Prendiamo ora in considerazione una vista dall’alto del veicolo (Fig. 4). La matrice delle PSD degli
ingressi potrà essere scritta come:


G11
G11 ei2πf τ
G13
G13 ei2πf τ
 G11 e−i2πf τ

G22
G13 e−i2πf τ
G24

G (f ) = 
(8)
∗
∗
−i2πf
τ

G13
G13 e
G33
G33 ei2πf τ 
∗ i2πf τ
∗
−i2πf τ
G13 e
G24
G33 e
G44
G. De Filippis
5
DRIMeG XXVII Ciclo
Figura 3: Andamento della coerenza tra due profili paralleli.
dove ∗ indica il complesso e coniugato, e τ = L/V è il delay temporale associato agli ingressi su avantreno e
retrotreno, pari al rapporto fra la velocità di marcia stazionaria V del veicolo e il suo passo L. Riferendosi
alla Eq. 7, la cross-PSD G13 è ottenibile come:
p
(9)
G13 (f ) = |G13 (f )| eiφ13 (f ) = γ (f ) G11 (f ) G33 (f )eiφ13 (f )
dove φ13 (f ) indica la fase che, come si osserva nella pratica, assume un valore molto prossimo allo zero
[18]. Inoltre, assumendo che i due profili di lato destro e sinistro siano statisticamente equivalenti, cioè
G11 = G33 = Gd , è possibile riscrivere la Eq. 8 di conseguenza.


1
ei2πf τ
γ (f )
γ (f ) ei2πf τ
 e−i2πf τ

1
γ (f ) e−i2πf τ
γ (f )

G (f ) = Gd 
(10)
−i2πf τ
−i2πf τ


γ (f )
γ (f ) e
1
e
γ (f ) ei2πf τ
γ (f )
e−i2πf τ
1
Figura 4: Vista schematica, in pianta, di un veicolo stradale a due assi.
1.3.
Conclusioni
Dal punto di vista ingegneristico, la modellazione dell’eccitazione stradale è da sempre stato un tema
che ha riscosso grande interesse. Basti pensare alla vasta letteratura presente a riguardo. La bontà delle
approssimazioni proposte in passato era inevitabilmente legata alle prestazioni degli strumenti di misura
disponibili. Ciò non esclude però il fatto che esse siano in grado si descrivere con adeguata accuratezza
l’andamento della PSD del profilo stradale in determinati range di frequenza.
Le odierne tecniche di rilevazione consentono di ricostruire direttamente la PSD bidimensionale di una
superficie. Seppure questo approccio risulti essere particolarmente attraente, perché in grado di restituire
G. De Filippis
6
DRIMeG XXVII Ciclo
un modello di strada più rappresentativo della realtà, esso può introdurre una complicazione eccessiva
nella modellazione matematica, almeno ai fini della ricerca fin qui condotta. Infatti nel presente lavoro
l’obiettivo principale era quello di trovare una rappresentazione alquanto semplice e diretta dell’eccitazione
stradale al fine di chiarire quali siano gli effetti che essa produce sulle PSD della risposta di una vettura
in marcia stazionaria.
L’impiego dell’approssimazione proposta da Sussman [9] sembra rispondere perfettamente a tale esigenza. In aggiunta, la funzione coerenza consente di caratterizzare le differenze che intercorrono tra due
profili paralleli. L’introduzione della coerenza nella matrice delle PSD degli ingressi comporta un’ulteriore semplificazione nel problema dell’OMA del veicolo, che consiste in una naturale estensione della
formulazione analitica proposta a valle delle attività condotte sull’argomento durante il primo anno di
Dottorato, ad un modello di veicolo a sette gradi di libertà (full car ).
G. De Filippis
7
DRIMeG XXVII Ciclo
2.
Analisi comparativa delle prestazioni di sospensioni semi-attive
ed attive per autoveicolo
In questo lavoro è stato affrontato un confronto fra tre tipologie di sospensione, cioè passiva, semi-attiva
ed attiva, al fine di valutare le prestazioni in termini di comfort, tenuta di strada e impegno di potenza
elettrica.
Per i sistemi di sospensione semi-attivi ed attivi non ha senso effettuare una caratterizzazione diretta
dell’ammortizzatore. Per i prototipi in genere si utilizza un modello quarter car simulando in ingresso
il profilo stradale. Infatti esso è il modello matematico più semplice da utilizzare per simulare una
sospensione automobilistica poiché consente di descrivere la dinamica verticale del veicolo senza essere
eccessivamente dipendente dalla tipologia costruttiva della sospensione.
Per il sistema semi-attivo è stata considerata una sospensione MR (Magneto-Rheological) descritta
mediante il modello isteretico di Bouc-Wen, in una formulazione modificata da Spencer. Si è quindi
adoperato un controllo ibrido a due stati, capace di operare in modalità sky-hook, ground-hook oppure in
una condizione intermedia.
Per il sistema attivo non è stato necessario chiarire la natura dell’attuatore poiché si è adoperata una
logica di controllo in retroazione. Trattandosi di un sistema MIMO (Multiple-Input Multiple-Output)
si è deciso di implementare una strategia di controllo ottimo secondo il metodo LQR (Linear-Quadratic
Regulator) [17]. Esso consente di determinare i guadagni della matrice di retroazione tali da minimizzare
una funzione di costo quadratica. In tal caso è la matrice di retroazione che specifica la relazione che
intercorre tra la forza esplicata dall’attuatore e gli stati del sistema controllato.
R
I modelli sono stati implementati in MATLAB
, avvalendosi del solutore SIMULINK per il sistema
semi-attivo poiché non lineare. Il confronto tra le prestazioni dei diversi sistemi è stato effettuato in
relazione all’applicazione di un ingresso stocastico avente la PSD del tipico profilo stradale.
2.1.
Sospensione passiva
La sospensione automobilistica svolge in genere un duplice compito: (i) mitigare le accelerazioni derivanti
dalle asperità del manto stradale al fine di preservare la salute degli occupanti; (ii) evitare il distacco
della ruota dal suolo e la conseguente perdita di aderenza. Nel caso di un modello quarter car si è soliti
valutare questi requisiti tramite due opportune grandezze [11]. La prima è l’accelerazione della cassa del
veicolo, legata inevitabilmente al comfort di marcia. La seconda è la componente dinamica della forza
verticale scambiata tra ruota e strada.
Figura 5: Modello quarter car.
In Fig. 5 è rappresentato il modello quarter car utilizzato per simulare la sospensione passiva e quella
semi-attiva. Le equazioni che descrivono il moto delle due masse sono:
m1 z̈1 + k1d (z1 − z2 ) − fd = 0
G. De Filippis
(11)
8
DRIMeG XXVII Ciclo
m2 z̈2 + c2 ż2 + (k1d + k2 )z2 − k1d z1 + fd = k2 zr + c2 żr
(12)
dove m1 e m2 sono rispettivamente i valori della massa sospesa e della massa non sospesa, k1d e c1d sono
la rigidezza ed il coefficiente di smorzamento dell’ammortizzatore, mentre k2 e c2 sono la rigidezza e lo
smorzamento dello pneumatico.
Nel caso della sospensione passiva fd = −c1d (ż1 − ż2 ) rappresenta la forza esercitata da un comune
ammortizzatore automobilistico. Le Eq.ni 11 e 12 possono essere riscritte in forma di spazio degli stati:
ẋ = Ax + Bu
(13)
y = Cx + Du
(14)
T
T
dove x = z1 z2 ż1 ż2
rappresenta il vettore degli stati ed u = zr żr
il vettore degli
ingressi. Invece con y solitamente si indica il vettore delle uscite del sistema, cioè delle grandezze direttamente osservate (misurate). Inoltre le matrici A, B, C e D definiscono la relazione che intercorre tra
ingressi, uscite e stati del sistema.


0
0
1
0

 0
0
0
1

(15)
A=
k1d
c1d
c1d

 − km1d
−
m1
m1
m1
1
k1d
c1d
2
2
− k1dm+k
− c1dm+c
m2
m2
2
2

0
 0
B=
 0
k2
m2

0
0 

0 
(16)
c2
m2
Scegliendo come uscite gli stati stessi (cioè ponendo y = x), la matrice C si riduce alla matrice identità
mentre la D è nulla.
2.2.
Sospensione semi-attiva
Nel caso della sospensione semi-attiva la forza esercitata dell’ammortizzatore fd è ottenuta mediante il
modello isteretico di Bouc-Wen, in una formulazione modificata da Spencer [?]. Tale modello riesce ad
emulare il comportamento di una sospensione MR in un range di velocità più ampio. In aggiunta sono
presenti uno smorzatore con coefficiente c1 posto in serie rispetto al modello classico ed una molla di
rigidezza k1 posta in parallelo. Ciò consente di riprodurre il cosiddetto effetto di roll-off osservato nei
dati sperimentali in corrispondenza delle basse velocità.
Figura 6: Modello isteretico di Bouc-Wen nella formulazione modificata da Spencer.
La forza esercitata dall’ammortizzatore è ricavabile dal seguente set di equazioni:
fd = −αz + c0 (ẏ − ż1 ) + k0 (y − z1 ) + k1 (z0 + z2 − z1 )
G. De Filippis
(17)
9
DRIMeG XXVII Ciclo
ẏ =
1
[c1 ż2 + c0 ż1 + k0 (z1 − y) + αz]
(c0 + c1 )
ż = A(ż1 − ẏ) − β |ż1 − ẏ| z|z|
n−1
(18)
n
− γ (ż1 − ẏ) |z|
(19)
dove z è un parametro isteretico non direttamente osservabile (generalmente chiamato hysteretic displacement) che soddisfa un’equazione differenziale non lineare del primo ordine. Le quantità A, β, γ ed n
definiscono invece la forma e l’ampiezza del ciclo di isteresi.
Il campo magnetico generato nelle zone di attivazione dagli avvolgimenti varia le caratteristiche del
fluido MR. Conseguentemente l’ampiezza della tensione u applicata ai capi degli avvolgimenti influenza il
comportamento dell’ammortizzatore. Si può tenere conto di questo fenomeno considerando la dipendenza
di alcuni coefficienti dalla tensione di attivazione v (Eq.ni 20, 21 e 22). Inoltre il fluido MR raggiunge l’equilibrio reologico attraverso una dinamica che usualmente viene descritta tramite l’Eq. 23 in cui compare
la costante di tempo η.
c0 = c0a + c0b v
(20)
c1 = c1a + c1b v
(21)
α = αa + αb v
(22)
v̇ = −η(v − u)
(23)
Nell’Eq. 17 con z0 si indica un valore di off-set che rappresenta lo spostamento iniziale dovuto all’accumulatore. L’accumulatore è un serbatoio contenente gas compresso (solitamente azoto) che ha principalmente
tre scopi: (i) fornisce uno spazio extra per compensare le variazioni di volume che hanno luogo quando il
pistone entra nel cilindro; (ii) compensa le dilatazioni termiche del fluido MR; (iii) previene la cavitazione
del fluido durante i movimenti del pistone.
Generalmente in letteratura il termine sky-hook si riferisce ad una sospensione attiva con controllo in
retroazione sulla velocità assoluta della cassa del veicolo (Eq. 25). Questa logica viene implementata al fine
di indurre la sospensione a contrastare il moto di pompaggio e quindi ad incrementare il comfort di marcia.
Tuttavia è possibile cercare di emulare questo comportamento anche attraverso un ammortizzatore MR
senza dover necessariamente ricorrere al controllo in retroazione. E’ possibile osservare che a causa della
natura dissipativa di tale dispositivo, la potenza meccanica (Eq. 24) è sempre minore di zero. Quindi
se si vuole costringere l’attuatore ad inseguire il comportamento di uno sky-hook è sufficiente fornire
l’alimentazione quando la velocità assoluta della cassa e quella relativa alla ruota sono di segno concorde
(Eq. 27):
PM R = fM R (ż1 − ż2 ) ≤ 0
(24)
fSH = −g ż1
(25)
fM R = fSH
(26)
PM R = −g ż1 (ż1 − ż2 ) ≤ 0 ⇔ ż1 (ż1 − ż2 ) ≥ 0
(27)
Seguendo lo stesso ragionamento è possibile ottenere una condizione analoga in cui l’ammortizzatore MR
si comporta da ground-hook. Banalmente essa sarà l’opposto della condizione di sky-hook. In tal caso la
sospensione tende a contrastare il moto della massa non sospesa incrementando di conseguenza la tenuta
di strada.
Quanto detto sinora si riassume in una strategia di controllo ibrido in cui la tensione di alimentazione
dell’attuatore dipende da un fattore ϕ secondo la legge di Eq. 28. Ovviamente per ϕ = 1 si realizzerà la
condizione di puro sky-hook e la tensione di alimentazione sarà determinata dalla Eq. 29. Altrimenti per
G. De Filippis
10
DRIMeG XXVII Ciclo
ϕ = 0 si realizzerà la condizione di puro ground-hook e la tensione di alimentazione sarà ricavabile dalla
Eq. 30.
u = ϕus + (1 − ϕ)ug
(
usmax
us =
usmin
(
ugmax
ug =
ugmin
con 0 ≤ ϕ ≤ 1
(28)
per ż1 (ż1 − ż2 ) ≥ 0
per ż1 (ż1 − ż2 ) < 0
(29)
per ż1 (ż1 − ż2 ) ≤ 0
per ż1 (ż1 − ż2 ) > 0
(30)
Risulta evidente che la scelta dei parametri usmax , usmin , ugmax e ugmin ha un’influenza diretta sulle
prestazioni dell’ammortizzatore.
2.3.
Sospensione attiva
Per la sospensione attiva oggetto di questo studio è possibile effettuare un controllo in retroazione anche
sullo spostamento indotto dalla strada zr . Inoltre per evitare che in caso di guasto la sospensione cessi di
funzionare è solitamente presente un ammortizzatore passivo posto in parallelo all’attuatore. Il modello
quarter car utilizzato per modellare la sospensione attiva è riportato in Fig. 7.
Figura 7: Modello quarter car con sospensione attiva.
Seppure sia abbastanza recente lo studio di attuatori elettrici per sospensioni automobilistiche attive,
in questo lavoro si è preferito non specificarne la tipologia costruttiva. Tale scelta non comporta una
limitazione significativa dal punto della modellazione matematica, in quanto adoperando una logica di
controllo in retroazione la forza dell’attuatore fa può essere espressa in funzione degli stati del sistema
(Eq. 31). Ovviamente così facendo non è possibile includere nel modello la dinamica di un eventuale
attuatore fisico.
u = − Gx
(31)
Trattandosi di un sistema MIMO (Multiple-Input Multiple-Output) si è deciso di implementare una
strategia di controllo ottimo secondo il metodo LQR (Linear-Quadratic Regulator). Esso consente di
determinare la matrice dei guadagni G tale da minimizzare una funzione di costo quadratica (Eq.ni 32
e 33). Va specificato che per determinare G è necessario riscrivere le equazioni del moto considerando
come ingressi solo le variabili controllabili (u = fa ). Inoltre ricordando che in questo caso si effettua
il controllo in retroazione anche sullo spostamento indotto dalla strada zr , il vettore degli stati diventa
T
x = z1 z2 ż1 ż2 zr
e le matrici A e B vanno riscritte di conseguenza.
G. De Filippis
11
DRIMeG XXVII Ciclo
Il metodo LQR prevede anche la possibilità di costruire la funzione di costo assegnando dei pesi
direttamente al vettore delle uscite y ed al vettore degli ingressi u (Eq. 32). In tal caso vanno assegnate
le matrici Q̄ ed R̄ con cui si vanno a pesare rispettivamente ingressi ed uscite. Nell’Eq. 32 la Q̄ indica una
matrice diagonale semidefinita positiva mentre la R̄ è una matrice diagonale definita positiva. Indicando
con m il numero di elementi del vettore delle uscite e con l il numero di elementi del vettore degli ingressi
si ha che Q̄ è una matrice diagonale di dimensioni m × m di coefficienti q1 , q2 , ..., qm , mentre R̄ è una
matrice diagonale di dimensioni l × l di coefficienti r1 , r2 , ..., rl :
Z t1
yT Q̄y + uT R̄u dt
(32)
J = lim
t1 →+∞
t0
Partendo dalla Eq. 14 ed attraverso una serie di passaggi matriciali è possibile riscrivere la Eq. 32 in
funzione del vettore degli stati x e del vettore degli ingressi u (Eq. 33):
Z t1
xT Qx + uT Ru + 2xT Nu dt
(33)
J = lim
t1 →+∞
t0
Q = CT Q̄C
(34)
R = DT Q̄D + R̄
(35)
N =CT Q̄D
(36)
Per minimizzare la funzione di costo J è necessario risolvere l’equazione di Riccati (Eq. 37), in cui S (con
S = ST > 0) rappresenta la soluzione cercata.
AT S + SA − (SB + N) R−1 BT S + NT + Q = 0
(37)
Infine il vettore dei guadagni G è invece dato dall’Eq. 38:
G =R−1 NT +BT P
2.4.
(38)
Conclusioni
Dal presente lavoro emerge che le sospensioni semi-attive presentano un margine di miglioramento abbastanza limitato rispetto alla classica sospensione automobilistica. L’incremento stimato è di circa il 20%
per il comfort e del 10% per la tenuta di strada (Fig.re 8 e 9). Un punto a favore di questi sistemi è
la possibilità di variare lo smorzamento dell’ammortizzatore in funzione della tensione di alimentazione.
Quest’ultima risulta essere molto bassa, implicando quindi consumi di energia elettrica contenuti.
Figura 8: Confronto tra le PSD dell’accelerazione della cassa (a) e della forza scambiata tra ruota e strada
(b), nel caso di regolazione ottimale per il comfort.
G. De Filippis
12
DRIMeG XXVII Ciclo
La sospensione attiva invece consente di ottenere miglioramenti notevoli in termini di prestazioni del
veicolo. L’incremento stimato è di circa il 50% sia per il comfort sia per la tenuta di strada (Fig.re 8
e 9). Essa è però penalizzata fondamentalmente da due aspetti: (i) i consumi elettrici risultano essere
maggiori rispetto al caso delle sospensioni semi-attive; (ii) l’implementazione del controllo in retroazione
a bordo del veicolo risulta essere una soluzione molto costosa, poiché richiede un notevole numero di
sensori e attuatori, nonché l’impiego di una centralina elettronica appositamente dedicata. Va comunque
fatto presente che utilizzando opportune macchine elettriche è possibile recuperare un certo quantitativo
di energia dalle vibrazioni indotte dalla strada.
Figura 9: Confronto tra le PSD dell’accelerazione della cassa (a) e della forza scambiata tra ruota e strada
(b), nel caso di regolazione ottimale per la tenuta di strada.
E’, peraltro, evidente che le sospensioni semi-attive offrono tutta una serie di vantaggi che le rendono
più attraenti per l’industria automobilistica. Esse possono essere impiegate laddove venga richiesto un
certo margine di regolazione sullo smorzamento senza avere un notevole dispendio di energia elettrica.
D’altronde è altrettanto ovvio che il sistema di sospensione attiva è limitato nella sua diffusione esclusivamente da fattori di tipo tecnologico, i quali però potrebbero venir meno nei prossimi anni grazie allo
sviluppo di nuovi dispositivi elettronici.
Sarebbe utile estendere le considerazioni fatte finora ad un modello di veicolo a sette gradi di libertà,
poiché esso approssima meglio la dinamica reale di una vettura su strada. Infatti il modello full car
consente di tener conto degli effetti prodotti dal moto di beccheggio e di rollio della cassa. Infine, chiarire la
tipologia costruttiva dell’attuatore consentirebbe di valutare in maniera più accurata gli effettivi consumi
elettrici della sospensione attiva proposta.
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3.
Studio di differenti tipologie di supporto motore
Al giorno d’oggi il motore a combustione interna è un organo quasi indispensabile per la trazione terrestre,
infatti esso garantisce la propulsione ad una considerevole quantità di veicoli. Il supporto motore è
costituito da un certo numero di elementi, opportunamente collocati, che come prima funzione vincolano
la macchina al telaio della vettura. E’ evidente che il supporto debba essere abbastanza rigido da bilanciare
almeno la forza peso del motore stesso con una deflessione statica limitata. D’altro canto però è proprio
alla rigidezza del supporto che è imputabile la trasmissione delle vibrazioni alla cassa del veicolo.
Le vibrazioni indotte dalla cassa del veicolo generalmente di natura stocastica, sono causate da fattori
esterni quali ad esempio l’interazione aerodinamica ed il contatto ruota-strada. A sua volta la cassa del
motore è soggetta a forze generalizzate variabili nel tempo. Esse sono dovute al funzionamento della
macchina e sono principalmente riconducibili alle armoniche delle forze d’inerzia non adeguatamente
bilanciate, nonchè al momento motore derivante dal ciclo termodinamico.
Risulta evidente che il supporto motore dovrebbe idealmente avere una rigidezza dinamica differente
a seconda del range di frequenza considerato. Da 0 a 50 Hz è sostanzialmente necessario preservare
l’integrità del motore dalle vibrazioni indotte dalla cassa. Da 50 Hz in su invece è prevalente il motore
a comportarsi da sorgente di eccitazione, e quindi, in tal caso, bisognerebbe isolare l’abitacolo dalla sua
azione vibratoria. In pratica si dovrebbe disporre di un dispositivo dotato di elevata rigidezza dinamica
alle basse frequenze e bassa rigidezza dinamica a quelle più alte.
Relativamente a questa tematica è stata condotta una ricerca bibliografica atta a valutare lo stato
dell’arte dei supporti motore. Di seguito si farà riferimento solo a due tipologie, poiché sono quelle che
hanno maggiormente suscitato interesse dal punto di vista della ricerca.
3.1.
Supporto idraulico
Il classico supporto elastomerico è generalmente caratterizzato da un basso valore del coefficiente di smorzamento br , imputabile esclusivamente alla gomma di cui è costituito. Quindi il modulo della rigidezza
dinamica K(s) = kr + br s aumenta di poco in bassa frequenza non discostandosi di molto dal valore
della rigidezza kr (Fig. 11). Ecco perché in molte applicazioni ai sistemi passivi con elastomero sono
subentrati i supporti idraulici (Fig. 10). In tal caso il dispositivo è un elemento assial-simmetrico dotato
di un diaframma, solitamente di acciaio inossidabile. Questo elemento individua due volumi, ovvero la
pumping chamber e la compliance chamber. La pumping chamber è sormontata da una cupola in materiale viscoelastico (rubber main compliance) che assolve la funzione di supporto elastomerico, mentre la
compliance chamber è delimitata inferiormente da una semplice membrana in gomma (lower compliance).
Entrambi i volumi contengono dell’acqua mescolata con un fluido di tipo glicole-etilenico.
Il diaframma è costituito da due parti: (i) un orifizio principale che prende il nome di inertia track e
che che mette in comunicazione i due volumi; (ii) una scanalatura all’interno della quale può scorrere un
cursore il cosiddetto decoupler.
Figura 10: Supporto motore idraulico.
L’applicazione di una forza sulla pumping chamber produce un incremento di pressione che costringe
il fluido a muoversi verso la compliance chamber. La notevole deformabilità di quest’ultima fa si che la
pressione del fluido al suo interno si ristabilisca a seguito della dilatazione della membrana che l’avvolge.
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Si può dimostrare che la rigidezza dinamica di questo tipo si supporto idraulico è data dalla seguente
equazione [23]:
K(s) = kr + br s +
Ii s2 + Ri s + 1/C2
AP
C1 Ii s2 + Ri s + 1/C1 + 1/C2
(39)
dove C1 e C2 indicano le compliance della camera superiore ed inferiore, Ap rappresenta l’area del pistone,
I ed R sono rispettivamente l’inerzia del fluido e la resistenza con cui gli orifizi si oppongono al suo moto.
I pedici i e d si riferiscono invece all’inertia track e al decoupler.
Dynamic Stiffness of the Passive Mount
2.4
Magnitude [N/mm]
Log
10
2.3
10
2.2
10
0
10
20
30
40
50
Frequency [Hz]
60
70
80
90
100
Figura 11: Andamento del modulo della rigidezza dinamica del supporto passivo elastomerico.
In Fig. 12 è riportato l’andamento del modulo della rigidezza dinamica del supporto idraulico, ottenuta
secondo dati presenti in letteratura. Si può notare che in questo caso intorno a 20 Hz si verifica un notevole
incremento del modulo di K il quale per valori crescenti di f tende a rimanere all’incirca costante,
fornendo il comportamento desiderato nel range di bassa frequenza. Purtroppo questo tipo di dispositivo
non consente di ridurre il modulo della rigidezza dinamica al di sopra dei 50 Hz.
Dynamic Stiffness of the Hydraulic Mount
2.4
Magnitude [N/mm]
Log
10
2.3
10
2.2
10
0
10
20
30
40
50
Frequency [Hz]
60
70
80
90
100
Figura 12: Andamento del modulo della rigidezza dinamica del supporto passivo idraulico.
3.2.
Supporto semi-attivo
La compliance della camera superiore C1 è il parametro tramite il quale si riusce a comandare meglio il
comportamento complessivo del supporto idraulico descritto in precedenza. Una volta scelta la geometria
e il materiale della pumping chamber, è possibile effettuare una regolazione indiretta introducendo una
camera ausiliaria opportunamente controllata.
La camera ausiliaria è un ulteriore volume riempito di fluido MR, in grado di contrarsi ed espandersi in
risposta alle variazioni di pressione prodotte dalla pumping chamber. Di forma cilindrica essa presenta al
suo interno un’anima di ferro circondata dagli avvolgimenti elettrici. Tra l’anima e la superficie cilindrica
interna è presente un interstizio riempito con fluido MR. Il vantaggio di questo design è che solo una
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piccola quantità di fluido MR è sufficiente per controllare la camera ausiliaria. Inoltre l’aria intrappolata
nel volume superiore della camera crea un effetto molla in grado di respingere il fluido MR. Quindi tramite
gli avvolgimenti elettrici è possibile controllare la viscosità del fluido agendo sulla tensione applicata. Tale
strategia è del tutto equivalente alla variazione di C1 nel caso della supporto idraulico.
Figura 13: Supporto motore semi-attivo: (a) camera ausiliaria all’interno del supporto; (b) camera
ausiliaria nel dettaglio.
Si può dimostrare che la rigidezza dinamica di questo tipo di supporto è data dalla seguente equazione
[23]:
K(s) = kr + br s +
A2p
[C2 / (Ii C2 s2 + Ri C2 s + 1) + C1 ] + [Cm / (Im Cm s2 + Rm Cm s + 1)]
(40)
dove Cm è la compliance della camera ausiliaria mentre Im ed Rm sono rispettivamente l’inerzia del fluido
MR e la resistenza che esso incontra nel suo moto all’interno della camera ausiliaria.
Dynamic Stiffness of the Semi−Active Mount
2.4
Magnitude [N/mm]
Log
10
Rm
2.3
10
2.2
10
0
10
20
30
40
50
Frequency [Hz]
60
70
80
90
100
Figura 14: Andamento del modulo della rigidezza dinamica del supporto semi-attivo idraulico al variare
della viscosità del fluido MR.
In Fig. 14 è riportato l’andamento della rigidezza dinamica del supporto semi-attivo, ottenuta secondo
dati presenti in letteratura. Si può notare che anche in questo caso per ciascuna curva esiste una frequenza
in corrispondenza della quale si verifica un notevole incremento del modulo di K. L’andamento delle varie
curve dipende dall’ampiezza del campo magnetico che di conseguenza altera la viscosità del fluido MR,
esprimibile in sintesi mediante la variazione del coefficiente Rm . Sfortunatamente seppur sia possibile
effettuare una regolazione agendo sulla tensione applicata, anche questo dispositivo non consente di ridurre
il modulo della rigidezza dinamica al di sopra dei 50 Hz.
3.3.
Conclusioni
L’interazione tra autotelaio e gruppo motopropulsore è un tema che finora è stato poco studiato in letteratura, soprattutto se si fa riferimento alla vasta bibliografia riguardante le sospensioni automobilistiche.
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Si tratta infatti di un argomento abbastanza inesplorato, principalmente per i seguenti motivi: (i) la modellazione delle forze dinamiche scambiate tra cassa del motore ed autotelaio è difficilmente riconducibile
ad un’espressione analitica che dipenda da pochi parametri; (ii) nell’ultimo decennio l’industria automobilistica ha mostrato poco interesse nello sviluppo di dispositivi semi-attivi ed attivi, probabilmente a
causa di ovvie limitazioni tecnologiche.
D’altro canto però, in seguito alla recente introduzione delle procedure di NVH (Noise Vibration
Harshness) nell’iter progettuale, ci si è resi conto che l’interazione autotelaio-motore non è affatto un tema
di importanza secondaria, specialmente se l’obiettivo è mitigare l’effetto delle sorgenti di eccitazione. Il
motore può essere rappresentato mediante una massa sospesa rispetto alla cassa del veicolo. Ciò vuol dire
che anch’esso è dotato di modi di corpo rigido che, soprattutto nei veicoli ad alte prestazioni, influenzano
non di poco la dinamica di marcia. Inoltre la realizzazione di veicoli energeticamente più efficienti di
quelli attuali è una prospettiva allettante. In quest’ottica si potrebbe pensare di sviluppare dispositivi
che consentano di recuperare una quota parte dell’energia che motore e telaio si scambiano durante la
vibrazione.
Tenendo presenti gli sviluppi che questo tema di ricerca comporta, in futuro ci si propone di approfondire la questione. Ci si propone, in particolare, di studiare eventuali strategie di controllo che constano
di realizzare il duplice obiettivo di mitigare le vibrazioni e, al contempo, consentire un parziale recupero
di energia.
G. De Filippis
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Riferimenti bibliografici
[1] E. Guglielmino, T. Sireteanu, C. W. Stammers, G. Ghita, M. Giuclea, Semi-active Suspension
Control (Improved Vehicle Ride and Road Friendliness), Springer-Verlag London Limited, London,
2008.
[2] R. Brincker, P. Henning Kirkegaard, Editors, Special Issue: Operational Modal Analysis. Mechanical
Systems and Signal Processing, 24, 1209-1323, 2010.
[3] L. Hermans, H. Van der Auweraer, Modal testing and analysis of structures under operational
conditions: industrial applications. Mechanical Systems and Signal Processing, 13, 193-216, 1999.
[4] S. Cafferty, K. Worden, G. Tomlinson, Characterization of automotive shock absorbers using random
excitation. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part D: Journal of Automobile
Engineering, 209, 239-248, 1995.
[5] D. Kowalski, M. D. Rao, J. Blough, S. Gruenberg, Dynamic testing of shock absorbers under nonsinusoidal conditions. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part D: Journal of
Automobile Engineering, 216, 373-384, 2002.
[6] J. Kelly, H. Kowalczyk, H. A. Oral, Track Simulation and Vehicle Characterization with 7 Post
Testing. SAE Technical Paper Series, 2002-01-3307, 2002.
[7] L. Soria, B. Peeters, J. Anthonis, H. Van der Auweraer, Operational Modal Analysis and the
Performance Assessment of Vehicle Suspension Systems. Shock and Vibration, 19, 1099-1113, 2012.
[8] S. Turkay, H. Akcay, A study of random vibration characteristics of the quarter-car model. Journal
of Sound and Vibration, 282, 111-124, 2005.
[9] P. Andren, Power spectral density approximations of longitudinal road profiles. International Journal
of Vehicle Design, 40, Nos. 1/2/3, 2006.
[10] LMS International, The LMS Theory and Background Book. www.lmsintl.com, Belgium, 2000.
[11] M. Guiggiani, Dinamica del veicolo. CittàStudi Edizioni, Pisa, 2006
[12] A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing. Prentice-Hall, 1999.
[13] E. Parloo, Application of frequency-domain system identification techniques in the field of operational
modal analysis. PhD thesis, Dept. of Mechanical Engineering, Vrije Universiteit Brussel, Belgium,
2003.
[14] B. Peeters, H. Van der Auweraer, F. Vanhollebeke, P. Guillaume, Operational modal analysis for estimating the dynamic properties of a stadium structure during a football game. Shock and Vibration,
14, 283-303, 2007.
[15] B. Peeters, H. Van der Auweraer, P. Guillaume, J. Leuridan, The PolyMAX frequency-domain
method: a new standard for modal parameter estimation? Shock and Vibration, 11, 395-409, 2004.
[16] H. Van der Auweraer, P. Guillaume, P. Verboven, S. Vanlanduit, Application of a fast-stabilizing
frequency domain parameter estimation method, ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement,
and Control, 123, 651-658, 2001.
[17] W. Heylen, S. Lammens, P. Sas, Modal Analysis Theory and Testing. K.U.Leuven, Belgium, 2007.
[18] D. Ammon, Problems in road surface modelling, Vehicle System Dynamics, Vol. 20, Iss. 1, pp. 28-41,
1992
[19] B.L.J. Gysen, J.L.G. Janssen, J.J.H. Paulides, E.A. Lomonova, Design Aspects of an Active Electromagnetic Suspension System for Automotive Applications, Industry Applications Society Annual
Meeting, 2008
[20] Jun Feng, Xinjie Zhang, Konghui Guo, Fangwu Ma, and Hamid Reza Karimi, A Frequency Compensation Algorithm of Four-Wheel Coherence Random Road, Mathematical Problems in Engineering,
vol. 2013, Article ID 986584, 12 pages, 2013.
G. De Filippis
18
DRIMeG XXVII Ciclo
[21] J. D. Robson, Road surface description and vehicle response, International Journal of Vehicle Design,
vol. 1, no. 1, pp. 25-35, 1979.
[22] B. F. Spencer and S. J. Dyke and M. K. Sain and J. D. Carlson, Phenomenological Model of a
Magnetorheological Damper, Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 1997, Vol. 123, pp. 230-238
[23] Mansour, H., et al. Semi-active engine mount design using auxiliary magneto-rheological fluid
compliance chamber. Vehicle System Dynamics 49.3 (2011): 449-462.
[24] G. De Filippis, D.Palmieri, L.Soria, Operational modal analysis of passenger cars: effect of the
correlation between front and rear inputs, RASD 2013, Pisa, 2013
G. De Filippis
19